（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册2.2 基本不等式练习（原卷+解析）.zip

2.22.2 基本不等式基本不等式 1 1、选择题选择题 1若，则的最小值为（ ） 0n 9 n n A2B4C6D8 2已知，则的最大值为（ ） x 0,y 1xyxy A1BCD 1 2 1 3 1 4 3.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是 + = 1() Aab有最小值B有最小值 1 4 + 2 C有最小值 4D有最小值 1 + 1 2+ 2 2 2 4若，则的最小值为（ ） 5 + 4 + 5 A-1 B3 C-3 D1 5用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆 2 100m 最短，最短的篱笆是（） A30B36C40D50 6已知x0，y0，x2y2xy8, 则x2y的最小值是() A3 B4 C. D. 9 2 11 2 7设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最小值时，x2yz的最大值 z xy 为() A0 B. C2 D. 9 8 9 4 8.几何原本中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题 的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字 证明”.如图 331 所示,AB 是半圆 O 的直径,点 C 是 AB 上一点(不同于 A,B,O),点 D 在半 圆 O 上,且 CDAB,CEOD 于 E,设 ACa,BCb,则该图形可以完成的“无字证明”为( ) 2、填空题 9当时，的最大值为_. 1x 1 ( ) 1 f xx x 10、已知，若不等式恒成立，则 取最大值时， 0 0 4 + 1 + 4 = 11如图，在半径为 4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上取一块矩形材料ABCD，其顶 点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为_(单位： cm2) 三、解答题 12已知 a0，b0，且 4ab1，求 ab 的最大值； （2）若正数 x，y 满足 x3y5xy，求 3x4y 的最小值； （3）已知 x，求 f（x）4x2的最大值； 5 4 1 45x 13、x，y，a，b 均为正实数，x，y 为变数，a，b 为常数，且 ab10， 1，xy 的最小值为 18，求 a，b 的值 14某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方 18753 米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米. 100120 x （1）用含的表达式表示池壁面积； xS （2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？ x 2.22.2 基本不等式基本不等式 1 1、选择题选择题 1若，则的最小值为（ ） 0n 9 n n A2B4C6D8 【答案】C 【解析】（当且仅当n3 时等号成立）故选：C 9 2 96n n 2已知，则的最大值为（ ） x 0,y 1xyxy A1BCD 1 2 1 3 1 4 【答案】D 【解析】因为，所以有， x 0,y 1xy 2 11 12( ) 24 xyxyxy 当且仅当时取等号，故本题选 D. 1 2 xy 3.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是 + = 1() Aab有最小值B有最小值 1 4 + 2 C有最小值 4D有最小值 1 + 1 2+ 2 2 2 【答案】C 【解析】，且； 0 0 + = 1 1 = + 2 ；有最大值 ，选项 A 错误； 1 4 1 4 ，即有最大值 ( + )2= + + 2 = 1 + 2 1 + 2 1 4 = 2 + 2 + ，B 项错误. 2 ，有最小值 4，C 正确； 1 + 1 = + = 1 4 1 + 1 ,的最小值是 ，不是，D 错 2+ 2=( + )2 2 = 1 2 1 2 1 4 = 1 2 2+ 2 1 2 2 2 误 4若，则的最小值为（ ） 5 + 4 + 5 A-1 B3 C-3 D1 【答案】A 【解析】，当且仅当时等号成立，故选 + 4 + 5 = + 5 + 4 + 5 5 2 2 5 = 1 = 3 A. 5用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆 2 100m 最短，最短的篱笆是（） A30B36C40D50 【答案】C 【解析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有 ( )x m 100 ( )m x ( )y m ，根据基本不等式可知：， （当且仅 100 22yx x 100100 222 2240yxx xx 当时，等号成立，即时，取等号）故本题选 C. 100 22x x 10 x 6已知x0，y0，x2y2xy8, 则x2y的最小值是() A3 B4 C. D. 9 2 11 2 【答案】B 【解析】解法一： x2y2xy8，y0.0 x 0, 0) B. + 2 0, 0, ) C. 2 + ( 0, 0) D. 2 + 0, 0, ) 【答案】D 【解析】根据圆中弦长关系，可得不等式：. 2 + + 2 【详解】由，可得半圆 的半径，易得 = , = = + 2 ， ， = = = 2 = 2 + .故选 2 + 0, 0) 2、填空题 9当时，的最大值为_. 1x 1 ( ) 1 f xx x 【答案】-3. 【解析】当时， 1x 11 (1) 1 11 f xxx xx 又，,故答案为：-3 1 (1)2 1 x x 11 (1) 13 11 f xxx xx 10、已知，若不等式恒成立，则 取最大值时， 0 0 4 + 1 + 4 = 【答案】 1 4 【解析】利用分离常数法和基本不等式求出 的最大值，以及 取最大值时 与 的关系，再 计算 的值 【详解】，时，不等式可化为， 0 0 4 + 1 + 4 (4 + 1 )( + 4) 即； 8 + + 16 又，当且仅当时取“” ， + 16 2 16 = 8 = 4= 所以，且 取最大值时，此时 16 = 4 = 1 4 故答案为 1 4 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是 基础题利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内 涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最 大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时 参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 11如图，在半径为 4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上取一块矩形材料ABCD，其顶 点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为_(单位： cm2) 【答案】16 【解析】如图所示，连接OC，设OBx(0 x4)，则 BC，AB2OB2x，所以，由基本不等式可得，矩形ABCD的面积 OC2OB216x2 SABBC2x2216.当且仅当 16x2x2，即 16x216x 2 x2 ( 16x2x2 2 )2 x2时，等号成立所以Smax16. 2 三、解答题 12已知 a0，b0，且 4ab1，求 ab 的最大值； （2）若正数 x，y 满足 x3y5xy，求 3x4y 的最小值； （3）已知 x，求 f（x）4x2的最大值； 5 4 1 45x 【答案】 （1）的最大值；（2）的最小值为 5； （3）函数的最大值为 【解析】 （1） , 当且仅当,时取等号，故的最大值为 （2） ， 当且仅当即时取等号 （3） 当且仅当,即时,上式成立,故当时, 函数的最大值为 . 13、x，y，a，b 均为正实数，x，y 为变数，a，b 为常数，且 ab10， 1，xy 的最小值为 18，求 a，b 的值 【答案】 或 = 2, = 8. = 8, = 2. 【解析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【详解】xy0，a0，b0 且 1， xy(xy) abab2ab2()2， ( + ) 当且仅当时取等号 = 此时(xy)min()218，即 ab218. 又 ab10，联立 + + 2 = 18, + = 10. ? 解得 或 = 2, = 8. ? = 8, = 2. ? 14某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方 18753 米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米. 100120 x （1）用含的表达式表示池壁面积； xS （2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？ x 【答案】 （1）；（2）当米时，最低造价是元. 625 6 Sx x 25x 98500 【解析】 （1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米 1875 625 3 625 x 625625 236Sxx xx （2）设总造价为元，则： y 625 6120625 100yx x 化简得： 625 72062500yx x 因为，当且仅当，即时取等号 625 2 62550 x x 625 x x 25x 720 506250098500y 即当米时，最低造价是元 25x 98500