1、2020-2022020-2021 1 学年新教材人学年新教材人教教 A A 版选择性必修第一册版选择性必修第一册 第三章第三章圆锥圆锥 曲线的方程曲线的方程单元测试单元测试 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1、方程 x 2cos-y2sin=1(其中在第四象限)所表示的曲线是（ ） A焦点在 X 轴上的双曲线B焦点在 Y 轴上的双曲线 C焦点在 X 轴或 Y 轴上的椭圆D以上答案都不对 2、如图如图，设抛物线设抛物线 2 4yx的焦点为的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点不经过焦点的直线上有三个不同的点A， B，C，其中点其中点A，B在抛物线上在抛物
2、线上，点点C在在y轴上轴上，则则BCF与与ACF的面积之的面积之 比是（比是（） A.A. 1 1 BF AF B.B. 2 2 1 1 BF AF C.C. 1 1 BF AF D.D. 2 2 1 1 BF AF 3、已知已知 P P，Q Q 为抛物线为抛物线 x2=2yx2=2y 上两点上两点，点点 P P，Q Q 的横坐标分别为的横坐标分别为 4 4，2 2，过过 P P，Q Q 分分 别作抛物线的切线，两切线交于点别作抛物线的切线，两切线交于点 A A，则点，则点 A A 的纵坐标为（的纵坐标为（） (A)(A) 1 1(B)(B) 3 3(C)(C)4 4(D)(D)8 8 4、已
3、知双曲线已知双曲线的离心率为的离心率为，则点则点到到 的渐近线的距的渐近线的距 离为离为( () ) A AB BC CD D 5、已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心学率为 3 2 .双曲线 22 1xy的渐近 线与椭圆C有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆C的方 程为（） A 22 1 82 xy B 22 1 126 xy C 22 1 164 xy D 22 1 205 xy 6、 过双曲线 x 2 =1 的右支上一点 P， 分别向圆 C1：（x+4） 2+y2=4 和圆 C 2： （x4） 2+y2=1 作切线，切点分别为 M，N，则|
4、PM| 2|PN|2的最小值为（ ） A10B13C16D19 7、设定点设定点 1 0, 3F、 2 0,3F，动点动点P满足满足 12 9 0PFPFaa a ，则点则点P的的 轨迹是（轨迹是（） A A椭圆椭圆B B线段线段C C不存在不存在D D椭圆或线段椭圆或线段 8、 过双曲线的一个焦点 2 F作垂直于实轴的弦PQ， 1 F是另一焦点， 若 1 2 PFQ ， 则双曲线的离心率等于（） A.2B.21C.2 2D.22 9、如图所示，椭圆 22 22 1 xy ab 中心在坐标原点，F为左焦点，当0FB AB ， 其离心率为 51 2 ，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比黄金椭圆，可
5、推算出黄金 双曲线的离心率等于（） A. 51 2 B. 51 2 C.51D.51 10、已知已知 O O 为坐标原点为坐标原点，设设 1 F ， 2 F 分别是双曲线分别是双曲线 22 1xy 的左的左、右焦点右焦点，P P 为双为双 曲线上任一点，过点曲线上任一点，过点 1 F 作作 12 FPF 的平分线的垂线，垂足为的平分线的垂线，垂足为 H H，则，则 OH （） A A1 1B B2 2C C4 4D D 1 2 11、若若的两个顶点坐标分别为的两个顶点坐标分别为，的周长为的周长为 1818。则顶点则顶点 满足满足 的一个方程是（的一个方程是（） A A B B C C D D
6、12、已知圆，定点，点 P 为圆 M 上的动点， 点Q在NP上， （） AB CD 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、已知点 P(x，y)在椭圆1 上，则 x22y 的最大值是_ 14、已知 F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，以原点 O 为圆心， OF1为半径的圆与椭圆在 y 轴左侧交于 A、B 两点，若F2AB 是等边三角形，则椭圆 的离心率等于. 15、 已知已知是椭圆是椭圆的左右焦点的左右焦点， 是短轴的一个端点是短轴的一个端点， 线段线段 的延长线交椭圆的延长线交椭圆 于点于点 ，若，若为等腰三角形，则椭圆为等腰三角形，则椭圆 的离心率为的离心率为_
