普通高中教科书 教师教学用书 人民教育出版社课程教材研究所 编著 中学数学课程教材研究开发中心 问： l-_ 吐 - L和 立句子 i扑） c_J，. 飞1 斗叫州 (I,) 当 1与飞 h y ！：、 人办hj钱家主 版 书 教师教学用二自 人民教育出版社课程教材研究所 编著 中学数学课程教材研究开发中心lI cO 趴 t:,吨， ！ 亏钱” 亡” 6喝 向丸V 户 . ，.1-3l Z, 飞衍 y 1乒响加1 吃 ;,-O的解可看成是函数y= f(x）取正值的z的全体另外，两者关系密 切：与函数的零点可看成是函数值不等于0处 的 “边界点” 类似，方程f(x, y)=O可设想 为不等式f(x, y)O的 “边界”“” 的性 质比 “” 的性质 “坏” 许多，我们应非常小 心地对待不等式 函数及函数的运算（十、一、） 4 普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册i 函数源于研究事物运动变化规律的需要函数 刻画了一个变量随着另一个变量的变化状态， 给出一个数集到另一个数集的对应关系它是 覆盖面广、有统帅作用的概念：数可以看成特 殊函数；数的运算可以看成特殊的二元函数； 代数式可以容易地被改造成一个函数；数列是 特殊的函数；解一元方程就是求一个函数的零 点，因而解方程也可纳入函数问题的讨论中； 平面曲线在历史上曾为函数概念提供最初的例 子，而今天函数和曲线具有人和影子一样的密 不可分的关系；解三角形可化归为一个三角函 数的问题 中 描述周期现象的重要数学模 型为了刻画一些简单的周而复始的运动变化 现象（如匀速圆周运动），我们以单位圆上点 的运动规律为背景引人了任意角的三角函数 正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动、 相辅相成的周期函数，它们的基本性质则是圆 的几何性质（主要是对称性） 的直接反映三 角函数是数形结合的产物，在探究三角函数的 性质和各种各样的三角公式时，借助单位圆的 直观是非常重要而有效的方法三角函数是非 常重要的函数，是描述一般周期函数的基石 国圈圈醋圈圈圈噩噩噩缰圄匾暨圄唱团噩噩圄 主 这几类函数都有明确的现实背景，形式简单、 性质明显而且应用广泛通过对客观世界中变 量关系和规律的抽象，可以得到这些类型的函 数另外，令变量y 等于含变量工的表达式 （x），即y=p(x），就得到工的函数y，这 是人们知道的第一批函数中的一类，其中最简 单、最基本的就是幕函数、多项式函数、指数 函数及其反函数（即对数函数）对于形如 ab=c, ab=c的等式，让其中的一个量随另 一个量的变化而变化，可以得到 y缸，y= k 一，y矿，y矿，y=logax 等基本初等函 工 间形式 讨论点、直线、直线的位置关 系（重点是平行与垂直），三角形、四边形 （重点是平行四边形）、圆等基本而简单的平面 图形的性质，其中尤以三角形为代表三角形 既简单而又能充分反映雪间的本质，例如三角 形内角和定理表示的是平面的平行性，而平行 性在平面几何中所扮演的角色是使定量几何中 的各种公式都大大简化；等腰三角形所具有的 轴对称能具体地反映平面的反射对称性，所以 它是研究平面几何对称J性的基本工具；对于定 量平面几何中的基本定理，三角形面积公式、 相似三角形定理和勾股定理是首要的因此， 在几何的学习中，必须重视对三角形的研究 平面几何是进一步用坐标法讨论曲线的基础 平面几何在培养学生的直观想象和逻辑推理等 素养上具有不可替代的作用 直线与直线、直线与平面、平 面与平面之间的位置关系，基本立体图形 （柱、锥、台气球） 的结构特征特别重要的 是空间中的平行和垂直以及两者之间的密切关 数我们发现，没有任何现实背景，从纯粹的 代数运算，加上量与量之间的对应思想，也可 以抽象出基本初等函数这样重要的数学研究 对象 疆圈圈数列及数列的运算在中学只讨论 最简单、最基本的两类数列：等差数列和等比 数列我们可以把数列想象成数的推广，也可 以把数列看成是一类特殊的函数，从而可以把 等差数列与一次函数作类比，把等比数列与指 数函数作类比不可忽略的是数列的 “影子” 在中学数学中多次出现：在用有理数逼近元理 数中，在求圆的面积或球的体积中，在指数为 无理数时的指数幕定义中，在求函数的导数 虽然函数f(x）的导数可以 用极限概念 “纯数量” 地去定义，但在中学里 我们强调在实际背景下直观地、实质地去给出 导数的描述，因而我们愿把导数概念看成是数 形结合的产物这里，重要的是极限思想，而 导数则是借助于极限的一种运算 从数及其运算、函数及数形结合等角度来 观察中学数学，是弄清中学数学脉络，搞活中 学数学的三个重要观点 4.