1、概率论配套全册教学课件 概率论与数理统计概率论与数理统计 第第 一一 讲讲 第第1章章 随机事件随机事件 一、一、 概率的性质概率的性质 即不可能事件的概率为零；即不可能事件的概率为零； 2. 若事件若事件 A1 1, ,A2, An 两两互斥，则有：两两互斥，则有： P(A1A2An)=P(A1)+P(An)； 4. 对两个事件对两个事件A和和B，若，若A B, , 则则有有: : P(B- -A)=P(B)- -P(A), P(B)P(A)。 );(1)(APAP 3. 对任一事件对任一事件A, 均有均有 5. 对任意两个事件对任意两个事件A, B，有，有 1. P()=0， P(A+B)
2、=P(A) +P(B)- -P(AB)。 要计算要计算3个事件并的概率，公式是个事件并的概率，公式是 )( )()()()()()( )( 321 323121321 321 AAAP AAPAAPAAPAPAPAP AAAP 例例1计算下列各题：计算下列各题： (1) 设设 P(B) = 0.3, P(A+B) = 0.6, 求求P(AB) ； (2) 设设 P(A) = 0.8, P(A- -B) = 0.4, 求求P(AB) ； (3) 设设 P(AB) = P(AB) , P(A) = 0.3,求求P(B) . 解解 (1) P(AB) = P(A+B) - - P(B) = 0.6
3、- - 0.3 = 0.3 EWWE, (2) )()()()(BAPAPABPABP11 = 1- -(0.8 - -0.4) = 0.6 (3) 由于由于)()()(BAPBAPABP1 )()()(ABPBPAP1 所以所以 P(B) = 1- -P(A) = 1- -0.3 = 0.7 例例2若若W 表示昆虫出现残翅表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛表示有退化性眼睛, 且且 P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025. 求下列事件的概率：求下列事件的概率： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛昆虫出现残翅或退化性眼睛 ； (2) 昆虫出现残翅昆
4、虫出现残翅, 但没有退化性眼睛但没有退化性眼睛 ； (3) 昆虫未出现残翅昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛也无退化性眼睛. 解解 (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛的概率为：昆虫出现残翅或退化性眼睛的概率为： P(W+E) = P(W) + P(E) - - P(WE) = 0.125 + 0.075 - - 0.025 = 0.175 EWWE, (2)由于事件由于事件W可以分解为互斥事件可以分解为互斥事件WE与与WE之和之和 ， 因此昆虫出现残翅因此昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛的概率为：但没有退化性眼睛的概率为： EWWE, P(WE) = P(W) - - P(WE) = 0.125
5、- - 0.025 = 0.1 (3) 昆虫未出现残翅昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛也无退化性眼睛的概率为：的概率为： P(WE) = 1 - - P(W+E) = 1 - - 0.175 = 0.825 二、二、 古典概率模型古典概率模型 古典概率模型中事件概率的公式古典概率模型中事件概率的公式 .)( 基本事件总数 中包含基本事件数A n k AP 古典概率模型中事件概率求法古典概率模型中事件概率求法 例例1 1：有外观相同的三极管有外观相同的三极管6只，按电流放大系只，按电流放大系 数分类，数分类，4只属甲类，只属甲类，2只属乙类。按下列两种只属乙类。按下列两种 方案抽取三极管两只：方
6、案抽取三极管两只： (1).每次抽取一只，测试后放回，然后再抽取下一只每次抽取一只，测试后放回，然后再抽取下一只 ( (放回抽样放回抽样) )； (2).每次抽取一只，测试后不放回，然后在剩下的三每次抽取一只，测试后不放回，然后在剩下的三 极管中再抽取下一只极管中再抽取下一只( (不放回抽样不放回抽样) )。 设设 A=抽到两只甲类三极管抽到两只甲类三极管， B=抽到两只同类三极管抽到两只同类三极管, C=至少抽到一只甲类三极管至少抽到一只甲类三极管, D=抽到两只不同类三极管抽到两只不同类三极管。 求求 P(A),P(B),P(C),P(D)。 解解: : (1).由于每次抽测后放回由于每次