7、 16、 双曲线双曲线的渐近线为的渐近线为，一个焦点为，一个焦点为，则，则_._. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17、 （本小题满分 10 分）已知椭圆 C1： 2 2=1 4 x y，椭圆 C2以 C1的长轴为短轴， 且与 C1有相同的离心率 (1)求椭圆 C2的方程； (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1和 C2上，2OBOA ，求直线 AB 的 方程 18、 （本小题满分 12 分）设椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0( ba的两个焦点是)0 ,( 1 cF ， )0 ,( 2 cF)0( c，且椭圆上存在点P使得直线 1 PF与直线 2
8、PF垂直. (1)求椭圆离心率e的取值范围； (2)若直线 1 PF与椭圆另一个交点为Q，当 2 2 e，且 2 PQF的面积为12时，求 椭圆方程. 19、 （本小题满分 12 分） 设椭圆方程1 25 2 22 b yx (05 b),F为椭圆右焦点,P 为椭圆在短轴上的一个顶点,POF的面积为 6,(O为坐标原点); (1)求椭圆方程; (2)在椭圆上是否存在一点Q,使QF的中垂线过点O？若存在,求出Q点坐标;若 不存在,说明理由. 20、 （本小题满分 12 分）求经过点求经过点 3,2 7 ,6 2, 7 ,PQ 且焦点在坐标轴上的且焦点在坐标轴上的 双曲线的标准方程双曲线的标准方程
9、. . 参考答案参考答案 1、答案 D 2、答案 A.A. 1 1 AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选 A. 3、答案 C C 如图所示，如图所示， 由已知可设 1 (4,)Py， 2 ( 2,)Qy，点 P,Q 在抛物线 2 2xy上， 2 1 2 2 42 ( 2)2 y y 1 2 8 2 y y P（4,8） ，Q（-2.2.，2） ，又抛物线可化为 2 1 2 yxyx 过点 P 的切线斜率为 4 4 x y ， 过点 Q 的切线为22(2)yx ， 即22yx 联立 48 22 yx yx ，解得1,4xy ，点 A 的纵坐标为-4.4. 考点定
10、位：本小题考查抛物线和导数知识，意在考查考生对抛物线的理解以及对利用导 数求切线方程的理解 4、答案 D D 详解： 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选 D 5、答案 D 因为椭圆的离心率为 2 3 ,所以 2 3 a c e, 22 4 3 ac , 2222 4 3 baac,所以 22 4 1 ab ,即 22 4ba ,双曲线的渐近线为xy,代入椭圆得1 2 2 2 2 b x a x ,即 1 4 5 4 2 2 2 2 2 2 b x b x b x ,所以bxbx 5 2 , 5 4 22 , 22 5 4 by ,by 5 2 ,则第一象限 的交点坐
11、标为) 5 2 , 5 2 (bb,所以四边形的面积为16 5 16 5 2 5 2 4 2 bbb,所以 5 2 b,所以椭圆方程为1 520 22 yx ,选 D. 6、答案 B 解：圆 C1： （x+4） 2+y2=4 的圆心为（4，0） ，半径为 r 1=2； 圆 C2： （x4） 2+y2=1 的圆心为（4，0） ，半径为 r 2=1， 设双曲线 x 2 =1 的左右焦点为 F1（4，0） ，F2（4，0） ， 连接 PF1，PF2，F1M，F2N，可得 |PM| 2|PN|2=（|PF 1| 2r 1 2）（|PF 2| 2r 2 2） =（|PF1| 24）（|PF 2| 21）
12、 =|PF1| 2|PF 2| 23=（|PF 1|PF2|） （|PF1|+|PF2|）3 =2a（|PF1|+|PF2|3=2（|PF1|+|PF2|）32？2c3=2？83=13 当且仅当 P 为右顶点时，取得等号， 即最小值 13 故选 B 7、答案 D 当0a 时，由均值不等式的结论有： 99 26aa aa ，当且仅当3a 时等号成 立. 当 9 6a a 时，点P的轨迹表示线段 12 FF, 当 12 9 6aFF a 时，点P的轨迹表示以 12 FF位焦点的椭圆, 本题选择 D 选项. 8、答案 B 由已知可得 2 2222 2202021021 b cbaccaaceee a