空间形式 “空间形式” 所涉及内容可概括为如下结 构图： 一般平面曲线 联，因为它们是整个定量立体几何的基础所 在 对于空间图形，只是看看柱面、锥面和球 面，从直观上去感知它们的结构特征；凭借最 简单、最基本的直线、平面的位置关系，以及 三视图、透视图，使我们获得一定的空间形体 的直观感觉 平面解析几何的主要对象在 中学，给出它们的几何定义后，便用数形结合 的代数方法一一一 “坐标法” 来讨论它们这些 基本、简单而又很有用的平面曲线使我们对平 面曲线有了更多的感性认识，同时 “坐标法” 也为用数形结合的微积分方法去研究一般曲线 打下了一个很好的基础 一也血咂 虽然只在最后时刻用微积 分方法专门讨论了它，但在整个中学数学中， 它与函数结伴几乎出现在所有的地方想到函 数概念的元比重要性，对帮助我们形象地看到 函数的曲线是非常亲切的 一般地，几何的研究对象是图形和图形之 间的关系，研究主题是几何对象的性质 定义 中学数学及具数学5 坐标方法下 用微积分方 法研究平面 曲线 坐标方法下 用代数方法 研究直线、 困锥曲线 数 形 结 合 大的好处初等几何必须依照图形呈现的情况 而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定 理就可以概括 ” 这几个 “一般定理” 就是向 量的加法与减法、数乘、数量积的运算及运算 规则、几何意义（物理意义），以及向量基本 定理及坐标表示用向量方法研究几何，可概 括为 “三步曲”： 用向量表示出问题中关键的 点、线、面；进行向量计算得出结果；对所得 结果给予几何的解释而将问题解决 需要注意 的是，向量法是非常灵活的，利用 “基” 转化 为坐标运算仅仅是其中的一种方法 E由市押白贯穿中学数学的一对孪生 机抽样、统计图表、用样本估计总体、线性相 关关系以及基于列联表的独立性检验等 统计学虽然放在数学课程中，但它与数学 是有差别的首先，数学的研究建立在概念和 定义的基础上，用公理化方法来构建数学的理 论大厦，而统计学的研究则建立在数据的基础 上，是通过数据进行推断的；其次，数学推理 要依据逻辑规则，采用演绎推理得出必然正确 的结论，而统计推理主要依据历史经验（虽然 也要顾及逻辑规则），采用归纳推理进行推断， 其结论具有或然性；最后，数学的结论是确定 性的，其判断标准是 “对与错”，而统计的结 论是带有或然性的，所以其判断标准是 “好与 坏” 7.补遗 最后，作为补充，提出几点想法它们是 把不同内容串联起来的一些细线，有了它们， 不同内容的类比、联系就容易了 (1） 数和数的运算是一切运算系统的标 兵 让任意运算的对象和数类比，让任意对象 的运算和数的运算对比，不仅能使我们获得需 要研究的问题，而且能指引我们构建研究的路 径，使我们产生研究方法的灵感 (2） 函数观点是把不同对象联系起来的一 个好观点 参看白嘉 (3）把遇到的数量关系设法用几何图形表 6.概率与统计 概率论是研究随机现象规律的科 学，是统计学的理论基础概率是一种度量， 用来度量随机事件发生的可能性大小这和数 学中其他的度量相类似（例如直线的长度、平 面图形的面积、空间几何体的体积等），性质 也类似但是两种度量之间存在如下区别： Cl） 作为概率的这种度量的值的范围是 0, 1，几何中的度量却不受这种限制； (2） 概率的度量对象是随机事件，几何中 的度量对象是几何图形，随机事件的不确定性 使概率的度量难度大大增加 在中学阶段，借助古典概型引人样本空间 概念样本空间是样本点的集合，它是概率理 论中的最基本而主要的概念，由此可以运用确 定性数学的知识和方法研究随机现象例如， 利用它可以刻画随机事件发生的背景，定义和 计算随机事件的概率，研究概率的运算法则和 性质等 至到统计是研究如何合理收集、整理、 分析数据以及由数据分析结果作出决策的科 学，它的理论基础是概率论统计为人们认识 客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的 方法在义务教育阶段主要是学习描述性统 i十；高中阶段主要学习推断性统计，通过具体 问题背景了解基本的统计概念与方法，例如随 姐妹 -u霞.