7、抽测后放回, , 因此，每次都是因此，每次都是 在在6只三极管中抽取。只三极管中抽取。 因第一次从因第一次从6只中取一只，共有只中取一只，共有6种可能取种可能取 法；法；第二次还是从第二次还是从6只中取一只，还是有只中取一只，还是有6种取种取 法。法。故，故，取两只三极管共有取两只三极管共有6 6=36种可能的取种可能的取 法。法。从而从而, , n= =36。 注意：注意：这种分析方法使用的是中学学过这种分析方法使用的是中学学过 的的“乘法原理乘法原理”。 因每个基本事件发生的可能性相同因每个基本事件发生的可能性相同。故。故第第 一次取一只甲类三极管共有一次取一只甲类三极管共有4种可能取法种
8、可能取法, ,第二第二 次再取一只甲类三极管还是有次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。种可能取法。 故故, ,取两只甲类三极管共有取两只甲类三极管共有4 4=16 种可能的取种可能的取 法法, ,即即kA= =16。所以，。所以，P(A)=16/36=4/9； 令令E=抽到两只乙类三极管抽到两只乙类三极管 ，则，则 kE=2 2=4。 故，故，P(E)=4/36=1/9； 因因C是是E的对立事件，所以的对立事件，所以 P(C)=1- -P(E)=8/9; 因因B= =AE, , 且且A与与E互斥，得互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9； D是是B的对立事件的对立事件, , 得得
9、P(D)=1- -P(B)=4/9。 (2).由于第一次抽测后不放回由于第一次抽测后不放回, ,所以第一次所以第一次 从从6只中取一只只中取一只, , 共有共有6种可能的取法；第二次种可能的取法；第二次 是从剩余的是从剩余的5只中取一只，有只中取一只，有5种可能的取法。种可能的取法。 由乘法原理，知取两只三极管共有由乘法原理，知取两只三极管共有n= 6 5=30 种可能的取法。种可能的取法。 由乘法原理，得由乘法原理，得 kA= =4 3=12。从而。从而 P(A)=12/30=2/5； 类似地类似地, ,得得kE=2 1=2，P(E)=2/30=1/15； 由由C是是E的对立事件的对立事件,
10、 ,得得 P(C)=1- -P(E)=14/15; ; 由由B= =AE, , 且且A与与E互斥，得互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15； 由由D是是B的对立事件的对立事件, , 得得 P(D)=1- -P(B)=8/15. 设每个人在一年设每个人在一年( (按按365天计天计) )内每天出内每天出 生的可能性都相同，现随机地选取生的可能性都相同，现随机地选取n( (n365) ) 个人，则他们生日各不相同的概率为个人，则他们生日各不相同的概率为 A365n / 365n。 于是于是, , n个人中至少有两人生日相同的概率为个人中至少有两人生日相同的概率为 1-1-A365 365
11、n / 365 / 365n。 许多问题和上例有相同的数学模型。许多问题和上例有相同的数学模型。 如如(生日问题生日问题)： 某人群有某人群有n个人，他们中至少个人，他们中至少 有两人生日相同的概率有多大？有两人生日相同的概率有多大？ 从上表可以看出从上表可以看出: : 在在4040人左右的人群里人左右的人群里, , 十有八九十有八九会发生会发生 两人或两人以上生日相同两人或两人以上生日相同 这一事件。这一事件。 1. 条件概率条件概率 通常记事件通常记事件B发生的条件下发生的条件下, 事件事件A发生的发生的 概率为概率为 P(A|B)。 三、三、 条件概率条件概率 . )( )( )|( B
12、P ABP BAP 其定义是其定义是 例例1：从从120个数字中任意抽取一个，假定每个数字中任意抽取一个，假定每 个数字被抽到的可能性都相同，求个数字被抽到的可能性都相同，求 (1).(1).抽到的数字能被抽到的数字能被5 5整除的概率；整除的概率； (2).(2).在抽到的数字能被在抽到的数字能被3 3整除的条件下整除的条件下, , 该数字该数字 能被能被5 5整除的概率。整除的概率。 解：解： 设 A=抽到的数字能被抽到的数字能被5 5整除整除， B=抽到的数字能被抽到的数字能被3 3整除整除。 (1).(1). 按古典概型计算公式，有按古典概型计算公式，有 ;)( 20 4 AP 可见，
13、可见，P(A) P(A|B)。 (2). 由于由于被被3整除的数字有整除的数字有6个，其中有个，其中有1个能个能 被被5整除，故可得整除，故可得 虽然虽然 P(A) 与与 P(A|B) 不同，但二者之间存不同，但二者之间存 在什么关系呢在什么关系呢? 先来计算先来计算P(B)和和P(AB)。 因为因为20个数字中有个数字中有6个能被个能被3整除，所以整除，所以 P(B)=6/20。 .)|( 6 1 BAP P(AB)=1/20。 而而AB表示表示 “抽到的数字既能被抽到的数字既能被3整除、又能被整除、又能被 5整除整除”的事件，即的事件，即“抽到的数字能被抽到的数字能被15整整 除除”，这样
