1、 前面我们初步认识了简单几何体的组成元素前面我们初步认识了简单几何体的组成元素, ,知道了顶点、棱知道了顶点、棱 ( (直线段直线段) )、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素. .我我 们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系, ,从而得从而得 到了多面体的一些结构特征到了多面体的一些结构特征. .为了进一步认识立体图形的结构特征为了进一步认识立体图形的结构特征, , 需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究. .本节我们先研究本节我们
2、先研究 平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间 的位置关系的位置关系. . 一、一、平面的含义平面的含义 在初中在初中, ,由现实事物直观感觉抽象得到由现实事物直观感觉抽象得到了了点和直线点和直线, ,那下图中那下图中 的的桌面、黑板面、平静的水面给我们以桌面、黑板面、平静的水面给我们以什么样什么样的直观感觉的直观感觉？ 几何里所说的几何里所说的“平面平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的就是从这样的一些物体中抽象出来的. . 平平1.1.平面的特征：平面的特征：无厚薄无厚薄无限延展的无限延展的 2.2.平面的画法：平面
3、的画法： 3.3.平面的平面的表示：表示：用希腊字母表示：用希腊字母表示：平面平面a、平面、平面、平面、平面等等, 并写在并写在平行四边形一个角内平行四边形一个角内. . 用大写英文字母表示：用大写英文字母表示：平面平面ABCDABCD、平面、平面AC.AC. 平面平面 水平放置水平放置：竖直放置竖直放置： A AB B C CD D 二、二、平面的基本性质平面的基本性质 下面，我们来研究平面的基本性质下面，我们来研究平面的基本性质. . 两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢? ?我们我们 用用日常生活日常生活中看到的现象来研究中看到
4、的现象来研究. . 自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳站稳”, ,三脚架的三脚架的 三脚着地就可以支撑照相机三脚着地就可以支撑照相机. . 由这些事实和类似经验说明什么？由这些事实和类似经验说明什么？ 过过不在不在一条直线上一条直线上 的三个点，有且只的三个点，有且只 有一个平面有一个平面. . 也可以简单说成也可以简单说成 “不共线不共线的三点确定一个平面的三点确定一个平面”.”. 不在一条直线上三个点不在一条直线上三个点A A、B B、C C所确定平面，可记为平面所确定平面，可记为平面ABC.ABC. 基本事实基本事实1 1给出了给出了 确定一个
5、平面的依据确定一个平面的依据 A A B B C C 1.1.基本事实基本事实1 1 文字语言文字语言： 图形语言图形语言： 点点A A在直线在直线l上上, ,记作记作AAl; ;点点B B在直线在直线l外外, ,记作记作B B l. . 点点A A在平面在平面内内, ,记作记作AA；点；点P P在平面在平面外外, ,记作记作P P . . 如果直线如果直线l与平面与平面有一个公共点有一个公共点P P, ,直线直线l是否在平面是否在平面内？如内？如 果直线果直线l与平面与平面有两个公共点呢有两个公共点呢? ? 直线上有无数个点直线上有无数个点, ,平面内有无数个点，平面内有无数个点， 直线、平
6、面都可以看成是点的集合直线、平面都可以看成是点的集合. . 因此，因此， A A B B P P l 在实际生活中，在实际生活中， 我们有这样的经验我们有这样的经验: :如如 果一根台球杆上任意两果一根台球杆上任意两 点在桌面上，那么台球点在桌面上，那么台球 杆就在桌面上，上述经杆就在桌面上，上述经 验和类似的事实可以归验和类似的事实可以归 纳为以下基本事实纳为以下基本事实: : 二、二、平面的基本性质平面的基本性质 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条 直线在这个平面内直线在这个平面内. . 基本事实基本事实2 2表明，可以用直线的表明，可
7、以用直线的“直直”刻画平面的刻画平面的“平平”，用，用 直线的直线的“无限延伸无限延伸”刻画平面的刻画平面的“无限延展无限延展”,”,由基本事实由基本事实1,1,给定给定 不共线三点不共线三点A A、B B、C,C,它们可以确定一个平面它们可以确定一个平面ABC;ABC;连接连接ABAB、BCBC、CACA， 由基本事实由基本事实2,2,这三条直线都在平面这三条直线都在平面ABCABC内，进而连接这三条直线上内，进而连接这三条直线上 任意两点所得直线也都在平面任意两点所得直线也都在平面ABCABC内，所有这些直线可以编织成一内，所有这些直线可以编织成一 个个“直线网直线网”，这个，这个“直线网
8、直线网”可以铺满平面可以铺满平面ABC.ABC.组成这个组成这个“直直 l 利用基本事实利用基本事实2 2可以判断可以判断 直线是否在平面内直线是否在平面内 2.2.基本事实基本事实2 2 文字语言文字语言： A A B B 平面内有无数条直线平面内有无数条直线, ,平面可以看成是直线的集合平面可以看成是直线的集合. .如果直线如果直线l 上所有点都在平面上所有点都在平面内，就说直线内，就说直线l在平面在平面内，记作内，记作l ；否则，；否则， 就说直线就说直线l不在平面不在平面内，记作内，记作l . . 图形语言图形语言： 符号语言符号语言：AAl，BBl, ,且且AA, B, B l .