阳、；,fl吟 用数及其运算为工具用代数方法研究 几何，可概括为 “三步曲飞用数（坐标）、代 数式、方程表示出问题中关键的点、距离、直 线、圆锥曲线；对这些数、代数式、方程进行 讨论；对讨论结果给予几何的解释而将问题解 决值得注意的是，解析几何研究的是几何问 题，因此 “先用几何眼光观察，再用坐标法解 决 ” 是基本原则对圆锥曲线的基本几何特征 的认识是有效利用代数法解决问题的基础 用导数和积分为工具，用分析方法研究曲线 在坐标系下，函数对应曲线，导数就是曲线切 线的斜率，积分就是曲线下覆盖的面积而微 积分基本定理把这两个在几何上看不出有什么 关系的几何量紧密地联系起来了微积分是研 究曲线的强大工具 为了醒目，把它们放在下页的框图中： f盛馨主童医萝噩噩葱费擎蘸霹费事噩噩噩目 某类几何对象的基本方法是，先通过具体事 例，分析组成这类对象的基本元素（点、线、 面、体） 及其形状和位置关系，然后归纳共 性，抽象出概念例如，通过观察具体实物、 模型，得出棱柱表面是由平面图形围成的；这 些平面图形中，有两个相互平行，其余都是四 边形，而且相邻两个四边形的交线相互平行； 将这些共性概括到一般去，就抽象出棱柱的概 念所谓几何性质，首先是几何图形组成元素 之间的位置关系、大小关系 例如，三角形的 性质，就是以三角形的要素（三边、三内角）、 相关要素（高、中线、角平分线、外角等） 之 间的相互关系以及几何量（边长、角度、面积 等） 为基本问题，从 “形状、大小和位置关 系”等角度展开研究；：形状”中， “特例” 是 重点一一等腰三角形和直角三角形，凡 “特 例 ” 都有性质和判定两个基本问题显然，在 这样的一般观念指导下展开研究，对发现几何 图形性质、建立几何知识结构大有禅益 s.数形结合 主菊丽数解三组组参看医lJJJl!UW. 把几何中的定性定理转化为可计算的定量结 果举例说，已知三角形的两邻边，b及其 夹角C，依边角边定理，第三边c完全确定， 因而有函数c=f (a, b, C）.如何具体给出 这个函数？这里引人三角函数以具体表示这个 函数，编制三角函数值表以使它可计算 一 ， 法研究儿倒用向量及其运算为工 具向量法的本质，首先是让几何量带上符 号.F.克莱因说： “对比把长度、面积、体积 考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极 7 中学数学及莫教学 数学选择性必修第二册 普通高中教科书教师教学用书 6 示出来：函数的曲线，方程与曲线，实数与直 线，复数与平面，向量与有向线段，不等式的 图象，数据的图象，等 (4）把定性的结果变成定量的结果，把存 在的东西具体表示出来：参看喔军 牛冒白 直线用方程表示出来，直线上的点 用满足方程的有序实数对表示出来，一元二次 方程的根用系数表示出来，曲线的切线斜率用 导数表示出来，等一旦定性的东西得到定量 的表示，操作起来就容易多了 (5） “恒等” 变换是只变其形不变其质的 数学推理，目的是从 “好” 的形式中看出其本 质这在数学中经常出现：如一元二次多项式 分解成一次因式的乘积，代数式的恒等变换， 三角函数的恒等变换，方程的同解变换，一组 数据的各种不同形式的组合，整数（或一元多 项式）的带余除法等 (6）相等的定义处处都有我们通过相等 定义说明在所讨论的事物中什么是自己最关心 的例如，如果两个三角形能够重合放在一 起，就说它们全等，这表明我们只注意三角形 的形状和大小而对它的位置不感兴趣；两个有 向线段相等是指它们有相同的起点、相同的长 度和相同的方向，但如果对有向线段引人新的 相等定义：规定有相同长度相同方向的两个有 向线段是相等的，我们就将得到一个新对 象一一向量；在函数的相等和方程的等价中， 我们都清楚地看到，什么是这些概念中我们最 关心的 (7）逻辑结构编织着中学数学：中学数学 中虽然没有明确的公理体系形式，但在每一次 推理时，我们都有明确的推理根据在这个意 义下，我们心目中都有一个 “公理体系”，并 在其中进行推理这种潜移默化的逻辑结构的 熏陶是中学数学的 “灵魂”，是培养学生的理 性思维和科学精神的特有载体如在概率中， 根据概率的定义，经试验、观察得出概率的一 系列性质，这些就成了我们建立概率理论体系 的经验基础，一我们借助古典概率模型，在引人 样本点和样本空间概念后，经过演绎推理就可 以得出概率计算公式、运算性质；在立体几何 中，明确了直线与直线、直线与平面、平面与 平面之间的平行和垂直的定义，并归纳出一些 判定定理之后，经推理得出一些性质定理；在 向量中，有了向量的相等定义和运算定义后， 根据这些定义推导出了向量运算的运算律； 等等 (8）从数学学习、研究过程来看，经常使 用如下的逻辑思考方法： 其中突出了联系的观点，通过类比、推 广、特殊化等，可以有力地促进我们的数学思 考，使我们更有效地寻找出自己感兴趣的问 题，从中获得研究方法的启示例如，关于平 面几何中的向量方法，我们可以有如下的 “联 系图 ”： 立体几何中的向量方法 几何中的位教方法1 ， 推广 平面几何中的向量方法 特殊化 ， 数轴与向量 8 普通高中数科书教师教学用书数学选择性必修第二册 几何中的综合方法 这个图把些看似距离甚远的内容联系在 一起，不同的方法相互促进，可以使我们提出 更多的问题，在更加广阔的思维空间中进行思 考例如，我们非常熟悉用代数方法研究圆锥 曲线，在上述 “联系图” 的引导下，就会自然 地提出 “能否用向量方法研究圆锥曲线”“能 否用综合法研究圆锥曲线 ” 这样的问题 三、核心素养导向的数学教学 下面我们就数学核心素养融入课堂教学的 策略和方法，提出一些想法 1.