14、的数字只有，这样的数字只有1个，所以个，所以 通过简单运算，得通过简单运算，得 所以有所以有 . )( )( )|( BP ABP BAP 20 5 20 3 5 3 . )( )( )|( BP ABP BAP 由定义：由定义： 若若P(B)0, 则则 P(AB)=P(B)P(A|B) , 2. 乘法公式乘法公式 若若 P(A)0, 则则 P(BA)=P(A)P(B|A) 。 , )( )( )|( BP ABP BAP可推出：可推出： 当当 P(A1A2An-1) 0 时，有时，有 P (A1A2An） = P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) . 多个事件乘法公式
15、的推广多个事件乘法公式的推广: 例例 2: 一批灯泡共一批灯泡共100100只，其中只，其中1010只是次品，其只是次品，其 余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求: : 第三次才取到正品的概率。第三次才取到正品的概率。 解：解：设设 Ai =第第 i 次取到正品次取到正品, , i=1,2,3=1,2,3。 A =第三次才取到正品第三次才取到正品 。则。则: : 。 故故， 0083.0 98 90 99 9 100 10 )|()|()( )()( . 21 3 121 3 21 3 21 AAAPAAPAP AAAPAP AAAA 设设A 1, A2
16、, , A n是两两互斥的事件，且 是两两互斥的事件，且 P(Ai)0, i =1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它总是与它总是与 A1, A2, , An 之一同时发生，则之一同时发生，则 3.全概率公式全概率公式 n i ii ABPAPBP 1 )()()( 4.贝叶斯公式贝叶斯公式 设设A 1, A2, , A n是两两互斥的事件，且 是两两互斥的事件，且 P(Ai)0，i=1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它总是与它总是与 A1, A2, , An 之一同时发生，则之一同时发生，则 . , 2 , 1 , )()( )()( )|( 1 ni ABPAP
17、ABPAP BAP n j jj ii i 例例3 3：8 8支步枪中有支步枪中有5 5支已校准过支已校准过,3,3支未校准。支未校准。 一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为 0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。 现从现从8 8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。支枪中任取一支用于射击，结果中靶。 求：所用的枪是校准过的概率。求：所用的枪是校准过的概率。 解：解：设设 A=射击时中靶射击时中靶 ，B1 1=枪校准过枪校准过, , B2 2=枪未校准枪未校准 ， 则则 B1 1, ,B2 2 是 是一个划分，由贝叶斯
18、公式，得一个划分，由贝叶斯公式，得 )()|()()|( )()|( )|( 2211 11 1 BPBAPBPBAP BPBAP ABP 49 40 ) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0 ) 8/5(8 . 0 显然，有显然，有 P(B|A)=P(B). 这就是说：事件这就是说：事件A发生，并不影响事件发生，并不影响事件B 发生的概率。这时，发生的概率。这时，称事件称事件A与与B相互独立，相互独立， 简称简称独立独立。 1. 两事件的独立两事件的独立 A=第一次掷出第一次掷出6点点，B=第二次掷出第二次掷出6点点， 先看一个例子：将一颗均匀骰子先看一个例子：将一颗均匀骰子 连掷两次，
19、设连掷两次，设 四、事件的独立性四、事件的独立性 定义定义1：若两事件若两事件A, B满足满足 P(AB)= P(A) P(B), 则称则称 A与与B 相互独立，或称相互独立，或称 A, B 独立独立。 2.两事件独立的定义两事件独立的定义 例例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记张，记 A= 抽到抽到K , B=抽到黑色的牌抽到黑色的牌。 故故, P(AB) = P(A)P(B). 解：解：由于由于 P(A) = 4/52 = 1/13, 这说明事件这说明事件A, B独立。独立。 问事件问事件A, B是否独立？是否独立？ P(AB) = 2/52 =
20、 1/26。P(B) = 26/52 = 1/2， 设设A, B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系，前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 请看下列两个练习。请看下列两个练习。 1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。 设设A, B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B
