1、函数压轴之切比雪夫函数 一一考情分析考情分析 纵观近几年的高考真题，出现了一类题目。看似是一道有关二次函数的题目；二次 函数的定义域和值域相同。大多数学生或老师，第一眼看过去，以为是定轴动区间或定区间 动轴的问题，然后就进入讨论的误区。深入讨论，就会发现，计算复杂，讨论纷扰。最后就 是不了了之。然后，再次审视题目，就会发现我们陷入误区。切比雪夫函数或切比雪夫不等 式，在此时的应用，就可以让我们秒解这类题目。 二经验分享二经验分享 1.切比雪夫不等式 马尔科夫不等式： ,(X0) E X P X ； 切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况： 2 1 |X| kP k 0,k其中是期望， 是标准
2、差. 2. 切比雪夫函数与切比雪夫不等式的意义 马尔科夫不等式和切比雪夫不等式， 是高等数学中学习的内容， 是概率与统计学中的一个定理。 主要意思：事情的大多会集中在平均值附近或者事情的发生大多在平均值上的概率最大。也 就说，马尔科夫不等式或者切比雪夫不等式只是对概率的一个估计，既然是估计，就有可能 正确，也有可能不正确。但是按照这两个不等式来看，在概率学的角度上。发生的概率是最 大。但在高中数学学习初等函数，用这个两个不等式解题，就会有出奇制胜，秒杀的快感。 三、题型分析三、题型分析 （一）切比雪夫函数的巧解（一）切比雪夫函数的巧解 例例 1.已知函数( )()Rbabaxxxf+=,|-|
3、 2 1 2 ，若1,1x 时， 1f x，则 1 2 ab的最 大值是 【传统解法】 【切比雪夫不等式解法】高中资料分享 QQ 群：608396916 【解析】根据切比雪夫不等式：( )()Rbabaxxxf+=,|-| 2 1 2 ，若1,1x 时， 1f x 对称轴为压轴，所以1,1ax ，( )()Rbabxxf, 2+ =， 当1x ，| ( 1)|=|1+b|1f ,故此次1,b 1 2 ab的最大值 11 1+1 22 例例 2.已知函数)0()-2()( 2 +=mnxmmxxf， 若1,1x 时， 1f x恒成立， 则) 3 2 (f= 【切比雪夫不等式解法】 【解析】 根据
4、切比雪夫不等式： 若1,1x 时， 1f x恒成立， 也就是对称轴应该是0 x ； 2 =0 2 m x m ，解之得：m2， 2 (x)2xfn,故此|(1)| |2n | 1f 恒成立； 故此1n ,所以 2 (x)2x1f. 9 1 -) 3 2 (= f.高中资料分享 QQ 群：608396916 （二）其他类型函数的（二）其他类型函数的 例例 3【2019 年高考浙江】已知aR，函数 3 ( )f xaxx，若存在tR，使得 2 |(2)( )| 3 f tf t，则实数a的最大值是_. 【解析】存在tR，使得 2 |(2)( )| 3 f tf t，即有 33 2 | (2)(2)
5、| 3 a ttatt， 化为 2 2 |23642| 3 att，可得 2 22 23642 33 att， 即 2 24 364 33 att，由 22 3643(1)1 1ttt ，可得 4 0 3 a. 则实数a的最大值是 4 3 .高中资料分享 QQ 群：608396916 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得 33 | (2)(2)|a ttatt 2 3 ，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求 解. 例例4. 【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试 （B卷)数学】 已知函数 2 1 1, 0 2,0 x x x f xx x ， 2
6、2g xxx，设b为实数，若存在实数a，使得 2g bf a成立，则b的取值范 围为 A1,2B 3 7 , 2 2 C 3 7 , 2 2 D 3 ,4 2 【解析】因为 2 1 1, 0 2,0 x x x f xx x ，所以当 0 x 时， 1 2xf x 单调递增，故 1 22 x f x ；当 0 x 时， 2 111 2 x f xxx xxx ， 当且仅当 1 x x ，即1x 时，取等号，高中资料分享 QQ 群：608396916 例例 5.【高 2017 级资阳市高三第二次诊断性考试理科数学，12 题】已知直线2yx与曲线 (x)ln(ax b)f相切，则 ab 的最大值为