数学盲人要用数学的方式，要发挥数 学的内在力量 在观察现象、认识事物或处理问题时， “数学的方式” 是与众不同的首先，其目标 取向是 “追求最大限度的一般性模式特别是一 般性算法”，而研究的起点是对面临的具体事 物进行数学抽象；其次，数学的思考结构具有 系统性、普适性，其 “基本套路” 大致可以概 括为 “抽象数学对象一探索数学性质 构建知 识体系 ”；再次，数学的思维方式具有结构性、 一致性、连贯性，包括：抽象化、运用符号、 建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改 进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大 范围内进行概括，建立更为一般的统一理论 等，这是一套严谨的、行之有效的科学方法， 是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程 中必须使用的思维方式；最后，数学的表达方 式具有统一性，使用一套世界通用的符号形式 进行交流数学的思考结构、思维方式和符号 化表达正是数学的力量所在，逻辑性强，简明 而精确，具有四两拨千斤的功效数学育人就 是做不到的，必须让他们经历从数学研究对象 的获得，到研究数学对象，再到应用数学知识 解决问题的完整过程数学对象的获得，既要 注重数学与现实之间的联系，也要注重数学内 在的前后一致、逻辑连贯性，从 “事实” 出 发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程， 提升数学抽象、直观想象等素养；对数学对象 的研究，要注重让学生经历以 “一 般观念 ” (big idea）为引导发现规律、获得猜想，并通 过数学的推理、论证证明结论（定理、性质 等）的过程，提升逻辑推理、数学运算等素 养；应用数学知识解决问题，要注重利用数学 概念原理分析问题，体现数学建模的全过程， 使学生学会分析数据，从数据中挖掘信息等， 提升数学建模、数据分析素养 以发展学生数学素养为追求，要根据学生的 认知规律，螺旋上升地安排教学内容，特别是要 让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概 念、思想方法得到反复理解的机会；要以 “事 实一概念一性质（关系）一结构（联系）一应 用”为明线，以 科本质观 ” 为暗线，并要强调结合明线布暗线， 形成基本数学思想和方法的 “渗透一明确一应 用 ” 的有序进程，使学生在掌握 “四基”、发展 “四能” 的过程中有效发展核心素养 要做到 “两个过程” 的合理性，即从数学 知识发生发展过程的合理性、学生认知过程的 合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素 养的关键点前一个是数学的学科思想问题， 后一个是学生的思维规律、认知特点问题 3.推理是数学的 “命根子” ，运算是数学 是要发挥数学的这种力量的 “童子功” 2.掌握数学知识是发展数学学科核心素与其他学科比较，数学学科的育人途径有 养的前提 离开知识的理解和应用，核心素养的发展 将成为一句空话要让学生真正掌握数学知 识，靠 “掐头去尾烧中段”、靠大量解题训练 什么独特性呢？陈建功先生说： “片段的推理， 不但见诸任何学科，也可以从日常有条理的谈 话得之但是，推理之成为说理的体系者，限 于数学一科忽视数学教育论理性的原则， 中学数学及冥教学9 无异于数学教育的自杀 ” 推理和运算是数学 的两个车轮子 因此， 数学育人的基本途径是 对学生进行系统的（逻辑）思维训练， 而训练 的基本手段是让学生进行逻辑推理和数学运 算， 要在推理的严谨性和简洁性、 运算的正确 性和算法的有效性上有要求这样，学生的理 性思维会得到逐步发展，科学精神也能得到很 好的培养 4.教好数学就是落实数学学科核心素养 怎样才是 “教好数学”？学生会解各种资 料上的题目、 考试成绩好就算教好了吗？