1、函数压轴之二阶导数问题 一、考情分析 1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题 中必有一题是导数题。利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要 内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和 函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大. 2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接 判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需 要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找
2、到原函数的单调性，才能解决问题.若遇这类问题， 必须“再构造，再求导”。本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的 应用。 3、解决这类题的常规解题步骤为： 求函数的定义域； 求函数的导数f (x)，无法判断导函数正负； 构造求g(x)= f (x)，求g(x)； 列出x,g(x),g(x)的变化关系表； 根据列表解答问题。 1 二、经验分享 方法二次求导 使用情景 对函数f (x)一次求导得到f (x)之后，解不等式f(x)0 和f(x)0难度较大甚至根本解不出. 设g(x) f(x)，再求g(x)，求出g(x)0 和 g(x)0的解，即得到 函数g(x)的 单调性，得到
3、 解题步骤 函数g(x)的最值，即可得到f (x)的正负情况，即可得到函数f (x)的单调性. 三、题型归纳 (一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围 例 1.【2020 届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】 （最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） 已知关于x的不等式2ln x21mx2mx 在0,上恒成立，则整数m的最小值为（） 2 A.1B.2C.3D.4 2 【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令x1时，2ln12(1m)12m化简： 4 m；令x2时，2ln22(1m)22 4m，化简 3 m 22ln 4 2 你还可以在算出 3,4，选择题排除法。B 为最佳选项。高
4、中资料分享 QQ 群：608396916 【第二种解法（二次求导）】：2ln x21mx2mx m 2 ln x 1 2 x 2 x 1 x 构 造f (x) ln x 1 2 x 2 x 1 x 求 导f (x) x1xln x 1 2 ， 令f (x) 0， 即 2 xx 1 2 2 1111 -xln x0，再令g(x)xln xgx) 在 0， ，g (x) 0，g(x) 在 -，( 222x 1 0， 上是单调递减，设点t，- tlnt0f (x)在0，t 递减；f (x)在 t, 递增， 2 所以f (x)f (t)= max lnt 1 2 t 1 t t2 1 t 1 ，( )
5、0, g(1)0 g 2 11 ， ,1， 1,2 ， 1,2 t 2t 所以 m 的最大值是 2. 例 2.若不等式xlnxx1k2k0对任意的x2,都恒成立，则整数k的最大值为 （） A3B4C5D6 3 xln xx 【解析】因为xlnxx1k2k0变形(x 2),g x k 令 x2 xln x x 2 x x42ln x2 求导：g，令hxx42ln x,求导, xh x1 x2x 2 在 2， 上h x0, hxx42ln x,为增函数；h(7)0,h(8)0 x42ln x 令 g x=0，零 点 x2 2 x（8,9） 满足 42ln0, h即2ln 0 x4 x 0 xx x
6、， 0000 xln xx 所以在 8，x 时，g x0, g x是单 减，0 x 2 xln xx 在 x0， 9 时，g x0, x2 g x是单增的 高中资料分享 QQ 群：608396916 x4 x （ 0 ）x 00 2 g,8,9t，t6,7 xming x 0 x，再令x 200 x2 0 t g min t, 1,6,7 xg xg(t) 0 2 t 所以，t6 时，14，kg(x)min4,取整数，那么k的最大值是 4 2 min 例 3.【2019 浙江 22】已知实数a0，设函数f (x)=aln xx1,x0. （1）当 3 a时，求函数f (x)的单调区 间； 4
7、（2）对任意 1x x,)均有f (x),求a的取值范围.（e=2.71828为自然对 数的底 e2a 2 数） 4 【解析】：（）当 3 a 时， 4 3 f (x)ln x1x,x 0 4 f(x) 31( 1x2)(2 1 x1) 4x2 1x4x 1x ，高中资料分享 QQ 群： 608396916 所以，函数f (x)的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+） （ ） 由f (1) 1 ， 得 2a 0 2 a 当 4 0 2 a时 ，f (x) 4 x 等 价 于 2a x2 1x 2ln x0令 aa 2 t 1 ，则t2 2设 a g(t)tx2t 1x2ln x,t
8、2 2，则g(t)g(2 2)8 x4 2 1x2ln x 2 （i）当 1 x, 7 时， 1 12 2，则g(t)g(2 2)8 x4 2 1x 2ln x x 记 1 p(x)4 x2 2 1xln x,x， 则 7 p(x) 2212xx12xx1 xx1xx x1 . x 1 7 1 ( ,1) 7 1 (1,) p(x)0+ p(x) 1 p( )单调递减极小值p(1)单调 递增 7 所以，p(x)p(1)0因此，g(t)g(2 2)2p(x)0 （ii）当 1 1 x , e7 2 时， 12 x ln x(x1) g(t)g1令 x2 x 1 1 q(x)2 x ln x(x1