9、. 二、二、平面的基本性质平面的基本性质 线网线网”的直线的的直线的“直直 和向各个方向无限延伸，说明了平面的和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平平” 和和“无限延展无限延展”.”. 利用信息技术工具，可以方利用信息技术工具，可以方 便地作出这个图形，观察便地作出这个图形，观察“直线直线 网网”的形成和编织成平面的过程，的形成和编织成平面的过程， 想象直线和平面的关系想象直线和平面的关系. . A A B BC C 利用基本事实利用基本事实1 1和基本事实和基本事实2 2，再结合，再结合“两点确定一条直线两点确定一条直线”， 可以得到下面三个推论：可以得到下面三个推论： 推论推论1 1 经过
10、一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. . 推论推论2 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面. . 推论推论3 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面. . a a A A b b a a b b a a P P 二、二、平面的基本性质平面的基本性质 不共线的三点、一条直线和这条直线外不共线的三点、一条直线和这条直线外 一点、两条相交直线、两条平行直线，都能一点、两条相交直线、两条平行直线，都能 唯一确定一个平面，这些结论在后续研究直唯一确定一个平面，这些结论在后续研究直
11、线和平面之间平行、垂直关系时也会用到线和平面之间平行、垂直关系时也会用到. . 经过经过A A、B B、C C三点确定一个平面三点确定一个平面.由基本事实由基本事实2 2， l A A B BC C 现在我们来证明一下推论现在我们来证明一下推论1 1，如右图，如右图. . 在直线在直线l上任取两点上任取两点B B和和C C，由基本事实，由基本事实1 1得，得， 直线直线l也在平面也在平面内内, ,则平面则平面经过直线经过直线l和点和点A A， 即一条直线和这条直线外一点确定一个平面即一条直线和这条直线外一点确定一个平面. . 用类似的方法用类似的方法 你能说明推论你能说明推论2 2和和 推论推
12、论3 3成立吗成立吗? ? 推论推论1 13 3给我们提供了确定给我们提供了确定“一个平面的一个平面的 另外几种方法另外几种方法. . 如右下图如右下图, ,如何判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内？如何判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内？ 可以用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相可以用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相 交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内, , 否则就不在同一个平面内否则就不在同一个平面内, ,其依据就是推论其依据就是推论2.2. 二、二、平面的基本性质平面的基本性质 如下图如下图, ,把三角尺的一个
13、角立在课桌面上，三角尺所在平面与把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与 课桌面所在平面是否只相交于一点课桌面所在平面是否只相交于一点B B？为什么？为什么？ 想象三角尺所在的无限延展的平面，用它想象三角尺所在的无限延展的平面，用它 去去“穿透穿透”课桌面课桌面. .可以想象，两个平面相交于可以想象，两个平面相交于 一条直线一条直线. .教室里相邻墙面在地面的墙角处有一教室里相邻墙面在地面的墙角处有一 个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条 直线直线. .由此我们又得到一个基本事实由此我们又得到一个基本事实: : B B 如果两个不重合的平面有一
14、个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点, ,那么它们有且那么它们有且 只有一条过该点的公共直线只有一条过该点的公共直线. . 3.3.基本事实基本事实3 3 文字语言文字语言： 图形语言图形语言： 如无特殊说明，如无特殊说明， 本章中的两个平面均本章中的两个平面均 指两个不重合的平面指两个不重合的平面. . l P P 二、二、平面的基本性质平面的基本性质 基本事实基本事实3 3告诉我们，如果两个平面有一个告诉我们，如果两个平面有一个 公共点公共点, ,那么这两个平面一定相交于过这个公共那么这两个平面一定相交于过这个公共 点的一条直线点的一条直线. .两个平面相交成一条直线的事实，两个平面相