是， 但又不全是，甚至不是最重要的从学生的终 身发展需要看，从落实数学学科核心素养的要 求看，更重要的是：要以 “研究一个数学对象 的基本套路 ” 为指导，设计出体现数学的整体 性、 逻辑的连贯性、 思想的致性、 方法的普 适性、 思维的系统性的系列化数学活动， 引导 学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对 象， 构建研究数学对象的基本路径， 发现值得 研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法， 获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现 实问题要使学生掌握抽象数学对象、 发现和 提出数学问题的方法，要将此作为教学的关键 任务，以实现从 “知其然” 到 “知其所以然” 再到 “何由以知其所以然” 的跨越 一言以蔽之，教好数学就是以数学基础知 识、 基本技能为载体，使学生在领悟数学基本 思想、 积累数学基本活动经验的过程中， 学会 思考与发现，培养数学学科核心素养 5.教师的专业水平和盲人能力是落实核 心素养的关键 理解数学、 理解学生、 理解教学、 理解技 术的水平是教师专业水平和育人能力的集中体 现，是提高数学教学质量和效益的决定性因 素，也是有效提升学生数学核心素养的关键 当前最主要的问题是有些教师在 “理解数学” 上不到位导致教学偏差，机械解题训练成为课 堂主旋律， 而大量题目又不能反映数学内容和 思维的本质，使数学学习越来越枯燥、 无趣、 艰涩， 大量学生的感受是 “数学不好玩” 理解数学，就是要把握数学内容的本质， 特别是对内容所蕴含的数学思想和方法要有深 入理解要对一些具有统摄性的 “ 一般观念 ” 有深人理解并能自觉应用例如，数学对象的 定义方式（如何定义，几何图形的性质指什 么， 代数性质指什么， 函数性质指什么，概率 性质指什么， 等等 理解学生， 就是要全面了解学生的思维规 律， 把握中学生的认知特点例如，面对一个 数学内容，学生会如何想？学生已经具备的认 知基础有哪些（包括日常生活经验、 己掌握的 相关知识技能和数学思想方法等）？达成教学 目标所需具备的认知基础有哪些？ “已有的基 础 ” 和 “需要的基础” 之间有怎样的差距，哪 些差距可以由学生通过努力自己消除，哪些差 距需要在教师帮助下消除？学生喜欢怎样的学 习方式？等等 理解教学， 就是要把握教学的基本规律， 按教学规律办事例如，对于教学活动的设 计， 关键词是： 情境一问题一活动一结果其 中 “情境” 是以数学内容的本质和学生的认知 过程为依据设置教学情境，包括生活情境、 数 学情境、 科学情境等 “问题” 是与情境紧密 结合的、 从情境中生发的系列化问题， 必须满 足如下标准：反映内容的本质，在学生思 维的最近发展区内，有可发展性， 使学生能 从模仿过渡到自主提问 “活动” 是指在情境 与问题引导下的系列化数学活动，是学生的独 立思考、 自主探究、 合作交流等教学的 “结 果 ”，既要理解知识、 掌握技能， 也要领悟数 学基本思想、 积累数学思维和解决问题的经 验，从而水到渠成地使学生的数学学科核心素 养得到提升与发展 理解技术，就是要懂得如何有效利用技术 10 I普通高中教科书教师教学用书 数学选择性必修第二册 帮助学生的学和教师的教例如，把抽象内容 可视化，静态内容动态化，繁杂但没有数学思 维含金量的事情让信息技术帮忙做等在人工 智能时代， 我们要借助技术改变课堂生态 实 现大面积的个性化教学 实现优质资源共享 以上我们从几个方面阐述了数学课堂落实 数学学科核心素养的条件、 策略和方法，其最 核心的观点是数学育人要回归数学的学科本 质，不搞花架子， 实实在在地把数学教好， 实 现 “用数学的方式育人” 事实上， 所有的科 学问题在本质上都是简单而奋序的人类的智 慧表现在用简单的概念阐明科学的基本问题， 用相似的方法解决不同的问题，而数学的方法 就是这样的基本方法中学数学中的研究对象 多种多样，但研究的内容、 过程和方法是脉 相承的， 正所谓 “研究对象在变，研究套路不 变，思想方法不变” 因此，每一种数量和数 量关系、 图形和图形关系的教学， 我们都应以 “研究个数学对象的基本套路 ” 为指导设计 和展开课堂教学，促使学生通过一个个数学对 象的研究，体悟具有普适性的数学思想和方 法， 逐步掌握解决数学问题的那个 “相似的方 法 ”， 进而逐步形成“数学的思维方式” 在这 样的过程中，数学学科核心素养就潜移默化、 润物元声地得到落实了 让我们起努力！ ！中学数学及真数学11 4.