9、),x , e7 2 ln x2 ，则 q(x)10，故 q(x)在 x 1 1 , e7 2 上单 112 712 7 调递增，所以q(x)q( ) 由 （ i）得qp p(1)0 77777 所以，q(x)0 时, 由于4a24(a2a)4a0 ，可知 g(x)0,即f(x)0，函数 f (x) 在 R 上是 减 函数；高中资料分享 QQ 群：608396916 当 a0 时, 解g(x)0 得 x aaa 1，且 1 1 aaa aa 在区间上，g(x)0,即 f(x)0，函数f (x)是增函数； 11, ,和区间 aa a a 1上，g(x)0,即f(x)0，函数f (x)是减函数 在
10、区间,1 aa a 综上可知：当 a0 时，函数f (x)在 R 上是减函数；当 a0 时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(x)的图象上方,求实数 a 的取值范围 【解析】()F(x)= e x+sinxax,F (x) excosxa 因为 x=0 是 F(x)的极值点,所以F (0)11a0,a2 又当 a=2 时,若 x0,F (x)excosxa0 x=0 是 F(x)的极小值点,a=2 符合题意 () a=1, 且 PQ/x 轴,由 f(x1)=g(x2)得:xex,所 以 2sin 1 x 1 xxex x 21sin 1 1 x 1 令h(x)exsin xx,h(x)ex
11、cosx10当 x0 时恒成立 x0,+)时,h(x)的最小值为 h(0)=1|PQ|min=1 ()令(x)F(x)F(x)exe x 2sin x2ax. 则(x)exe x 2cosx2a. S(x)(x)exe x 2sin x 因为S (x)exe x 2cosx0当 x0 时恒成立, 所以函数 S(x)在0,)上单调递增, S(x)S(0)=0 当 x0,+)时恒成立; 因此函数(x)在0,)上单调递增,(x)(0)42a当 x0,+)时恒成立 当 a2 时,(x)0,(x)在0,+)单调递增,即(x)(0)0 故 a2 时 F(x)F(x)恒成立 21 当 a2 时，(x)0,又
12、(x)在 0,单调递增，总存在 x(0,), 0 使得在区间 0，x上(x)0.导致(x)在 0,x递减，而(0)0， 00 当时，这与对恒成立不符， x(0,x )(x)0F(x)F( x)0 x0, 0 aa 2 不合题意.综上 取值范围是 - ,2 .14分 9. 已知三次函数f (x)的最高次项系数为 a，三个零点分别为1,0,3. f (x) 若方程2x7a0有两个相等的实根，求 a 的值； x a 若函数(x)f (x)2x2在区间(,)内单调递减，求 a 的取值范围. 3 f (x) 【解析】（1）依题意，设f (x)ax(x1)(x3)2x 7a0 x 有两个相等实根， 即ax
13、2(2a2)x4a0有两个相等实根，(2a2)24a4a0， 即 1 a或a 1。 3 a （2）(x)ax3(2a2)x23ax在(,)内单调递减， 3 a (x)3ax2(2a2)x3a0在(,)恒成立， 2 3 a0 aaaaaa 0 或0 或1 2 ( )3a( )2(2a2)( )3a0 333 10. 对于三次函数f (x)ax3bx2cxd (a0) 定义：（1）设f(x)是函数yf (x)的导数yf(x)的导数，若方程f (x)0有实数解 x， 0 则称点 xf x 为函数y f (x)的“拐点”； 0, ( 0) 定义：（2）设x为常数，若定义在R上的函数yf (x)对于定义
14、域内的一切实数x， 都有 0 f (xx)f (xx)2f (x )成立，则函数yf (x)的图象关于点 x0, f (x0)对 称000 己知f (x)x33x22x2，请回答下列问题： （1）求函数f (x)的“拐点”A的坐标 （2）检验函数f (x)的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐 点”的结论（不必证明） 22 （3）写出一个三次函数G(x)，使得它的“拐点”是(1,3)（不要过程） 【解析】（1）依题意，得：f(x)3x26x2，f(x)6x6。 由f(x)0，即6x60。x1，又f (1)2， f (x)x33x22x2的“拐点”坐标是(1, 2)。
15、（2）由(1)知“拐点”坐标是(1, 2)。而 f (1x)f (1x)=(1x)33(1x)22(1x)2(1x)33(1x)22(1x) 2 =26x66x444=2 f (1)， 22 f xxxx关于点(1, 2) 对称。 由定义(2)知： 33 2 22 bb f xaxbxcxd (a0)的“拐点”是, f () 一般地，三次函数 32 3a3a ，它就 是f (x)的对称中心。（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心； 任何一个三次函数平移后可以是奇函数）都可以给分 （ 3 ）G(x)a(x1)3b(x1)3 (a0)或 写 出 一 个 具 体 的 函 数
16、, 如 G(x)x3x3x4或G(x)x33x2x。 32 11. 已知函数f (x)xln x （I）求函数f (x)的单调递减区间； （II）若f (x)x2ax6在(0,)上恒成立，求实数a的取值范围； （III）过点A(e 2,0)作函数 yf (x)图像的切线，求切线方程 解：（）f (x)ln x1f (x)0得lnx1 1 0 x函数f (x)的单调递减区 间是 e 1 (0, ) e ； （）f (x)x2ax 6即 aln xx 6 x 设 6 g(x)ln xx 则 x g (x) xx6(x3)(x 2) 2 xx 22 23 当x(0,2)时g(x)0，函数g(x)单调递减； 当x(2,)时g(x)0，函数g(x)单调递增； g(x)最小值g(2)5ln2实数a的取值范围是(,5ln2； （）设切点T(x , y ) 则 00 x ln x kf (x )0 0 AT0 1 x 02 e ln x1e xx 2 0ln 0 10 即 0 设h(x)e2xln x1，当x0时h(x)0h(x)是单调递增函数 h(x)0最多只有一个 根，又 111 h()eln 10 2 eee 222 1 x 02 e 由f (x )1得切线方 程是 0 1 xy 0. e 2 24
