1、第一课时第一课时 (余弦定理余弦定理) 一个三角形含有各种各样的几何量一个三角形含有各种各样的几何量, ,例如三边边长、三个内角例如三边边长、三个内角 的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系. .例如，在初中，我例如，在初中，我 们得到过勾股定理、锐角三角函数们得到过勾股定理、锐角三角函数, ,这是直角三角形中的边、角定这是直角三角形中的边、角定 量关系量关系. .对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角 关系，得到了关系，得到了SSSSSS、SASSAS、ASAASA、AASAAS等判定三角
2、形全等的方法等判定三角形全等的方法. .这些这些 判定方法表明判定方法表明, ,给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些 元素，这个三角形就是唯一确定的元素，这个三角形就是唯一确定的. .那么三角形的其他元素与给定那么三角形的其他元素与给定 的某些元素有怎样的数量关系？的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法研究这个问题下面我们利用向量方法研究这个问题. . 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. .这这 说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的说明，给定两边及其夹角的三
3、角形是唯一确定的. .也就是说，三角也就是说，三角 形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. .那么，表示的公那么，表示的公 式是什么？式是什么？ 如右图，在如右图，在ABCABC中，三个角中，三个角A A、B B、C C所对的边分别是所对的边分别是a a、b b、c c 怎样用怎样用a a、b b和和C C表示表示c c？ c c A A B B C C a a b b 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角， 所以我们可以考虑用向量的数量积来研究所以我们可以考虑用向量的数量积来研究. . 如右图作向量，则
4、如右图作向量，则 C CA AC CB BA AB B 所以所以 2 2 2 2 ) )C CA AC CB B( (A AB B C CA AC CB B2 2C CA AC CB B 2 2 2 c co os sC C| |C CA A| | |C CB B| |2 2C CA AC CB B 2 2 2 即即c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC 从这里的推导过从这里的推导过 程，你感受到向量运程，你感受到向量运 算的力量了吗？算的力量了吗？ 同理可得同理可得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA b b2 2=c=c
5、2 2+a+a2 2-2cacosB-2cacosB 于是，我们就得到了三角形于是，我们就得到了三角形 边角关系的一个重要定理：边角关系的一个重要定理： 一、探究新知一、探究新知 二、余弦定理二、余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即即 余弦定理：余弦定理： c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2
6、cacosB-2cacosB 你能用其他方法你能用其他方法 证明余弦定理吗？证明余弦定理吗？ 利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 这个定理可以解决这个定理可以解决已知两边及其夹角求第三边已知两边及其夹角求第三边问题问题. 余弦定理指出了余弦定理指出了“三角形的三条边与其中的一个角之间的关系三角形的三条边与其中的一个角之间的关系”. . 应用余弦定理，除了应用余弦定理，除了可以解决可以解决“已知两边及其夹角求第三边问题已知两边及其夹角求第三边问题”之之 外，还可以解决哪类问题？怎么确定呢？外，还可以解决哪类问题？怎么确定呢？ 余弦定理的推论：余弦定理的推
7、论： 2 22 22 2 b b + +c c - -a a c co os sA A = = 2 2b bc c 2 22 22 2 c c + +a a - -b b c co os sB B = = 2 2c ca a 2 22 22 2 a a + +b b - -c c c co os sC C = = 2 2a ab b 利用余弦定理的推论可以解决三角形的哪类问题？利用余弦定理的推论可以解决三角形的哪类问题？ 这个定理可以解决这个定理可以解决已知三边求任意一个角已知三边求任意一个角问题问题. 余弦定理及其推论把余弦定理及其推论把 用用“SAS”“SAS”和和“SSS”“SSS”判定
8、判定 三角形全等的方法从数量三角形全等的方法从数量 化的角度进行了刻画化的角度进行了刻画. . 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角 形的定性结论变成了可定量计算的公式形的定性结论变成了可定量计算的公式. . 二、余弦定理二、余弦定理 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系, ,余弦定理则指余弦定理则指 出了三角形的三条边与其中的一个角的关系出了三角形的三条边与其中的一个角的关系. .你能说说这两个定量你能说说这两个定量 之间的关系吗？之间的关系吗？ 如果如果ABCABC中有一个角是直
9、角，例如中有一个角是直角，例如C=90C=90 ，这时，这时cosC=0.cosC=0.由余由余 弦定理可得弦定理可得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2，这就是勾股定理，这就是勾股定理. . 由此可见，余弦定理是勾由此可见，余弦定理是勾 股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. . 一般地，三角形的三个角一般地，三角形的三个角A A、B B、C C和它们的对边和它们的对边a a、b b、c c叫做叫做 三角形的元素三角形的元素. . 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解解 三角形三角形. . 二、余弦
10、定理二、余弦定理 例例1 1 (1)(1)在在ABCABC中，已知中，已知a= a= ，c=2c=2，B=30B=30 ，求，求b.b. (2) (2)在在ABCABC中，已知中，已知a= a= ，b=4b=4，c=3c=3，求，求A.A. 3737 3 33 3 解：解：(1)(1) b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacosB=-2cacosB= 由余弦定理，得由余弦定理，得 2 22 2+( )+( )2 2-2-22 2 coscos3030 = =3 33 33 33 31313 所以所以b=b= 1 13 3 (2)(2)由余弦定理的推论，得由余弦定理的推论，得 2 2
11、b bc c a ac cb b c co os sA A 2 22 22 2 3 34 42 2 ) )3 37 7( (3 34 4 2 22 22 2 2 2 1 1 - - 所以所以A=120A=120 . . 三、典型例题三、典型例题 解解： 例例2 2 已知已知在在ABCABC中，中，a= a= ，b= b= ，锐角，锐角C C满足满足sinC= sinC= ， 解这个三角形解这个三角形. . 2 2 2 2 6 6222 3 3 因为因为sinC= sinC= ，且，且C C为锐角为锐角. . 2 2 2 2 所以所以C=45C=45 ，且，且cosC= .cosC= . 2 2
12、 2 2 c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC由余弦定理，得由余弦定理，得 2 2 2 2 2 2) )3 3( (2 26 62 22 22 2) )3 3( (2 2) )6 6( (2 2 2 22 2 =16=16 所以所以c=4c=4. . 由余弦定理的推论，得由余弦定理的推论，得 2 2b bc c a ac cb b c co os sA A 2 22 22 2 4 42 2）3 3（2 22 2 ) )6 6( (2 24 42 2）3 3（2 2 2 22 22 2 2 2 1 1 所以所以A=60A=60 . . 于是于是B=B=1801
13、80 -45-45 -60-60 = =7575 . . 三、典型例题三、典型例题 四、典型例题四、典型例题 1.1.余弦定理及其推论余弦定理及其推论 c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacosB-2cacosB 2 22 22 2 b b + +c c - -a a c co os sA A = = 2 2b bc c 2 22 22 2 c c + +a a - -b b c co os sB B = = 2 2c ca a 2 2
14、2 22 2 a a + +b b - -c c c co os sC C = = 2 2a ab b 变形变形 余余 弦弦 定定 理理 余余 弦弦 定定 理理 的的 推推 论论 2.2.余弦定理及其推论可解决哪几类解三角形的问题？余弦定理及其推论可解决哪几类解三角形的问题？ 已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边和其它两个角；已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边和其它两个角； 已知三角形的三条边，求三个角已知三角形的三条边，求三个角. . 课堂练习课堂练习: : 第第4444页练习第页练习第1 1、2 2、3 3题题 课堂作业课堂作业: : 第第5252页页习题习题6.46.4第第6 6、1616题题 五、巩固提升五、巩固提升