13、 ，故选 B. 9、答案 B 类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，OAa，OBb，OFc 当0FB AB 时， 222 BFABAF 22222 2bccacac 222 bca 整理可得： 22 caac 2 10ee 解得 51 2 e 或 51 2 e （舍去） 故黄金双曲线的离心率为 51 2 e 故选B 10、答案 A 双曲线右支取一点 P 并延长 2 PF ， 1 FH 交于 Q，由角平分线的性质知 1 PFPQ ，结合 双曲线的焦半径关系 12 2PFPF 即 2 2QF ， 进而利用三角形中位线的性质即可求 OH 详解：不妨在双曲线右支上取点 P，延长 2 PF ， 1 FH ，
14、交于点 Q，由角平分线性质可知 1 PFPQ 根据双曲线的定义得， 12 2PFPF ，从而 2 2QF 在 12 FQF 中，OH 为其中位线，故 1OH 故选：A 11、答案 D D 根据三角形周长可知，可知顶点 C 的轨迹是椭圆，即可写出方程. 详解 由题意，得， 所以顶点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点，且的椭圆， 又因为 A，B，C 三点不共线，所以顶点 C 的轨迹方程为 故选 D. 12、答案 A 由已知得 Q 为 PN 的中点且 GQPN，|GN|+|GM|=|MP|=8，从而得到 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，其长半轴长 a=4，半焦距 c=，由此能求出点 G 的轨迹
15、方程 解：圆，定点，点 P 为圆 M 上的动点， M（，0） ，PM=8， 点 Q 在 NP 上，=0， Q 为 PN 的中点且 GQPN，GQ 为 PN 的中垂线， |PG|=|GN|，|GN|+|GM|=|MP|=8， 故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，其长半轴长 a=4，半焦距 c=， 短半轴长 b=3， 点 G 的轨迹方程是=1. 故选：A 13、答案17 4 法一：设点 P(2cos ，sin )，x22y4cos22sin 4sin22sin 4； 令 Tx22y，sin t，(1t1)，则 T4t22t4，对称轴 t 1 4 ， TmaxTt 1 4 12 4 417
16、4 ，x22y 的最大值是17 4 . 法二：由1 得 x24(1y2)；令 Tx22y，代入得 T44y22y，即 T 4(y 1 4 )24 1 4 ；当 y 1 4 时 ymax4 1 4 17 4 ；即 x22y 的最大值是17 4 . 14、答案 15、答案 根据椭圆的定义及条件求出点 的坐标，然后根据点 在椭圆上可得，进而可求 得椭圆的离心率 详解 如图，不妨设点 是椭圆短轴的上端点，则点 D 在第四想象内，设点 由题意得为等腰三角形，且 由椭圆的定义得， 又， ，解得 作轴于 ， 则有， ， 点 的坐标为 又点 在椭圆上， ，整理得， 所以 故答案为： 16、答案 2 分析 由题
17、意布列关于 a 的方程即可得到结果. 详解 由题意可得：，又 故答案为：2 17、答案解：由已知可设椭圆 C2的方程为 22 2 =1 4 yx a (a2)，其离心率为 3 2 ，故 2 43 = 2 a a ，则 a4，故椭圆 C2的方程为 22 =1 164 yx 解：方法一：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由=2OBOA 及(1)知，O， A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx，将 ykx 代入 2 4 x y21 中，得(14k2)x24，所以 2 2 4 = 14 A x k 将 ykx 代入 22 =1 164