7、（） A. 4 e B. 2 e C.eD.2e 【解析】由题意得：设切点为 00 (x ,y )A，因为切点既在直线2yx上，也在曲线 (x)ln(ax b)f上，所以得到： 00 2xln(axb)；高中资料分享 QQ 群：608396916 同时求导： 2y 和 a y axb ，切点在 00 (x ,y )A，故此 0 2 a axb ； 联立得： 0 1 ln 22 a x 再带入整理得： 1 ln 222 aa ab ， 化简： 22 lnln 222222 aaaaaa bab ，其中0a ； 构造函数 22 (x)ln( ),(x0) 222 xxx H， 1 (x)ln,(x
8、0) 22 x Hx 故当 0,2xe， 1 (x)ln0 22 x Hx ， 22 (x)ln( ) 222 xxx H是单调递增； 当 2,xe， 1 (x)ln0 22 x Hx ， 22 (x)ln( ) 222 xxx H是单调递减。 所以 22 (x)ln( ),(x0) 222 xxx H的最大值(2)Hee； 从而得到 ab 的最大值为e.高中资料分享 QQ 群：608396916 四四.迁移应用迁移应用 1 【山东省德州市 2019 届高三第二次练习数学】设函数 2 log1,0 4 ,0 x xx f x x ， 3f 2 log 3f A9B11 C13D15 【答案】B
9、 【解析】函数 2 log1,0 4 ,0 x xx f x x ， 2 l 2 3og 2 ( 3)log 3log 44ff=2+9=11 故选 B高中资料分享 QQ 群：608396916 【名师点睛】本题考查分段函数、函数值的求法，考查对数函数的运算性质，是基础题 2 【黑龙江省哈尔滨市第三中学 2019 届高三第二次模拟数学】函数 2 2 ( )log (34)f xxx 的单调减区间为 A(, 1) B 3 (,) 2 C 3 ( ,) 2 D(4,) 【答案】A 高中资料分享 QQ 群：608396916 【解析】函数 2 2 log34fxxx， 则 2 340(4)(1)04
10、xxxxx或1x ， 故函数 f x的定义域为4x 或1x ， 由 2 logyx是单调递增函数，可知函数 f x的单调减区间即 2 34yxx的单调减区间， 当 3 (, ) 2 x 时，函数 2 34yxx单调递减， 结合 f x的定义域，可得函数 2 2 log34fxxx的单调减区间为, 1 . 故选 A. 【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区 间. 3 【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学】若函数( )f x是定义在R上的 奇函数， 1 ( )1 4 f，当0 x 时， 2 ( )log ()f xxm，则实数m
11、 A1 B0 C1D2 【答案】C 【解析】( )f x是定义在R上的奇函数， 1 ( )1 4 f， 且0 x 时， 2 ( )log ()f xxm， 2 11 log21 44 fmm ， 1m 故选 C高中资料分享 QQ 群：608396916 【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶 性的定义即可，属于常考题型. 4 【河南省郑州市 2019 届高三第三次质量检测数学】我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺 形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中， 常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨
12、函数的图象的特征，如函数 4 41 x x fx 的图象大致是 ABCD 【答案】D 【解析】因为函数 4 41 x x f x ， 44 () ()( ) 4141 xx xx fxf x ， 所以函数( )f x不是偶函数，图象不关于 y 轴对称，故排除 A、B 选项； 又因为 9256 (3),(4), 7255 ff所以(3)(4)ff， 而选项 C 在0 x 时是递增的，故排除 C.高中资料分享 QQ 群：608396916 故选 D. 【名师点睛】 本题考查了函数的图象和性质， 利用函数的奇偶性和取特值判断函数的图象是解 题的关键，属于基础题. 5 【四川省百校 2019 届高三模