数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 二、本章知识结构框国 数列是一种特殊的函数 数列 表格 图象 数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究 其他函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用本章 通过对具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、 逻辑推理等研究了两类特殊的数列一等差数列和等比数列的 取值规律，并运用它们解决了一些问题因为数列是一类特殊 的函数，所以本章注重函数思想和方法的应用此外，数学归 纳法也是本章的学习内容，这是一种证明与正整数有关的数学 命题的特殊方法通过 本章的学习，学生的数学抽象、数学运 算、逻辑推理和数学建模素养都将得到进一步提升 通项公式 递推公式 特 殊 化 ： 一次函数： 平 - - 等差数列 一广斗概念 特殊数列类 比 L表示 通项公式 等比数列 前n项和公式 1.数列概念 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（表格、图象、通项公式） ，了 解数列是一种特殊函数 了解数列的前n项和公式的定义，以及数列的通项公式与前n项和公式 的关系 2.等差数列 (1）通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义 (2）探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的 关系 (3）能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 (4）体会等差数列与一元一次函数的关系 3.等比数列 (1）通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义 (2）探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前项和公式的 关系 (3）能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 (4）体会等比数列与指数函数的关系 数 tt t 函 数 uU目 士可 J 数学归纳法 （选学） 简单应用 基本原理 三、 内窑安排 本章在必修第一册中函数知识的基础上，介绍了一种特殊的函数一一数列的相关知识在编 排数列的内容时，教科书借鉴了研究函数的经验，按照 “一般数列特殊数列” 的顺序展开其 中，在介绍 “一般数列” 时，通过日常生活和数学中的实例，抽象出数列的定义，介绍数列的三 种表示方法（表格、图象和通项公式）川 特殊数列” 以取值规律 “最简单” 的等差数列和等比数 列为例，对它们的研究不仅可以加深学生对数列的理解，使学生掌握这两种具体数列的概念、取 值规律，并能应用它们解决实际问题，而且也为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础 在本章的最后，教科书介绍了一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法数学归纳法的 原理 12 I普通高中教科书教师教学周书数学选择性必修第二册 第四章 数列I 13 “4. 1 数列的概念 ” 建立了数列的一般概念与函数概念的研究类似，教科书介绍了数列的 定义和表示方法；此外，教科书还介绍了数列的一种特殊表示法一一递推公式和前n项和公式的 定义，这是数列所特有的问题 教科书采用概念形成的方式，先详细分析了几个典型的具体实例，再归纳出它们的共同特 征一一按照确定的顺序排列的一列数，由此给出数列的定义，并抽象出数列的一般形式向， 句，., a川 然后，教科书将数列的定义与函数概念建立联系，得到了数列是定义在正整数 集（或正整数集的有限子集）上的离散函数的结论 接下来，教科书类比函数的研究内容，介绍了数列的三种表示方法一表格、图象和通项公 式其中通项公式就是数列的函数解析式，它能简洁、精确地刻画数列的所有项的取值规律考 虑到数列的递推公式在研究数列时的特殊作用，数列的前项和公式是数列的一个主要研究内 容曳所以在本节的最后，教科书介绍了数列的递推公式和前n项和公式的定义，为本章后面的内 容作了铺垫 在介绍了一般数列的概念之后，教科书类比函数从一般到特殊的研究过程，按 “概念一性 质一应用”的顺序，研究了具有特殊变化规律的数列一一等差数列和等比数列 以等差数列为例，在 “4.2 等差数列 ” 中，教科书先通过运算发现实例中蕴含的取值规律， 抽象出等差数列的定义，然后从定义出发，推导出等差数列的通项公式接下来，教科书从通项 公式出发，探究等差数列与一次函数之间的关系，再结合一次函数的知识，画出等差数列的图 象，为研究等差数列的性质提供几何直观等差数列的应用主要包括两类，教科书接下来举例说 