18、 yx 中， 得(4k2)x216，所以 2 2 16 = 4 B x k 又由=2OBOA 得 22 =4 BA xx，即 22 1616 = 414kk ， 解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx 方法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由=2OBOA 及(1)知，O，A， B 三点共线且点 A， B 不在 y 轴上， 因此可设直线 AB 的方程为 ykx 将 ykx 代入 2 4 x y21 中，得(14k2)x24，所以 2 2 4 = 14 A x k 由=2OBOA 得 2 2 16 = 14 B x k ， 2 2 2 16 = 14 B k
19、 y k ，将 22 BB xy，代入 22 =1 164 yx 中，得 2 2 4 =1 14 k k ，即 4k214k2，解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx 解： 由已知可设椭圆 C2的方程为 22 2 =1 4 yx a (a2)， 其离心率为 3 2 ， 故 2 43 = 2 a a ， 则 a4，故椭圆 C2的方程为 22 =1 164 yx 解：方法一：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由=2OBOA 及(1)知，O， A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx，将 ykx 代入 2 4 x y21
20、中，得(14k2)x24，所以 2 2 4 = 14 A x k 将 ykx 代入 22 =1 164 yx 中， 得(4k2)x216，所以 2 2 16 = 4 B x k 又由=2OBOA 得 22 =4 BA xx，即 22 1616 = 414kk ， 解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx 方法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由=2OBOA 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx将 ykx 代入 2 4 x y 21 中，得(14k2)x24，所以2 2 4 = 14 A x k
21、由=2OBOA 得 2 2 16 = 14 B x k ， 2 2 2 16 = 14 B k y k ，将 22 BB xy，代入 22 =1 164 yx 中，得 2 2 4 =1 14 k k ，即 4k 214k2，解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx 18、答案(1)由 1 2 2 2 2 b y a x 是直角三角形知， )0( ba ，即 )0,( 1 cF ，故) 0 ,( 2 cF (2)设椭圆方程为) 0( c， 由 P 得： 1 PF直线 2 PF的斜率e， 设直线 2 PF的方程为： 1 PF，于是椭圆方程可化为： Q 把代入，得： 2 2 e ， 整理得
22、： 2 PQF ， 设12则 x1、x2是上述方程的两根，且 3 4 | 12 c xx， 3 24 |1| 12 2 c xxkPQ 点 2 F到PQ直线的距离为cPFd2 2 ， 所以：c c S2 3 24 2 1 3 4 2 c 12得： 22 9bc，18 2 a 所求椭圆方程为：. 1 918 22 yx 19、答案(1)设 1 25 2 22 b yx 05 b为椭圆在短轴上的一个顶点,且F的面积为 6, P . 又POF. O 或Q.椭圆方程为QF或 O . (2)假设存在点Q,使QF的中垂线过点O.若椭圆方程为 O ,则)0 , 3(F,由题 意,3 OFOQQ点的轨迹是以O
23、为圆心,以3为半径的圆. 设),(yxQ,则其轨 迹方程为9 22 yx.显然与椭圆 O 无交点.即假设不成立,点Q不存在.若 椭圆方程为QF,则)0 , 4(F,4 OFOQQ点的轨迹是以O为圆心,以4 为半径的圆. 则其轨迹方程为16 22 yx.则 1 925 16 22 22 yx yx , 4 75 x, 4 9 y. 故满足题意的Q点坐标分别为) 4 9 , 4 75 (,) 4 9 , 4 75 (,) 4 9 , 4 75 (,) 4 9 , 4 75 ( 20、答案 22 1 2575 yx 详解：依题意,设双曲线的方程为 22 10AxByAB, 双曲线过点3,2 7P 和6 2, 7Q , 9281, 72491, AB AB 解得 1 75 A , 1 25 B , 故双曲线的标准方程为 22 1 2575 yx .
