（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.5.5 三角恒等变换综合讲义（学生版+教师版）.zip

三角恒等变换综合三角恒等变换综合 类型一：类型一：正用公式正用公式 例 1已知，求的值 1 tan 22 sin() 6 例 2 （1）已知，（0，90） ，求 sin（15）的值 15 cos(15) 17 （2）已知，且，求 的值 113 cos,cos() 714 0 2 【变式 1】已知求的 21 sin()0 232922 且cos(且且且且且且且且cos()且 值 类型二：类型二：逆用公式逆用公式 例 3.已知，那么的值为（ ） 3 sin()coscos()sin 5 cos2 A B C D 7 25 18 25 7 25 18 25 例 4. 求值： （1）； （2）cos36 cos72 7 3 cos 7 2 cos 7 cos 【变式 1】求值：cos20 cos40 cos80 类型三：类型三：变用公式变用公式 例 5. 化简：（1）； (2）sin50 (13tan10 ) 2 2 2cos1 2tan()sin () 44 【变式 1】若，且，则_. 3 cos 5 (0,) 2 tan 2 例 6已知，求的值 3 2 )sin( 5 1 )sin( 【变式 1】若、是方程的两根，求的值tantan 2 330 xx )cos( )sin( 【巩固练习巩固练习】 1已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）0( )sin() 4 f xx (, ) 2 A B C D 1 5 , 2 4 1 3 , 2 4 1 (0, 2 (0,2 2把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单 位长度，再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是（ ） 3设是方程的两个根,则的值为（）tan,tan 2 320 xxtan() A B C1 D331 4若，则的值为（ ） 1 cos() 86 3 cos(2 ) 4 A B C D 17 18 17 18 18 19 18 19 5已知sincos2，(0,)，则tan=（） A1 B 2 2 C 2 2 D1 6若 tan+ 1 tan =4，则 sin2=（） A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 1 2 7函数 f(x)=sinx-cos(x+)的值域为（） 6 A -2 ,2 B-, C-1,1 D- , 33 3 2 3 2 8函数的一条对称轴为，且，则正确的是（ ( )sin3cosf xaxx 6 x 12 ()()4f xf x ） Aa=1 B 12 ()0f xx C的最小值为 Df（x）的最小正周期为 12 xx 2 3 12 2 xx 9的取值范围是 22 cos ()cos () 44 xx 10设向量，且，则 cos2x=_(3cos ,1)ax (5sin1,cos )bxx /ab 11已知向量，且与向量所成角为，其中 A，B，C 是ABC 的内(sin,1 cos)mBB (2,0)n 3 角 （1）求角 B 的大小； （2）求 sinA+sinC 的取值范围 12已知函数为奇函数 2 1 ( )3sin()cos()cos ()(0) 22 f xxxx （1）求函数的最小正周期及单调减区间； （2）把函数的图象向右平移个单位，得到函数 g（x）的图象，求函数 g（x）的对称中心 6 13函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高 2 ( )6cos3sin3(0) 2 x f xx A 点，、为图象与轴的交点，且为正三角形.BCxABC ()求的值及函数的值域;( )f x ()若,且,求的值. 0 8 3 () 5 f x 0 10 2 (, ) 33 x 0 (1)f x 14已知函数（0，m0）的最小值为2，且图象上相邻两个最高( )2sincosf xxmx 点的距离为 （1）求 和 m 的值； （2）若，求的值 6 ( ) 25 f 3 (,) 44 () 8 f 三角恒等变换综合三角恒等变换综合 类型一：类型一：正用公式正用公式 例 1已知，求的值 1 tan 22 sin() 6 【解析】 6 sincos 6 cossin) 6 sin( 22 11 3sincoscossin 222222 22 22 11 3sincoscossin 222222 cossin 22 2 2 11 3tantan 2222 1tan 2 34 3 10 例 2 （1）已知，（0，90） ，求 sin（15）的值 15 cos(15) 17 （2）已知，且，求 的值 113 cos,cos() 714 0 2 【解析】 （1），（0，90） ， 15 cos(15) 17 2 8 sin(15)1 cos (15) 17 sin(15)cos(15)60 13 cos(15)sin(15) 22 11538158 3 21721734 （2）， 1 cos,0 72 2 4 3 sin1 cos 7 ，且，0， 13 cos() 14 0 2 (0,) 2 ， 2 3 3 sin()1 cos () 14 coscos()coscos()sinsin() 1133 34 31 7141472 ，0 2 3 【变式 1】已知求的 21 sin()0 232922 且cos(且且且且且且且且cos()且 值 【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）) 2 () 2 ( 2 ，0 22 且0 42224 且 422 42 且 又 ，）（， 9 1 2 cos 3 2 ) 2 (sin 54 5 cos()sin 2329 且且且且且且 ) 2 () 2 cos( 2 cos ) 2 sin() 2 sin() 2 cos() 2 cos( 154 527 5 () 939327 于是有. 729 239 1) 27 57 (21 2 cos2)cos( 22 类型二：类型二：逆用公式逆用公式 例 3.