1、2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 第六章平 面向量及其应用 单元测试 (时间:120 分钟分值:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题 所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1.在ABCD 中,若? ? ?=(2,8),?t? ?=(-3,4),则?塨? ? = () A.(-1,-12)B.(-1,12)C.(1,-12)D.(1,12) 答案:B 2.在ABC 中,若 A= 3,BC=3,AB= 6,则 C= () A. 4或 3 4 B.3 4 C. 4 D. 6 答案:C 3.若四边形ABCD满足?t ? ?+
2、塨? ?=0,(?t? ?-? ?)?塨? ? =0,则该四边形一定 是() A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形 答案:C 4.(2020 年新高考全国卷)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点,则? ? ?t? ?的取值范围是 () A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4) D.(-4,6) 答案:A 5.若点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量?t ? ?在塨? ?方向上的投 影为() A.3 2 2 B.3 15 2 C.-3 2 2 D.-3 15 2 答案:A 6.在ABC 中,若 AB=BC=3,ABC=60,AD
3、是边 BC 上的高,则 ? ? ?塨? ? 的值等于 () A.-9 4 B.9 4 C.27 4 D.9 答案:C 7.在ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,如果 2b=a+c,B=30, ABC 的面积为3 2,那么 b 等于 ( ) A.1+ 3 2 B.1+ 3C.2+ 2 2 D.2 3 答案:B 8.如图,海平面上的甲船位于中心 O 的南偏西 30,与 O 相距 15 n mile 的 C 处.若甲船以 35 n mile/h 的速度沿直线 CB 去营救位于 中心 O 正东方向 25 n mile 的 B 处的乙船,则甲船到达 B 处需要的时间 为() A.1 2
4、h B.1 h C.3 2 h D.2 h 答案:B 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题 给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对 的得 3 分,有选错的得 0 分) 9.若 O 是平行四边形 ABCD 对角线的交点,则() A.?t ? ?=塨? ? B.? ? ?+塨? ?=t? ? C.?t ? ?-? ?=t? ? D.?t ? ?=1 2(? ? ?+t? ?) 答案:AB 10.在ABC 中,若 a=5 2,c=10,A=30,则 B 可能是() A.135B.105C.45 D.15 答案:BD 11.已知向量
5、e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量 a=1e1+2e2,则使120 成 立的 a 可能是() A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1) 答案:AC 12.定义平面向量之间的一种运算“”:对任意的 a=(m,n),b=(p,q), 令 ab=mq-np,下列说法正确的是 () A.若 a 与 b 共线,则 ab=0 B.ab=ba C.对任意的R,有ab=(ab) D.(ab)2+(ab)2=|a|2|b|2 答案:ACD 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题 中的横线上) 13.在ABC 中,若 3a2-2ab+3b2-3c2
6、=0,则 cos C 的值为1 3. 14.若向量? ? ?=(1,-3),|? ?|=|?t? ?|,? ?t? ?=0,则|?t? ?|=2 5. 15.(本题第一空 2 分,第二空 3 分)已知在ABC 中,AB=AC=4,BC=2,D为AB延长线上一点,连接CD,若BD=2,则BDC 的面积是 15 2 ,cosCDB= 10 4 . 16.太湖中有一个小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车 测得小岛在公路的南偏西 15的方向上,若汽车沿公路行驶 1 km 后,测 得小岛在南偏西 75的方向上,则小岛到公路的距离是 3 6 km. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答
7、应写出文字说明、证 明过程或演算过程) 17.(10 分)在ABC 中,a=3,b=2 6,B=2A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 解:(1)因为 a=3,b=2 6,B=2A, 所以在ABC 中,由正弦定理得 3 sin?= 2 6 sin2?, 所以2sin?cos? sin? =2 6 3 .故 cos A= 6 3 . (2)由(1),知 cos A= 6 3 , 所以 sin A= 1-cos2?= 3 3 . 因为 B=2A,所以 cos B=2cos2A-1=1 3. 所以 sin B= 1-cos2t=2 2 3 . 在ABC 中,sin C=sin(A
8、+B)=sin Acos B+cos Asin B=5 3 9 ,所以 c=?sin塨 sin? =5. 18.(12 分)如图,在平面直角坐标系中,|? ? ?|=2|?t? ?|=2, OAB=2 3 ,t塨 ? ?=(-1, 3). (1)求点 B,C 的坐标; (2)求证:四边形 OABC 为等腰梯形. (1)解:设点 B 的坐标为(xB,yB),则 xB=|? ? ?|+|?t? ?|cos(- OAB)=5 2,yB=|?t ? ?|sin(-OAB)= 3 2 , 所以?塨 ? ?=?t? ?+t塨? ?=（5 2, 3 2 ）+(-1, 3)=（3 2, 3 3 2 ）, 所以
9、点 B 的坐标为（5 2, 3 2 ）,点 C 的坐标为（3 2, 3 3 2 ）. (2)证明:因为?塨 ? ?=（3 2, 3 3 2 ）,?t ? ?=（1 2, 3 2 ）, 所以?塨 ? ?=3?t? ?,所以?塨? ?t? ?. 因为t塨 ? ?=(-1, 3),所以|t塨? ?|=2. 因为|?塨 ? ?|?t? ?|,|? ?|=|t塨? ?|=2, 所以四边形 OABC 为等腰梯形. 19.(12 分)在四边形 ABCD 中,已知 ?t ? ?=(6,1),t塨? ?=(x,y),塨? ?=(-2,-3),t塨? ? ?. (1)求 x 与 y 的解析式; (2)若?塨 ?