明的应用等差数列的通项公式解决数学问题和实际问题是其中之一由于求数列尤其是无穷数列 的前若干项的和是数列研究的主要问题之一，所以接下来，教科书利用等差数列的通项公式和性 质推导出了它的前n项和公式，并举例说明了前n项和公式在解决问题中的应用，这是等差数列 的第二类主要应用教科书对于 “4.3 等比数列”的编排与 “4.2 等差数列 ” 是完全类似的 在本章的最后， “4.4 数学归纳法 ” 通过对多米诺骨牌全部倒下的过程和 “证明” 一个数学 命题的过程的类比和分析，揭示了数学归纳法的原理，并以证明数列中的一些简单命题为例，说 明了用数学归纳法证明命题的一般过程 数列的概念是研究数列的基础，因此是本章教学的重点此外，等差数列、等比数列是两种 “最基本” 的数列，对它们的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习其他类型 的数列打下基础，因此等差数列、等比数列的概念、性质与应用也是本章的重点内容 学生在学习本章的过程中，可能遇到如下难点： 一是从实例中抽象出数列的概念，这是因为 直观上排列好的一列数与数列的数学定义之间存在一定的距离，需要学生具备较高的数学抽象能 力；二是等差数列的定义，这是因为学生对于通过运算发现代数规律的意识不强，不熟悉刻画 “等差” 规律的语言；三是推导等差数列、等比数列的前n项和公式，这需要学生通过数学运算、 逻辑推理等发现解决问题的途径；四是用等差数列、等比数列刻画数学中或现实中具有递推规律 的事物，这需要学生具备一定的数学建模能力 14 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册 本章教学约需14课时，具体分配如下（仅供参考）： 4. 1 数列的概念 4. 2等差数列 4. 3等比数列 4.4 数学归纳法 小结 1.按照研究一个数学对象的基本路径来编排数列的内窑 约2课时 约4课时 约4课时 约2课时 约2课时 本章的内容与己学的函数有相似之处，既包括一般的数列，又包括特殊的数列，所以本章内 容的编排采用了与函数类似的框架结构，这也是研究一个数学对象的基本路径，即数列的事实一 数列概念的定义、表示一性质一等差数列与等比数列 需要说明的是，由于每种数列都有自己独特的性质，而且主要是通过代数运算研究其规律， 所以教科书中对数列性质的研究，主要放在对代数规律明确的等差数列、等比数列的研究中对 于一般数列，只涉及了其项数是否有限（定义了 “有穷数列” 和 “无穷数列” 和数列的单调性 具体说来，教科书从分析三个典型的数列例子开始，抽象出了数列的共同特征一按确定的 顺序排列，从而得到了数列的定义，同时获得了从数学上刻画数列的方法一一用正整数表示数列 的确定的顺序，即向，句，a.， ； 通过对数列定义的进一步辨析，揭示了数列的本 质一一数列是从正整数集（或它的有限子集l, 2，）到实数集的函数然后，研究了数 列的三种表示方法 接下来，与在函数的一般概念之后研究基本初等函数类似，教科书研究了两类特殊的数 列一一等差数列和等比数列 对这两类数列的研究，都采用了与研究基本初等函数类似的路径， 即 “事实 概念一性质一应用 ” 等比数列与等差数列在研究思路和方法上有很强的可类比性， 都是通过运算发现取值规律获得定义，通过与相应函数类比探索性质，通过运算、代数变换等一 般性的方法解决相关问题等 2.设计合理的概念形成过程，帮助学生理解数列的基本概念 本章涉及 “数列”“等差数列”“等比数列” 的基本概念，它们既是本章的重点内容，也是本 章的学习基础为此，教科书根据不同概念的特点和学生的认知基础，设计了不同的概念形成过 程，在过程中逐步揭示概念的本质特征，让学生经历相应的概念形成过程，提升他们的数学抽 象、数学运算和逻辑推理素养 对于数列的概念，教科书呈现了 “事实 概念（定义、表示） ” 的数学抽象过程 与上一个 版本教科书的呈现方式相比，修订后的教科书精简了用于抽象数列定义的例子，分别从现实生 活、数学史和数学中选择了一个反映数列本质特征的典型例子，细化了从实例抽象出数列共同特 征的过程：先引人统一的数学符号（h，或 s；）表示数列中的数，并揭示下标z的数学含义，即下 标i表示数列中的数按一定顺序排列时的确定位置，这就从数学的角度说明了数列中的数是不能 第四章数列I1s 交换位置的，从而得到引例的本质特征一一 “具有确定顺序的一列数”；然后为了促进学生理解， 教科书让学生模仿上述分析过程自己分析第三个实例的特征；最后引导学生从具体例子中归纳 出它们的共同特征，这就得到了数列的定义接下来，教科书用数学符号表示数列，得到了数列 的一般形式基于对这个一般形式的分析，教科书揭示了数列的序号与项之间的对应关系本质上 是函数关系，得到了 “数列是一种函数” 的结论 对于 “等差数列” “等比数列” 的定义，教科书在分析、归纳实例的共性时，重点引导学生 通过运算去发现数列的规律 3.