21、)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)。 3. 多个事件的独立多个事件的独立 先将两事件独立的定义推广到三个事件上：先将两事件独立的定义推广到三个事件上： 对于三个事件对于三个事件A, B, C，若，若 P(AB)= P(A)P(B)， P(AC)= P(A)P(C) , P(BC)= P(B)P(C) , P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立，则称事件四个等式同时成立，则称事件A, B, C相互独立。相互独立。 对独立事件，许多概率的计算可得到简化。对独立事件，许多概率的计算可得到简化。 例例2: 三人独立地去破译一份密码三人独立地去破译一份密码, 已知每个人已
22、知每个人 能译出密码的概率分别为能译出密码的概率分别为1/5，1/3，1/4。问密。问密 码被破译的概率是多少？码被破译的概率是多少？ 解：解：将三人分别编号为将三人分别编号为1, 2, 3， 4. 独立性概念在计算概率中的应用独立性概念在计算概率中的应用 故，所求为故，所求为 P(A1A2A3)。 记记 Ai = 第第i个人破译出密码个人破译出密码 ， i=1, 2, 3。 已知已知 P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4，且，且 P(A1A2A3) A1，A2，A3相互独立，相互独立， )(1 21n AAAP )(1 321 AAAP )()()(1 321 AP
23、APAP . 6 . 0 )4/3() 3/2()5/4(1 计算计算 n个独立事件并的概率公式个独立事件并的概率公式: P( A1An ) 设设事件事件 相互独立相互独立, , 则则 n AAA, 21 ） n AAAP 21 (1 )(1 21n AAAP )()()( n APAPAP 21 1 第一次作业第一次作业 P22 习题习题1 T7,T10,T11,T13,T14,T16,T17. T20,T21,T22,T23. P22 习题习题1 T20,T21,T22,T23. 第二次作业第二次作业 概率论与数理统计概率论与数理统计 主讲教师：冯镜祥主讲教师：冯镜祥 广东金融学院应用数学
24、系广东金融学院应用数学系 概概率率论论与与数数理理统统计计发发展展简简史史 早在早在1654年，有一个赌徒年，有一个赌徒梅累梅累向当时的数学家向当时的数学家帕帕 斯卡斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相两个赌徒相 约赌若干局，谁先赢约赌若干局，谁先赢m局就算赢，全部赌本就归谁。局就算赢，全部赌本就归谁。 但是当其中一个人赢了但是当其中一个人赢了a(am)局，另一个人赢了局，另一个人赢了 b(b0，称，称 ) 1 ( )( )( )|( BP ABP BAP III. 条件概率的性质条件概率的性质 设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0, 则则 1. 对
25、任一事件对任一事件A，0P(A|B)1; 2. P(|P(|B)=1)=1； 而且，前面对概率所证明的一切性质，也都而且，前面对概率所证明的一切性质，也都 适用于条件概率。适用于条件概率。 3. 设设A1, A2,互斥，则互斥，则 )|()|()| )( 2121 BAPBAPBAAP 例例2 2：有外观相同的三极管有外观相同的三极管6 6只，按电流放大系只，按电流放大系 数分类数分类,4,4只属甲类只属甲类, , 两只属乙类。不放回地抽两只属乙类。不放回地抽 取三极管两次取三极管两次, , 每次只抽一只。求在第一次抽每次只抽一只。求在第一次抽 到是甲类三极管的条件下到是甲类三极管的条件下,
26、, 第二次又抽到甲类第二次又抽到甲类 三极管的概率。三极管的概率。 解解:记记Ai= 第第 i 次抽到的是甲类三极管次抽到的是甲类三极管, i=1,2, A1A2=两次抽到的都是甲类三极管两次抽到的都是甲类三极管, 由第由第2讲中的例讲中的例1.3.3，可知，可知 . 5/230/12)( 21 AAP 再由再由P(A1)=4/6=2/3，得，得 . 5 3 3/2 2/5 )( )( )|( 1 21 12 AP AAP AAP 由条件概率的定义：由条件概率的定义： 即即 若若P(B)0, 则则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2) , )( )( )|( BP ABP BAP 而而