10、? t ? ?,求 x,y 的值以及四边形 ABCD 的面积. 解:如图所示. (1)因为? ? ?=?t? ?+t塨? ?+塨? ?=(x+4,y-2), 所以? ? ?=-? ?=(-x-4,2-y). 因为t塨 ? ? ?,t塨? ?=(x,y), 所以 x(2-y)-(-x-4)y=0,即 x+2y=0. (2)由题意,得?塨 ? ? =?t ? ?+t塨? ?=(x+6,y+1), t ? ?=t塨? ?+塨? ?=(x-2,y-3). 因为?塨 ? ? t ? ?,所以?塨? ? t ? ?=0, 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 由(1)可知 x=-2y,所以
11、y2-2y-3=0,所以 y=3 或 y=-1. 当 y=3 时,x=-6,此时,t塨 ? ?=(-6,3),?塨? ? =(0,4),t ? ?=(-8,0), 所以|?塨 ? ? |=4,|t ? ?|=8, 所以 S 四边形ABCD= 1 2|?塨 ? ? |t ? ?|=16. 当 y=-1 时,x=2,此时,t塨 ? ?=(2,-1),?塨? ? =(8,0),t ? ?=(0,-4). 所以|?塨 ? ? |=8,|t ? ?|=4,S 四边形ABCD=16. 综上可知 ? = -6, ? = 3 或 ? = 2, ? = -1, S 四边形ABCD=16. 20.(12 分)如图
12、,某海轮以 60 n mile/h 的速度航行,在点 A 测得海面 上油井 P 在南偏东 60,向北航行 40 min 后到达点 B,测得油井 P 在南 偏东 30,海轮改为沿北偏东 60的航向再行驶 80 min 到达点 C,求 P,C 间的距离. 解:由题意知 AB=40 n mile,BAP=120,ABP=30, 所以APB=30,所以 AP=40 n mile, 所以 BP2=AB2+AP2-2APABcos 120=402+402-24040（-1 2） =4023, 所以 BP=40 3 n mile. 因为PBC=90,BC=80 n mile, 所以 PC2=BP2+BC2=
13、(40 3)2+802=11 200, 所以 PC=40 7 n mile, 即 P,C 间的距离为 40 7 n mile. 21.(12 分)在边长为 1 的菱形ABCD中,A=60,E是线段CD上一 点,满足|塨t ? ? |=2|t ? ?|,如图所示,设?t? ?=a a,? ?=b b. (1)用a a,b b表示tt ? ?. (2)在线段BC上是否存在一点F,满足AFBE?若存在,确定点F 的位置,并求|?t ? ?|;若不存在,请说明理由. 解:(1)根据题意,得t塨 ? ?=? ?=b, 塨t ? ? =2 3 塨 ? ?=2 3 t? ? ?=-2 3 ?t ? ?=-2
14、 3a, 所以tt ? ?=t塨? ?+塨t? ? =b-2 3a. (2)结论:在线段BC上存在使得4|tt ? ?|=|t塨? ?|的一点F,满足AFBE, 此时|?t ? ?|= 21 4 . 求解如下: 设tt ? ?=tt塨? ?=tb,则t塨? ? =(1-t)b(0t1), 所以?t ? ?=?t? ?+tt? ?=a+tb. 因为在边长为 1 的菱形 ABCD 中,A=60, 所以|a|=|b|=1,ab=|a|b|cos 60=1 2. 因为 AFBE, 所以?t ? ?tt? ?=(a+tb)（b-2 3a）=（1- 2 3t）ab- 2 3a 2+tb2=（1-2 3t）
15、 1 2- 2 3+t=0, 解得 t=1 4,所以?t ? ?=a+1 4b, 所以|?t ? ?|= ?t? ?2= ?2+ 1 2 ? + 1 16 ?= 1 + 1 2 1 2 + 1 16= 21 4 . 22.(12 分)在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 sin A+ 3cos A=2. (1)求角 A 的大小. (2)现给出三个条件:a=2;B= 4;c= 3b.试从中选出两个可以 确定ABC 的条件,写出你的方案,并以此为依据求ABC 的面积.(写 出一种方案即可) 解:(1)依题意,得 2sin（A+ 3）=2, 即 sin（A+ 3）=1. 因为 0A,所以 3A+ 3 4 3 , 所以 A+ 3= 2,所以 A= 6. (2)参考方案:选择. 由正弦定理 ? sin?= ? sint,得 b= ?sint sin? =2 2. 因为 A+B+C=, 所以 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 2+ 6 4 , 所以 SABC=1 2absin C= 1 222 2 2+ 6 4 = 3+1.
