1、第七章复数 章末检测 (时间：120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1(2020 年南充模拟) 1 2i( ) A2 5 1 5i B2 5 1 5i C2 5 1 5i D2 5 1 5 【答案】C【解析】 1 2i 2i 2i2i 2 5 1 5i.故选 C 2i 是虚数单位，则 i 1i的虚部是( ) A1 2i B1 2i C1 2 D1 2 【答案】C【解析】 i 1i i1i 1i1i 1i 2 1 2 1 2i.故选 C 3已知 i 是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的() A充分不必要条件 B必要
2、不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当 ab1 时，(abi)2(1i)22i.若(abi)22i，则 ab 1 或 ab1.故“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要条件故选 A 4(2020 年海口月考)若复数 z i 1i，其中是 i 虚数单位，则 z () A1 2 1 2i B1 2 1 2i C1 2 1 2i D1 2 1 2i 【答案】D【解析】由 z i 1i i1i 1i1i 1 2 1 2i，得 z 1 2 1 2i.故选 D 5(2020 年景德镇月考)已知 i 为虚数单位，若 2 1iabi(a，bR)，则 a 2 019b2 0
3、20 () A0B1 C2D3 【答案】C【解析】由 2 1i1iabi，得 a1，b1，a 2 019b2 02012 019 (1)2 0202.故选 C 6(2020 年宜宾模拟)已知 i 是虚数单位，复数 m1(2m)i 在复平面内对应的点在 第二象限，则实数 m 的取值范围是() A(，1) B(1,2) C(2，) D(，1)(2，) 【答案】A【解析】复数 m1(2m)i 在复平面内对应的点在第二象限， m10， 解得 m1.实数 m 的取值范围是(，1)故选 A 7(2020 年汉中月考)z 5i 12i(i 是虚数单位)，则 z 的共轭复数为( ) A2iB2i C2iD2i
4、 【答案】C【解析】z 5i 12i 5i12i 12i12i 5i12i 5 2i， z 2i. 故选 C 8已知复数 zii 2i3i2 015 1i ，则复数 z 在复平面内对应的点位于() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 【答案】B【解析】因为 ii2i3i40，i5i6i7i80，i2009i2010i2011i2012 0，i2013i2014i2015i1i1，所以 z 1 1i 1 2 1 2i，所以对应点 1 2， 1 2 在第二 象限故选 B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分
5、，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 9已知复数 z 2 1i，则( ) A|z|2 Bz22i Cz 的共轭复数为 1i Dz 的虚部为1 【答案】BD【解析】z 2 1i 21i 1i1i1i，A：|z| 2，B：z 2 2i，C：z 的共轭复数为1i，D：z 的虚部为1.故选 BD 10已知复数 z1i，则下列命题中正确的为() A|z| 2 B z 1i Cz 的虚部为 i Dz 在复平面上对应点在第一象限 【答案】ABD【解析】复数 z1i，则|z| 2，故 A 正确； z 1i，故 B 正确； z 的虚部为 1，故 C 错误；z 在复平面上对应点的坐标为(1,1)，在第一象限
6、，故 D 正确故 选 ABD 11已知 z1与 z2互为共轭复数，以下四个命题为真命题的是() Az21|z2|2Bz1z2|z1z2| Cz1z2RDz1 z2R 【答案】BC【解析】z1与 z2互为共轭复数，设 z1abi，z2abi(a，bR)z21 a2b22abi，复数不能比较大小，因此 A 不正确；z1z2|z1z2|a2b2，B 正确；z1z22a R，C 正确；z1 z2 abi abi abi2 abiabi a2b2 a2b2 2ab a2b2i 不一定是实数，因此 D 不一定正 确故选 BC 12设 z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是() A若|z1z2|0，则
7、z 1 z 2 B若 z1 z 2，则 z 1z2 C若|z1|z2|，则 z1 z 1z2 z 2 D若|z1|z2|，则 z21z22 【答案】ABC【解析】对 A，若|z1z2|0，则 z1z20，z1z2，所以 z 1 z 2为 真；对 B，若 z1 z 2，则 z1和 z2互为共轭复数，所以 z 1z2为真；对 C，设 z1a1b1i， z2a2b2i，若|z1|z2|，则 a21b21 a22b22，z1 z 1a21b21，z2 z 2a22b22，所以 z1 z 1 z2 z 2为真；对 D，若 z11，z2i，则|z1|z2|，而 z211，z221，所以 z21z 2 2为