27、 P(AB) = P(BA)， 1.4.2 乘法公式乘法公式 在已知在已知P(B), P(A|B)时时, 可反解出可反解出P(AB)。 将将 A、B的位置对调，有的位置对调，有 故故 P(A)0，则，则P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3) 若若 P(A)0, 则则P(BA)=P(A)P(B|A) ， (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用 它们可计算两个事件同时发生的概率。它们可计算两个事件同时发生的概率。 当当 P(A1A2An-1) 0 时，有时，有 P (A1A2An） = P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) . 多个事件乘法公式的
28、推广多个事件乘法公式的推广: 例例 3: 一批灯泡共一批灯泡共100100只，其中只，其中1010只是次品，其只是次品，其 余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求: : 第三次才取到正品的概率。第三次才取到正品的概率。 解：解：设设 Ai =第第 i 次取到正品次取到正品, , i=1,2,3=1,2,3。 A =第三次才取到正品第三次才取到正品 。则。则: : 。 故故， 0083.0 98 90 99 9 100 10 )|()|()( )()( . 21 3 121 3 21 3 21 AAAPAAPAP AAAPAP AAAA 例例4：袋中有同型号
29、小球袋中有同型号小球b+ +r个，其中个，其中b个是黑个是黑 球，球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其个是红球。每次从袋中任取一球，观其 颜色后放回颜色后放回, ,并再放入同颜色，同型号的小球并再放入同颜色，同型号的小球 c 个。若个。若 B=第一、第三次取到红球第一、第三次取到红球, ,第二次第二次 取到黑球取到黑球 ，求，求P(P(B) )。 解解: 设设Ai i=第第 i 次取到红球次取到红球, , i =1,2,3, 1,2,3, 则则 )()()( )|()|()( )()( 213121 321 crcb r crb b rb r AAAPAAPAP AAAPBP 故， 321
30、 AAAB 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算 比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公它们实质上是加法公 式和乘法公式的综合运用。式和乘法公式的综合运用。 综合运用综合运用 加法公式加法公式 P(AB)=P(A)+P(B) A、B互斥互斥 乘法公式乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0 1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 例例5: 有三个箱子有三个箱子, 分别编号分别编号1, 2, 3。1号箱装号箱装 有有1红球红球, 4白球白球; 2号箱装有号箱装有2红球红球, 3白球白球; 3 号箱装有号箱装有3
31、红球。某人从三箱中任取一箱红球。某人从三箱中任取一箱, 再再 从箱中任取一球，求取到红球的概率。从箱中任取一球，求取到红球的概率。 解：解：记记 Ai=球取自球取自 i 号箱号箱, i =1,2,3; B =取得红球取得红球。 即即 B= A1BA2BA3B， 且且 A1B、A2B、A3B两两互斥。两两互斥。 B发生总是伴随着发生总是伴随着A1, ,A2, ,A3 之一同时发生，之一同时发生， 于是，于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) 运用加法公式运用加法公式 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的得到在概率
32、计算中常用的全概率公式。全概率公式。 对和式中的各项对和式中的各项 运用乘法公式得运用乘法公式得 15 8 1 3 1 5 2 3 1 5 1 3 1 )|()( 3 1 i ii ABPAP 3 1 )()( i i BAPBP 设设A 1, A2, , A n是两两互斥的事件，且 是两两互斥的事件，且 P(Ai)0, i =1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它总是与它总是与 A1, A2, , An 之一同时发生，则之一同时发生，则 n i ii ABPAPBP 1 )()()( 全概率公式全概率公式 在较复杂情况下，直接计算在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易不容易, 但