已知，那么的值为（ ） 3 sin()coscos()sin 5 cos2 A B C D 7 25 18 25 7 25 18 25 【答案】A【解析】 ， 3 sin()coscos()sinsin()sin()sin 5 . 2 7 cos21 2sin 25 例 4. 求值： （1）； （2）cos36 cos72 7 3 cos 7 2 cos 7 cos 【解析】 （1）原式=； 000000 000 sin36 cos36 cos721sin72 cos721sin1441 sin362sin364sin364 （2）原式= 7 4 cos 7 2 cos 7 cos) 7 4 cos( 7 2 cos 7 cos 242248 sincoscoscossincoscossin 1 77777777 . 8 sin2sin8sin 777 【变式 1】求值：cos20 cos40 cos80 【解析】原式= 2sin20 cos20 cos40 cos80 2sin20 = 0 00 0 000 20sin8 80cos80sin2 20sin22 80cos40cos40sin2 = 8 1 20sin8 160sin 0 0 类型三：类型三：变用公式变用公式 例 5. 化简：（1）； (2）sin50 (13tan10 ) 2 2 2cos1 2tan()sin () 44 【解析】 （1）原式 0 0 0 3sin10 sin50 (1) cos10 00 0 0 cos103sin10 sin50 cos10 = 0000 0 0 sin30 cos10cos30 sin10 2sin50 cos10 000 0 00 00 00 sin402cos40 sin40 2sin50 cos10cos10 sin80cos10 1 cos10cos10 （2）原式= 2 cos2 2tan()sin () 424 2 cos2cos2cos2cos2 1 cos2 2sin()2sin()cos()sin(2 ) 4442 cos () 4 cos() 4 【变式 1】若，且，则_. 3 cos 5 (0,) 2 tan 2 【答案】【解析】由，得， 1 2 3 cos 5 (0,) 2 2 4 sin1 cos 5 . 2 3 1sin2sin 1 cos1 522 tan 4 2sin2 cos2sincos 2225 例 6已知，求的值 3 2 )sin( 5 1 )sin( 【解析】， 3 2 sincoscossin)sin( ， 5 1 sincoscossin)sin( 解得, ， 30 13 cossin 30 7 sincos . tansincos13 tancossin7 【变式 1】若、是方程的两根，求的值tantan 2 330 xx )cos( )sin( 【解析】由已知 ，因而应将所求式转化成已知的结构， tantan3 tantan3 = sin()sincoscossintantan cos()coscossinsin1tantan 2 3 )3(1 3 【巩固练习巩固练习】 1已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）0( )sin() 4 f xx (, ) 2 A B C D 1 5 , 2 4 1 3 , 2 4 1 (0, 2 (0,2 1 【答案】A【解析】, ()2 2 3 (), 424422 x 得: 315 , 2424224 2把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单 位长度，再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是（ ） 2 【答案】A 3设是方程的两个根,则的值为（）tan,tan 2 320 xxtan() A B C1 D331 3 【答案】A【解析】 tantan3 tantan3,tantan2tan()3 1tantan1 2 4若，则的值为（ ） 1 cos() 86 3 cos(2 ) 4 A B C D 17 18 17 18 18 19 18 19 4 【答案】A【解析】， 1 cos() 86 2 cos()2cos () 1 88 2 117 2 ( )1 618 3 cos(2 )cos(2 ) 44 17 cos(2 ) 418 5已知sincos2，(0,)，则tan=（） A1 B 2 2 C 2 2 D1 5 【答案】A 【解析】sincos2,2sin()2,sin()1 44 3 (0),tan1 4 ， 6若 tan+ 1 tan =4，则 sin2=（） A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 1 2 6 【答案】D【解析】，所以 22 1sincossincos1 tan4 1 tancossinsincos sin2 2 1 sin2 2 7函数 f(x)=sinx-cos(x+)的值域为（） 6 A -2 ,2 B-, C-1,1 D- , 33 3 2 3 2 7 【答案】B 【解析】f(x)=sinx-cos(x+)， 