13、拟冲刺卷】若函数 yfx的大致图象如图所示，则 f x的 解析式可以是 A ee xx x f x B ee xx x f x C ee xx f x x D ee xx f x x 【答案】C 【解析】当 x0 时，f（x），而 A 中的 f（x）0，排除 A； 当 x0 时，f（x）0，而选项 B 中 x0 时， ee xx x f x 0， 选项 D 中， ee xx f x x 0，排除 B，D，故选 C高中资料分享 QQ 群：608396916 【名师点睛】本题考查了函数的单调性、函数值的符号，考查数形结合思想，利用函数值的取 值范围可快速解决这类问题 6【北京市朝阳区2019届高三
14、第二次 （5月)综合练习 （二模） 数学】 已知函数 2 , ( ) , x xa f x x xa ， 若函数( )f x存在零点，则实数 a 的取值范围是 A,0 B,1 C1, D0, 【答案】D 【解析】函数 2 , ( ) , x xa f x x xa 的图象如图： 若函数( )f x存在零点，则实数 a 的取值范围是（0，+） 故选 D高中资料分享 QQ 群： 608396916 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的零点，考查数形结合思想以及计算能力 7 【山东省烟台市 2019 届高三 5 月适应性练习（二）数学】已知函数( )yf x的定义域为 R, ) 1( xf为偶函数，
15、且对 12 1xx，满足 0 12 12 xx xfxf .若(3)1f，则不等式 2 log1fx 的解集为 A 1 ,8 2 B)8 , 1 ( C 1 0,(8,) 2 D(,1)(8,) 【答案】A 【解析】因为对 12 1xx，满足 0 12 12 xx xfxf ，所以( )yf x当1x时，是单调递 减函数， 又因为) 1( xf为偶函数， 所以( )yf x关于直线1x 对称， 所以函数( )yf x当 1x时，是单调递增函数，又因为(3)1f，所以有1) 1(f， 当 2 log1x ，即当02x时， 222 log1log( 11 lo1g, 22 )12fxfxxxfx
16、； 当 2 log1x ，即当2x 时， 222 log1log(3)log38,28xxfxfxxf， 综上所述：不等式 2 log1fx 的解集为 1 ,8 2 . 故选 A 【名师点睛】本题考查了抽象函数的单调性、对称性、分类讨论思想. 对于( )yf x来说，设定义域为I，DI， 1212 ,x xD xx， 若 21 2121 21 ()() ( ()() ()0(0) f xf x f xf xxx xx ，则( )yf x是D上的增函数； 若 21 2121 21 ()() ( ()() ()0(0) f xf x f xf xxx xx ，则( )yf x是D上的减函数. 8
17、【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学】 已知(2)f x是偶函数，( )f x在 2，上单调递减，(0)0f，则(23 )0fx的解集是 A 2 ()(2) 3 ，B 2 (2) 3， C 22 () 33 ，D 22 ()() 33 ， 【答案】D 【解析】因为(2)f x是偶函数，所以( )f x的图象关于直线2x 对称， 因此，由(0)0f得(4)0f， 又( )f x在 2， 上单调递减，则( )f x在 2,上单调递增， 所以，当232x即0 x 时，由(23 )0fx得(23 )(4)fxf，所以234x， 解得 2 3 x ； 当232x即0 x 时， 由(2
18、3 )0fx得(23 )(0)fxf， 所以230 x， 解得 2 3 x ， 因此，(23 )0fx的解集是 22 ()() 33 ，. 故选 D. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，不等式的求解，先根据函数的奇偶性得到函数 在定义域上的单调性，从而分类讨论求解不等式. 9 【山东省德州市 2019 届高三第二次练习数学】 已知定义在 R 上的函数 f x在区间0 ， 上单调递增，且1yf x的图象关于1x 对称，若实数 a 满足 2 log2faf，则 a 的取值范围是 A 1 0, 4 B 1 , 4 C 1 ,4 4 D 4, 【答案】C 【解析】根据题意，1yf x的图象关于