33、总可以适当地构造一组两两互斥的但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai , 使使B 伴随着某个伴随着某个Ai 的出现而出现，且每个的出现而出现，且每个 P( Ai B) 容易计算。可用所有容易计算。可用所有 P( Ai B) 之和计算之和计算 P(B)。 n i ii ABPAPBP 1 )()()( 由公式由公式 “全部概率全部概率” P(B)，可分成多，可分成多 个个“部分概率部分概率” P( Ai B) 之和。之和。 它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于: 不难看出不难看出: 某一事件某一事件B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因Ai (i=1,2,n)，如果，如果B是由原因
34、是由原因Ai所引起，则所引起，则B 发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的发生的 概率是各原因引起概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概发生概率的总和，即全概 率公式。率公式。 P(AiB)=P(Ai)P(B |Ai) 我们还可以从另一个角度去理解全概率公式。我们还可以从另一个角度去理解全概率公式。 由此可以形象地把全概率公式看成是：由此可以形象地把全概率公式看成是： 由原因推结果由原因推结果，每个原因对结果的发生有，每个原因对结果的发生有 一定的一定的“作用作用”，即结果发生的可能性与，即结果发生的可能性与 各种原因的各种原因的“作用作用”
35、大小有关。全概率公大小有关。全概率公 式表达了因果之间的关系式表达了因果之间的关系 。 诸诸Ai是原因是原因 B是结果是结果 实际中还有下面一类问题：实际中还有下面一类问题：已知结果求原因。已知结果求原因。 这一类问题在实际中常见，它所求的是这一类问题在实际中常见，它所求的是 条件概率，是某结果发生条件下，求各原因条件概率，是某结果发生条件下，求各原因 发生的可能性大小。发生的可能性大小。 接上例，考虑如下问题：接上例，考虑如下问题： 或者问：或者问：“该球取自各箱的可能性大小该球取自各箱的可能性大小” 。 某人从任意一箱中任意摸出一球，某人从任意一箱中任意摸出一球，发现是发现是 红球，求该球
36、是取自红球，求该球是取自1号箱的概率号箱的概率。 )( )( )|( 1 1 BP BAP BAP 考虑上边例子：考虑上边例子： 记记 Ai = 球取自球取自 i 号箱号箱， i =1, 2, 3; B = 取得红球取得红球。 所求所求为为 P(A1|B)。 3 1 11 k kk ABPAP ABPAP )()( )|()( 运用全概率公式运用全概率公式 计算计算P(B) 将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。 . , 2 , 1 , )()( )()( )|( 1 ni ABPAP ABPAP BAP n j jj ii i 该公式于该公式于17631763年
37、由贝叶斯年由贝叶斯 (BayesBayes) 给出。给出。 它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导已发生的条件下，寻找导 致致B发生的每个原因的概率。发生的每个原因的概率。 贝叶斯公式贝叶斯公式 设设A 1, A2, , A n是两两互斥的事件，且 是两两互斥的事件，且 P(Ai)0，i=1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它总是与它总是与 A1, A2, , An 之一同时发生，则之一同时发生，则 例例6: 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对，患者对 一种试验反应是阳性的概率为一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对，正常人对 这
38、种试验反应是阳性的概率为这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了，现抽查了 一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者 的概率有多大的概率有多大? 则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”。 A 解：解：设设 A = 抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症, B = 试验结果是阳性试验结果是阳性。 求求 P(A|B)。 已知已知: 。 04. 0)|( ,95. 0)|( , 995. 0)( ,005. 0)( ABPABP APAP 现在来分析一下结果的意义：现在来分析一下结果的意义： 代入数据计算，得代入数据计算，得 P(A | B)= 0.