创建系列化学习活动，帮助学生理解本章的核心概念及真反映的数学思想方法 教科书以系列化的学习活动，引导学生通过自主探究、合作学习来建构本章知识、发展技 能、感悟和提炼思想方法、积累数学活动经验 前 面提到的教科书上的数列概念的形成过程就是一例又如，教科书在推导等差数列的前 项和公式时，设计了下面的学习情境：首先，提出本节要解决的问题一一用等差数列的概念和通 项公式解决等差数列的求和问题；然后，提出高斯计算1+2 +31 00的算法，引发学生的 探究兴趣；紧接着，分析高斯算法，明确其中蕴含的等差数列的性质；接下来，利用等差数列的 性质，分奇、偶两种情况解决求1, 2 , 3 ，n ，的前项和问题，这是基于性质对高斯算 法的直接推广；然后，由求和结果获得启发，用 “倒序相加法” 再次求1十2+3n，这是 发现新算法并在最简单的情形中应用新算法；最后，推广上述算法，求一般等差数列的前n 项和 又如，对于数学归纳法的原理，教科书设计了类比、推广活动，引导学生经历从特殊到一般 的过程，探究数学归纳法的原理：首先，以证明一个具体的数学命题为背景引出问题一如何通 过有限个步骤的推理，证明 n取所有正整数时命题都成立；然后，先分析多米诺骨牌全部倒下的 过程中蕴含的数学原理，再通过类比得到证明一个与正整数 n有关的数学命题的递推结构以及证 明方法：最后，抽象出数学归纳法的两个步骤，得到原理接下来，教科书对数学归纳法的原理进 行了辨析，先让学生，思考两个步骤之间的关系，再用逻辑的语言表达数学归纳法，突显了第二步是 要证明一个具有递推关系的命题的本质，以及只要完成数学归纳法的两个步骤就能最终完成证明 4.用函数的思想方法指导数列的学习 学生在必修课程中已经系统学习了函数的知识，总结了函数的思想方法数列是一种特殊的 函数，因此本章内容的学习自然而然地要以函数的思想方法为指导 Cl）研究路径的构建首先，为了帮助学生深入理解数列的概念，并借助函数的研究路径来 学习数列，教科书在介绍了数列的概念后，引导学生从函数的角度看数列，揭示出数列的本质属 性；接着，类比函数的 “定义 表示方法一性质” 的研究路径，介绍了数列的三种表示方法，指 出其中的通项公式就是 “数列的函数解析式”，并研究了数列的性质（数列的单调性）其次， 教科书类比从一般函数到特殊函数的研究顺序，在介绍了一般数列的概念后，研究了两类具有特 殊变化规律的数列一一等差数列和等比数列，并沿用了函数的 “事实一概念性质应用” 的研 究路径 (2）研究方法的获得一方面，在研究等差数列、等比数列的性质时，教科书利用了等差数 列与一次函数、等比数列与指数函数的联系，使学生能借助这两种函数的图象和性质来认识对应 16 I普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第二册 的数列；另方面，在应用等差数列、等比数列解决实际问题时，教科书利用了学生积累的 “选 择适当的函数类型刻画现实问题的变化规律，并解决问题”的经验，让学生通过分析实际情境中 变量之间的关系，发现其中的递推规律，再建立等差数列或等比数列来刻画规律，通过解决数列 问题使实际问题获得解决 5.运用运篝、代数变换等研究数列 在数列的研究过程中，除了借助函数的观念，使用观察、归纳等方法外，教科书还利用了运 算、代数变换等策略或方法 运算是代数学的核心，本章通过具体例子说明了如何利用运算探索数列的取值规律例如， 教科书第6页例4后，在利用图4.1-3中图形的变换规则发现数列1, 3, 9, 27的规律后， “边 空 ” 的提示指出：“当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律 如 依次取出数列的某一项，减去或除以它的前 一项，再对差或商加以观察”利用运算，不难发现 数列1 , 3, 9, 27的规律是后一项是前 一项的3倍 又如，等差数列、等比数列的取值规律都是 通过运算发现的对于等差数列，教科书在引导学生从实例中抽象数列的取值规律时，让学生类 比指数函数的学习中通过运算发现两地旅游人数的变化规律的过程，以运算为手段来探索具体数 列的取值规律；并对如何通过改换表达方式，使取值规律更突出，如何用数学语言表达规律，使 其更具有一般性，如何用文字语言概括发现的规律等进行引导，从而让学生经历比较完整的发现 规律、整理规律和表达规律的过程 代数变换是对代数式、等式、不等式等进行变形，用新的式子替换原来的式子，以达到方便 问题的研究和讨论、揭示隐蔽的规律、把难以直接解决的问题转化为容