6 31 sincossin3sin() 226 xxxx ，值域为-,. sin()1,1 6 x ( )f x33 8函数的一条对称轴为，且，则正确的是（ ( )sin3cosf xaxx 6 x 12 ()()4f xf x ） Aa=1 B 12 ()0f xx C的最小值为 Df（x）的最小正周期为 12 xx 2 3 12 2 xx 8 【答案】C【解析】，( )sin3cosf xaxx 2 3sin()ax 对称轴：，则：，解得：a=1， 6 x 13 () 622 fa 2 13 |3 22 aa ，所以函数必须取得最大值和最小值，( )2sin() 3 f xx 12 ()()4f xf x 或，当 k=0 时，最小值为 1 5 2 6 xk 2 2 6 xk 12 2 | 4 3 xxk 2 3 9的取值范围是 22 cos ()cos () 44 xx 9 【答案】【解析】原式= 1,1 22 1 cos(2)1 cos(2) 22 cos ()cos () 4422 xx xx = 1111 sin2(sin2 )sin2 2222 xxx ，xRsin21,1x 10设向量，且，则 cos2x=_(3cos ,1)ax (5sin1,cos )bxx /ab 10 【答案】【解析】向量，且， 7 9 (3cos ,1)ax (5sin1,cos )bxx /ab ，即，解得 sinx=2（舍去） ，或， 2 3cos5sin10 xx 2 3sin5sin20 xx 1 sin 3 x 则 2 17 cos21 2sin1 2 99 xx 11已知向量，且与向量所成角为，其中 A，B，C 是ABC 的内(sin,1 cos)mBB (2,0)n 3 角 （1）求角 B 的大小； （2）求 sinA+sinC 的取值范围 11 【解析】 （1），且与向量所成角为，(sin,1 cos)mBB (2,0)n 3 ， 1 cos tan3 sin3 B B tan3 2 B 又 0B，即；0 22 B 23 B 2 , 33 BAC （2）由（1）可得：sinsinsinsin() 3 ACAA 31 sincossin 22 AAA 13 sincossin() 223 AAA ，0 3 A 2 333 A 3 sin()(,1 32 A 则，当且仅当时，sinA+sinC=1 3 sinsin(,1 2 AC 6 AC 12已知函数为奇函数 2 1 ( )3sin()cos()cos ()(0) 22 f xxxx （1）求函数的最小正周期及单调减区间； （2）把函数的图象向右平移个单位，得到函数 g（x）的图象，求函数 g（x）的对称中心 6 12 【解析】 （1）函数 2 1 ( )3sin()cos()cos () 2 f xxxx 2 3131 sin(22 )2cos () 1sin(22 )cos(22 ) 2222 xxxx sin(22) 6 x 函数 f（x）为奇函数，则，kZ2 6 k ， ，0 2 5 12 ( )sin(2)sin2f xxx 函数的最小正周期 2 2 T 令，kZ，解得：22,2 22 xkk 44 kxk 函数 f（x）的单调递减区间为，kZ, 44 kk （2）由（1）知 f（x）=sin2x， 由题意知( )sin2()sin(2) 63 g xxx 令（kZ） ，则（kZ） ，2 3 xk 62 k x 函数的对称中心坐标为（kZ） (,0) 62 k 13函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高 2 ( )6cos3sin3(0) 2 x f xx A 点，、为图象与轴的交点，且为正三角形.BCxABC ()求的值及函数的值域;( )f x ()若,且,求的值. 0 8 3 () 5 f x 0 10 2 (, ) 33 x 0 (1)f x 【解析】()由已知可得: 2 ( )6cos3sin3(0) 2 x f xx =3cosx+ ) 3 sin(32sin3 xx 又由于正三角形 ABC 的高为 2，则 BC=4 3 所以，函数 4 8 2 824)( ，得，即的周期Txf 所以，函数 32 , 32)(的值域为xf ()因为()有： ，由 5 38 )( 0 xf， 5 38 ) 34 (sin32)( 0 0 x xf 5 4 ) 34 (sin 0 x 即 由 x0 ， ) 2 , 2 () 34 x ( 3 2 3 10 0 ），得，（ 5 3 ) 5 4 (1) 34 (cos 20 x 即 故 ) 1( 0 xf) 344 (sin32 0 x 4 ) 34 (sin32 0 x ) 2 2 5 3 2 2 5 4 (32 4 sin) 34 cos( 4 cos) 34 (sin32 00 xx 5 67 14已知函数（0，m0）的最小值为2，且图象上相邻两个最高( )2sincosf xxmx 点的距离为 （1）求 和 m 的值； （2）若，求的值 6 ( ) 25 f 3 (,) 44 () 8 f 【解析】 （1）函数（0，m0） ，( )2sincosf xxmx 2 ( )2sin()f xmx 所以， 2 min ( )22f xm 2m 又由已知函数 f（x）的最小正周期为 ， ，=2 2 T （2）由（1）得，( )2sin(2) 4 f xx 6 ( )2sin() 225 f ， 3 sin() 45 3 (,) 44 (, ) 42 2 4 cos()1 sin () 445 ， 7 2 sinsin()sin()coscos()sin 44444410 ()2sin2() 884 f 2 2sin(2)2cos22(1 2sin) 2 2 7 248 21 2() 1025