39、1066。 (2). 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? (1). 该试验对于诊断一个人是否患有癌有无该试验对于诊断一个人是否患有癌有无 意义？意义？ ， )|()()|()( )|()( )|( ABPAPABPAP ABPAP BAP 由由贝叶斯公式贝叶斯公式，得，得 如果不做试验，抽查一人如果不做试验，抽查一人, 他是癌症患他是癌症患 者的概率者的概率 P(A)=0.005 。 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.950.95，若试验后，若试验后 呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人 是癌症患者的概率为是癌症患者的概率为 P
40、(A|B)= 0.1066 。 说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。 概率从概率从0.005增加到增加到0.1066, 约约增加了增加了2121倍。倍。 (1). 该试验对于诊断一个人是否患有癌症有无该试验对于诊断一个人是否患有癌症有无 意义？意义？ (2). 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为 P(A|B)=0.1066。 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你 有癌症，这种可能性只有有癌症，这种可能性只有10.66% (平均
41、来说，平均来说， 1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医，此时医 生常要通过其他试验来确认生常要通过其他试验来确认。 n j ii ii i ABPAP ABPAP BAP 1 )()( )()( )|( 贝叶斯公式贝叶斯公式 在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分别称为分别称为 原因的原因的验前概率验前概率和和验后概率验后概率。 P(Ai) ( i =1, 2, n ) 是在没有进一步的信息是在没有进一步的信息 (不知道事件不知道事件B是否发生是否发生) 的情况下，人们对的情况下，人们对 诸事件发生可能性大小的认识。诸事件发生可能性
42、大小的认识。 当有了新的信息当有了新的信息(知道知道B发生发生)，人们对诸事件，人们对诸事件 发生可能性大小发生可能性大小 P(Ai | B) 有了新的认识。有了新的认识。 例例7 7：8 8支步枪中有支步枪中有5 5支已校准过支已校准过,3,3支未校准。支未校准。 一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为 0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。 现从现从8 8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。支枪中任取一支用于射击，结果中靶。 求：所用的枪是校准过的概率。求：所用的枪是校准过的概率。 解：解：设设 A=射击时中靶射击
43、时中靶 ，B1 1=枪校准过枪校准过, , B2 2=枪未校准枪未校准 ， 则则 B1 1, ,B2 2 是 是一个划分，由贝叶斯公式，得一个划分，由贝叶斯公式，得 )()|()()|( )()|( )|( 2211 11 1 BPBAPBPBAP BPBAP ABP 49 40 ) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0 ) 8/5(8 . 0 例例8 8：一批同型号的螺钉由编号为一批同型号的螺钉由编号为I,II,IIII,II,III的的 三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占 这批螺钉的比例分别为这批螺钉的比例分别为35%,40%, 25%35%,
44、40%, 25%。各台。各台 机器生产的螺钉的次品率分别为机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2%3%, 2%和和1%1%。 现从该批螺钉中抽到一颗次品。求现从该批螺钉中抽到一颗次品。求: :这颗螺钉这颗螺钉 由由I, II, IIII, II, III号机器生产的概率各为多少号机器生产的概率各为多少? ? 解：解：设设 A=螺钉是次品螺钉是次品, B1 1=螺钉由螺钉由I I号机器生产号机器生产, , B2 2=螺钉由螺钉由IIII号机器生产号机器生产, B3 3=螺钉由螺钉由IIIIII号机器生产号机器生产 。 则则 由由贝叶斯公式贝叶斯公式，得，得 )()|( )()|( )|( 3 1