8、假故 选 ABC 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填写在题中横线上) 13已知复数 z32i 23i，i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 z _. 【答案】i【解析】(方法一)z32i 23i i23i 23i i，所以 z 的共轭复数为i. (方法二)z32i 23i 32i23i 23i23i 13i 13 i，所以 z 的共轭复数为i. 14已知 mR，复数mi 1i 1 2的实部和虚部相等，则 m_. 【答案】1 2 【解析】mi 1i 1 2 mi1i 1i1i 1 2 m11mi 2 1 2 m1mi 2 ，由 已知得m 2 1m 2 ，则 m
9、1 2. 15已知复数 z1，z2满足|z1|1，|z2|5，则|z1z2|的取值范围是_ 【答案】4,6【解析】(方法一)设 z1，z2在复平面内对应的点分别为 Z1，Z2，则易得 z1，z2对应的点的轨迹分别是以坐标原点为圆心，1 和 5 为半径的圆，易得|z1z2|的最小值 为 4，最大值为 6，故|z1z2|的取值范围是4,6 (方法二)因为|z1|z2|z1z2|z1|z2|， 所以|15|z1z2|15|， 即 4|z1z2|6， 则|z1z2|的取值范围是4,6 16复数 z 2 1i(i 是虚数单位)，其共轭复数 z _. 【答案】1i【解析】z 2 1i 21i 1i1i1i
10、， z 1i. 四、解答题(本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余小题为 12 分，共 70 分，解答应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17已知 zC，解方程 z z 3i z 13i. 解：设 zabi(a，bR)，则(abi)(abi)3i(abi)13i，即 a2b23b3ai1 3i.根据复数相等的定义， 得 a2b23b1， 3a3， 解得 a1， b0 或 a1， b3. z1 或 z13i. 18已知复数 z 的模为 1，求|z12i|的最大值和最小值 解：复数 z 的模为 1，z 在复平面内的对应点是以原点为圆心，1 为半径的圆而|z 12i|z(12i)|可
11、以看成圆上的点 Z 到点 A(1,2)的距离，如图 |z12i|min|AB|OA|OB| 51，|z12i|max|AC|OA|OC| 51. 19(2020 年重庆月考)实数 m 取什么数值时，复数 zm 2m2 m1 (m21)i 分别是下列 数？ (1)实数； (2)纯虚数 解：(1)由 m210 且 m10，得 m1，当 m1 时，z 是实数 (2)由 m2m2 m1 0， m210， 解得 m2. 当 m2 时，z 是纯虚数 20(2020 年重庆月考)已知复数 z 满足(z2)(1i)1i(i 为虚数单位) (1)求复数 z； (2)求|(3i)z|. 解：(1)由(z2)(1i
12、)1i，得 z1i 1i2 1i2 1i1i22i. (2)由 z2i，得|(3i)z|(3i)(2i)|7i| 72125 2. 21(2019 年聊城高二期末)四边形 ABCD 是复平面内的平行四边形，A，B，C，D 四点 对应的复数分别为 13i，2i,2i，z， (1)求复数 z； (2)z 是关于 x 的方程 2x2pxq0 的一个根，求实数 p，q 的值 解：(1)复平面内 A，B，C 对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，设 D 的坐标(x，y)， 由于AD BC ，(x1，y3)(2，1)x12，y31，解得 x3，y2，故 D(3，2)，则点 D 对应的复数
13、z32i. (2)32i 是关于 x 的方程 2x2pxq0 的一个根，32i 是关于 x 的方程 2x2px q0 的另一个根，则 32i32ip 2，(32i)(32i) q 2，即 p12，q26. 22已知关于 x 的方程 x24xp0(pR)的两个根是 x1，x2. (1)若 x1为虚数且|x1|5，求实数 p 的值； (2)若|x1x2|2，求实数 p 的值 解：(1)由题意知0，164p4. 又 x1x2p，x1x2x1 x 1|x1|225，p25. (2)x1x24，x1x2p.若方程的判别式0，即 p4 时，方程有两个实数根 x1，x2， 则|x1x2|2(x1x2)24x1x2164p4，解得 p3； 若方程的判别式4 时，方程有一对共轭虚根 x1，x2，则|x1x2| 4p16| 4p162，解得 p5.故实数 p 的值为 3 或 5.