19、直线1x 对称，则函数 f x的图象关于y轴 对称，即函数 f x为偶函数， 又由函数 f x在区间0 ，上单调递增， 可得 2 log2|faf，则 2 log|2|a ， 即 2 2log2a ，解得 1 4 4 a， 即 a 的取值范围为 1 ,4 4 . 故选 C 【名师点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查对数不等式的解法. 10【广东省汕头市 2019 届高三第二次模拟考试 （B 卷)数学】 已知函数 2 1 1, 0 2,0 x x x f xx x ， 2 2g xxx，设b为实数，若存在实数a，使得 2g bf a成立，则b的取值范 围为 A1,2B 3 7 , 2
20、2 C 3 7 , 2 2 D 3 ,4 2 【答案】A 【解析】因为 2 1 1, 0 2,0 x x x f xx x ， 所以当0 x 时， 1 2xf x 单调递增，故 1 22 x f x ； 当0 x 时， 2 111 2 x f xxx xxx ， 当且仅当 1 x x ，即1x 时，取等号， 综上可得，. 又因为存在实数 ，使得成立， 所以只需，即， 解得. 故选 A. 【名师点睛】本题主要考查分段函数的值域，将存在实数 ，使得成立，转化 为是解题的关键，属于常考题型. 11 【云南省玉溪市第一中学 2019 届高三第二次调研考试数学】若 ( ) log () f x x ，
21、则( )f x的定义域为_. 【答案】 1 (,0) 2 【解析】要使函数有意义，需 1 2 210 log (21)0 x x ， 解得 1 0 2 x. 则( )f x的定义域为 1 (,0) 2 . 【名师点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题. 12 【湖南省长沙市第一中学 2019 届高三下学期高考模拟卷（一）数学】若函数 ( )f x称为“准 奇函数”，则必存在常数 a，b，使得对定义域的任意 x 值，均有( )(2)2f xfaxb，已知 1 )( x x xf为准奇函数”，则 ab_. 【答案】2 【解析】由( )(2)2f xfaxb知“准奇函数”( )f x关于点),(ba
22、对称. 因为 1 )( x x xf= 1 1 1x 关于(1,1)对称，所以1a ，1b ， 则2ab. 故答案为 2. 【名师点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性，属于基础题 13 【广东省深圳市深圳外国语学校 2019 届高三第二学期第一次热身考试数学】函数 2 11 log 1 ax f x xx 为奇函数，则实数a _ 【答案】1 【解析】函数 2 11 log 1 ax f x xx 为奇函数， fxfx， 即 0fxf x， 则 22 1111 loglog0 11 axax xxxx ，即 2 11 log0 11 axax xx ， 22 2 111 1
23、111 axaxa x xxx ，则 222 11a xx ， 2 1a ，则1a . 当1a 时， 2 11 log 1 x f x xx ， 则 f x的定义域为：0 x x 且1x ， 此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意； 当1a 时， 2 11 log 1 x f x xx ，满足题意， 1a=. 【名师点睛】 本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数解析式， 根据条件建立方程关系是解决 本题的关键，易错点是忽略定义域关于原点对称的前提，造成求解错误 14 【河南省濮阳市 2019 届高三 5 月模拟考试数学】已知直线l与曲线 3 1yxx有三个不 同的交点 11 ,A
24、x y， 22 ,B xy， 33 ,C xy，且| |ABAC，则 3 1 ii i xy _. 【答案】3 【解析】由题意，函数 3 yxx是奇函数，则函数 3 yxx的图象关于原点对称， 所以函数 3 1yxx的函数图象关于点(0,1)对称， 因为直线l与曲线 3 1yxx有三个不同的交点 112233 ,A x yB xyC x y，且 | |ABAC， 所以点A为函数的对称点，即(0,1)A，且,B C两点关于点(0,1)A对称， 所以 123123 0,3xxxyyy， 于是 3 1 3 ii i xy . 【名师点睛】本题主要考查了函数对称性的判定及应用，其中解答中根据函数的基本性质，得 到函数图象的对称中心，进而得到点A为函数的对称点，且,B C两点关于点(0,1)对称是解 答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