45、 11 1 jj j BPBAP BPBAP ABP . 5 . 0 01. 025. 002. 040. 003. 035. 0 03. 035. 0 . 42 5 )|( 21 8 )|( 32 ABPABP， P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。 小结小结 本节首先介绍条件概率的定义与计算；本节首先介绍条件概率的定义与计算； 然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全 概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从
46、各方面分析、讲解了上述公式的理论意义、各方面分析、讲解了上述公式的理论意义、 实际意义及应用范围。实际意义及应用范围。 概率论与数理统计概率论与数理统计 广东金融学院应用数学系广东金融学院应用数学系 第第 三三 讲讲 主讲教师：冯镜祥主讲教师：冯镜祥 显然，有显然，有 P(B|A)=P(B). 这就是说：事件这就是说：事件A发生，并不影响事件发生，并不影响事件B 发生的概率。这时，发生的概率。这时，称事件称事件A与与B相互独立，相互独立， 简称简称独立。独立。 1.5.1 两事件的独立两事件的独立 A=第一次掷出第一次掷出6点点，B=第二次掷出第二次掷出6点点， 先看一个例子：将一颗均匀骰子先
47、看一个例子：将一颗均匀骰子 连掷两次，设连掷两次，设 1.5 事件的独立性事件的独立性 由乘法公式知，当事件由乘法公式知，当事件A与与B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(A) P(B). 用用 P(AB)=P(A) P(B) 刻画独立性，比用刻画独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好。更好。 不受不受 P(B)0 或或 P(A)0 的制约；的制约； 反映了事件反映了事件A与与 B的对等性。的对等性。 定义定义1：若两事件若两事件A, B满足满足 P(AB)= P(A) P(B), 则称则称 A与与B 相互独立，或称相互独立，或称 A, B 独立独立
48、。 两事件独立的定义两事件独立的定义 例例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记张，记 A= 抽到抽到K , B=抽到黑色的牌抽到黑色的牌。 故故, P(AB) = P(A)P(B). 解：解：由于由于 P(A) = 4/52 = 1/13, 这说明事件这说明事件A, B独立。独立。 问事件问事件A, B是否独立？是否独立？ P(AB) = 2/52 = 1/26。P(B) = 26/52 = 1/2， 前面是根据两事件独立的定义得出前面是根据两事件独立的定义得出A, B独独 立的结论，我们也可以通过计算条件概率的办立的结论，我们也可以通过计算条件概率的
49、办 法得到法得到 A, B独立的结论。独立的结论。 续前例：续前例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记张，记 A= 抽到抽到K , B=抽到黑色的牌抽到黑色的牌。 在实际应用中在实际应用中, 往往根据问题的实际意义往往根据问题的实际意义 判断两事件是否独立判断两事件是否独立 。 由于由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， 故，故，P(A)= P(A|B)。 这也这也说明说明A, B独立。独立。 如：如：一批产品共一批产品共 n 件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai = 第第 i 件是合格品件是合格品， i=1,2。 若抽取是
50、有放回的若抽取是有放回的, 则则A1与与A2独立。独立。 其原因是其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结第二次抽取的结果受第一次抽取结 果的影响。果的影响。 其原因是其原因是: 第二次抽取的结果不受第一次抽取第二次抽取的结果不受第一次抽取 结果的影响。结果的影响。 若抽取是无放回的，若抽取是无放回的，则则A1与与A2不独立。不独立。 请问：如图的两个事件是否独立？请问：如图的两个事件是否独立？ 即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0, 则则 A 与与B不独立。不独立。 其逆否命题是：其逆否命题是：若若A与与B独立，且独立，且 P(A)0, P(B)0, 则则 A与与B一定