15、交成一条直线的事实， 使我们进一步认识了平面的使我们进一步认识了平面的“平平”和和“无限延展无限延展”. . l P P 平面平面与与相交于直线相交于直线l, ,记作记作=l. . 符号语言符号语言：PP，且，且P a=P a=l, ,且且PPl. . 在画两个相交平面时在画两个相交平面时, ,如果其中一个平面的一部分被另一个平如果其中一个平面的一部分被另一个平 面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画, ,这样可使画出的图这样可使画出的图 形立体感更强一些形立体感更强一些( (如下图如下图).). A A B B A A B B 上述三个关于平面的基本
16、事实上述三个关于平面的基本事实, ,是人们长期观察与实践总结出是人们长期观察与实践总结出 来的来的, ,是几何推理基本依据是几何推理基本依据, ,也是我们进一步研究立体图形的基础也是我们进一步研究立体图形的基础. . 二、二、平面的基本性质平面的基本性质 例例1 1 如下图，如下图，在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，判断下列命题是否正确，中，判断下列命题是否正确， 并说明理由并说明理由. . 三、三、典型例题典型例题 (1)(1)直线直线ACAC1 1在平面在平面CCCC1 1B B1 1B B内内( )( ) (2)(2)平面平面AAAA1
17、 1C C1 1C C与平面与平面BBBB1 1D D1 1D D的交线为的交线为OO1 1( )( ) (3)(3)由由A A、O、C C确定一个平面确定一个平面( )( ) (4)(4)由由A A、C C1 1、B B1 1确定的平面是平面确定的平面是平面ADCADC1 1B B1 1( )( ) (5)(5)由由A A、C C1 1、B B1 1确定的平面与由确定的平面与由A A、C C1 1、D D确定的平面是同一确定的平面是同一 平面平面( )( ) D D B B C C A A D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O O O1 1 三、三、典型例题典型例题
18、 l A A 例例2 2 根据下列语句画出图形根据下列语句画出图形，并用符号表示，并用符号表示. . (1) (1)点点A A在平面在平面 内，点内，点B B不在平面不在平面 内，点内，点A A、B B都在直线都在直线l上；上； (2)(2)平面平面 与平面与平面 相交于直线相交于直线m m，直线，直线n n在平面在平面 内，并且平行内，并且平行 于直线于直线m.m. B B n n m m 解：解：(1)(1)(2)(2) 三、课堂小结三、课堂小结 1.1.平面的含义：平面的含义： 2.2.平面的性质：平面的性质： (1)(1)平面的特征：平面的特征： (2)(2)平面的平面的表示：表示：用
19、希腊字母表示：用希腊字母表示：平面平面a、平面、平面、平面、平面. 用大写英文字母表示：用大写英文字母表示：平面平面ABCDABCD、平面、平面AC.AC. 平平无厚薄无厚薄无限延展的无限延展的 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这 条直线在这个平面内条直线在这个平面内. . (2)(2)基本事实基本事实2 2 过过不在不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面一条直线上的三个点，有且只有一个平面. . 也可以简单说成也可以简单说成“不共线不共线的三点确定一个平面的三点确定一个平面”.”. (1)(1)基本事实基本事实1 1 如果两个不重合的平面有
20、一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点, ,那么它们那么它们 有且只有一条过该点的公共直线有且只有一条过该点的公共直线. . (3)(3)基本事实基本事实3 3 推论推论1 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. . 推论推论2 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面. . 推论推论3 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面. . 四、巩固提升四、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第128128页练习第页练习第1 1、2 2、3 3、4 4题题 课堂作业课堂作业: : 第第131131页页习题习题8.48.4第第1 1、5 5、6 6、7 7题题
