（2021新教材）人教A版高中数学必修第二册 第十章　概　率 （课件+学案+应用案巩固提升）.zip

章末复习提升课 互斥事件、对立事件的概率 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该 超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 一次购物量1 至 4 件5 至 8 件9 至 12 件13 至 16 件17 件以上 顾客数(人)x3025y10 结算时间(分钟/人)11.522.53 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率) 【解】(1)由已知得 25y1055，x3045，所以 x15，y20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的 结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均 值可用样本平均数估计，其估计值为 1.9(分钟) 1 151.5 302 252.5 203 10 100 (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” ，A1，A2，A3分别表示事 件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟” “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟” “该 顾客一次购物的结算时间为 2 分钟” 将频率视为概率得 P(A1)，P(A2)，P(A3) . 15 100 3 20 30 100 3 10 25 100 1 4 因为 AA1A2A3，且 A1，A2，A3是互斥事件，所以 P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3) . 3 20 3 10 1 4 7 10 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为. 7 10 (1)互斥事件与对立事件的概率计算 若事件 A1，A2，An彼此互斥，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 设事件 A 的对立事件是 A，则 P(A)1P(A) (2)求复杂事件的概率常用的两种方法 将所求事件转化成彼此互斥的事件的和 先求其对立事件的概率，然后再应用公式 P(A)1P(A)求解 受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润 与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保 修期为 3 年，乙品牌车保修期为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌的轿车中分别随机抽取 50 辆，统计出在保修期内首次出现故障的车辆数据如下： 品牌甲乙 首次出现故障 的时间 x(年) 0 x11x2230 x112 轿车数量(辆)213442345 (1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概 率； (2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概 率 (注：将频率视为概率) 解：(1)设 A，B，C 分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第 1 年，第 2 年和第 3 年之内， 设 D 表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，因为 A，B，C 是彼此互斥的， 其概率分别为 P(A)，P(B)，P(C)， 2 50 1 25 1 50 3 50 所以 P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)， 3 25 即首次出现故障发生在保修期内的概率为. 3 25 (2)乙品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为. 23 50 1 10 古典概型 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2，3；蓝色卡片两张， 标号分别为 1，2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率； (2)向袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片 颜色不同且标号之和小于 4 的概率 【解】(1)将标号为 1，2，3 的三张红色卡片分别记为 A，B，C，标号为 1，2 的两张蓝 色卡片分别记为 D，E.从这五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)， (A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共 10 种 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的 从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结果为 (A，D)，(A，E)，(B，D)，共 3 种 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为. 3 10 (2)将标号为 0 的绿色卡片记为 F.从这六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)， (A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)， (D，F)，(E，F)，共 15 种 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的 从这六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结果为 (A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共 8 种所以这两张卡片颜色 不同且它们的标号之和小于 4 的概率为. 8 15 求解古典概型概率“四步”法 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女 (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，求选出的 2 名教师性别相同的概率； (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名，求选出的 2 名教师来自同一学校的概率 解：(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，所有可能的结果为(甲男 1，乙男)、(甲 男 2，乙男)、(甲男 1，乙女 1)、(甲男 1，乙女 2)、(甲男 2，乙女 1)、(甲男 2，乙女 2)、(甲女，乙 女 1)、(甲女，乙女 2)、(甲女，乙男)，共 9 种；选出的 2 名教师性别相同的结果有(甲男 1，乙 男)、(甲男 2，乙男)、(甲女，乙女 1)、(甲女，乙女 2)，共 4 种，所以选出的 2 名教师性别相同 的概率为 . 4 9 (2)从报名的 6 名教师中任选 2 名，所有可能的结果为(甲男 1，乙男)、(甲男 2，乙男)、 (甲男 1，乙女 1)、(甲男 1，乙女 2)、(甲男 2，乙女 1)、(甲男 2，乙女 2)、(甲女，乙女 1)、(甲女， 乙女 2)、(甲女，乙男)、(甲男 1，甲男 2)、(甲男 1，甲女)、(甲男 2，甲女)、(乙男，乙女 1)、(乙 男，乙女 2)、(乙女 1，乙女 2)，共 15 种；选出的 2 名教师来自同一学校的所有可能的结果为 (甲男 1，甲男 2)、(甲男 1，甲女)、(甲男 2，甲女)、(乙男，乙女 1)、(乙男，乙女 2)、(乙女 1，乙 女 2)，共 6 种，所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 . 6 15 2 5 事件的相互独立性 计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格” 与“不合格” ，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”并颁发“合格证书” 甲、 乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为 ，在实际操作考试中“合格”的概率 4 5 3 4 2 3 依次为 ，所有考试是否合格相互之间没有影响 1 2 2 3 5 6 (1)若甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，则谁获得“合格证书”的可 能性大？ (2)求甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得“合格证书”的 概率 【解】(1)记“甲获得合格证书 ”为事件 A， “乙获得合格证书 ”为事件 B， “丙 获得合格证书 ”为事件 C，则 P(A) ，P(B) ，P(C) ，从而 4 5 1 2 2 5 3 4 2 3 1 2 2 3 5 6 5 9 P(C)P(B)P(A)，所以丙获得“合格证书”的可能性大 (2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得合格证书 ” 为事件 D，则 P(D)P(AB)P(AC)P(BC) . C B A 2 5 1 2 4 9 2 5 1 2 5 9 3 5 1 2 5 9 11 30 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和 (2)将彼此互斥的简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的 积事件 (3)代入概率的积、和公式求解 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少 3 人需使用设备的 概率为() A0.25B0.30 C0.31 D0.35 解析：选 C.设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件 A，B，C，D，则 P(A)0.6，P(B) 0.5，P(C)0.5，P(D)0.4，所以同一工作日最少 3 人需使用设备的概率为 P(ABCDABCDABCDABCDABCD) 0.60.50.50.60.60.50.50.40.60.50.50.40.40.50.50.40.6 0.50.50.40.31. 概率与统计的综合问题 某食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级，等级系数 X 依次为 A，B，C，D，E.现从该种面包中随机抽取 20 件样品进行检验，对其等级系数进行 统计分析，得到频率分布表如下： XABCDE 频率0.10.20.450.150.1 从等级系数为 A，D，E 的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同) (1)求取出的两件样品是等级系数为 A 与 D 的概率； (2)求取出的两件样品是不同等级的概率 【解】(1)A 级所取的样品数为 200.12，D 级所取的样品数为 200.153，E 级 所取的样品数为 200.12. 将等级系数为 A 的 2 件样品分别记为 a1，a2；等级系数为 D 的 3 件样品分别记为 x1，x2，x3；等级系数为 E 的 2 件样品分别记为 y1，y2； 现从 a1，a2，x1，x2，x3，y1，y2这 7 件样品中一次性任取两件，共有 21 个不同的结果，分 别为(a1，a2)，(a1，x1)，(a1，x2)，(a1，x3)，(a1，y1)，(a1，y2)，(a2，x1)，(a2，x2)，(a2，x3)，(a2，y1)， (a2，y2)，(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2) 记事件 M 为“取出的两件样品是等级系数为 A 与 D” ，则事件 M 所包含的样本点有 6 个，分别为(a1，x1)，(a1，x2)，(a1，x3)，(a2，x1)，(a2，x2)，(a2，x3) 所以事件 M 的概率 P(M) . 6 21 2 7 (2)法一：记事件 N 为“取出的两件样品是等级系数为 A 与 E” ，则事件 N 所包含的样 本点有 4 个，分别为(a1，y1)，(a1，y2)，(a2，y1)，(a2，y2)，所以事件 N 的概率 P(N) . 4 21 记事件 Q 为“取出的两件样品是等级系数为 D 与 E” ，则事件 Q 所包含的样本点有 6 个，分别为(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，所以事件 Q 的概率 P(Q) 6 21 . 2 7 因为事件 M，N，Q 为互斥事件，所以取出的两件样品是不同等级的概率为 P(MNQ) P(M)P(N)P(Q) . 16 21 法二：记事件 L 为“取出的两件样品是不同等级” ，则事件为“取出的两件样品是同 L 等级” ，所以事件所含的样本点有 5 种，分别为(a1，a2)，(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)， L 所以事件的概率 P()， L L 5 21 所以 P(L)1P()1， L 5 21 16 21 即取出的两件样品是不同等级的概率为. 16 21 解决概率与统计综合问题应注意的问题 在解决此类综合问题时，应对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信 息，排除无关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的 某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保 人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出 险次数 012345 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数01234 5 频数605030302010 (1)记 A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费” 求 P(A)的估计值； (2)记 B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” 求 P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值 解：(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为 0.55，故 P(A)的估计值为 0.55. 6050 200 (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险次 数大于 1 且小于 4 的频率为0.3，故 P(B)的估计值为 0.3. 3030 200 (3)由所给数据得 保费 0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 频率 0.300.250.150.150.100.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 085a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a. , 1(2019福建省师大附中期中考试)袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出 两个球设事件 P 表示“取出的都是黑球” ；事件 Q 表示“取出的都是白球” ；事件 R 表示 “取出的球中至少有一个黑球” ，则下列结论正确的是() AP 与 R 是互斥事件 BP 与 Q 是对立事件 CQ 和 R 是对立事件 DQ 和 R 是互斥事件，但不是对立事件 解析：选 C.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法共有 如下几类： 取出的两球都是黑球；取出的两球都是白球；取出的球一黑一白 事件 R 包括两类情况，所以事件 P 是事件 R 的子事件，故 A 不正确； 事件 Q 与事件 R 互斥且对立，所以选项 C 正确，选项 D 不正确； 事件 P 与事件 Q 互斥，但不是对立事件，所以选项 B 不正确 故选 C. 2甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风 的概率分别为 0.8 和 0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为() A0.95B0.6 C0.05 D0.4 解析：选 A.法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：甲预报准确，乙预报 不准确；甲预报不准确，乙预报准确；甲预报准确，乙预报准确这三个事件彼此互斥， 故至少有一颗卫星预报准确的概率为 0.8(10.75)(10.8)0.750.80.750.95. 法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻两颗卫星 预报都不准确” ，故至少有一颗卫星预报准确的概率为 1(10.8)(10.75)0.95. 3(2019江西省上饶市期末统考)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数 a1，按下 列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正 面朝上或两个反面朝上，则把 a1乘以 2 后再减去 6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝 上，则把 a1除以 2 后再加上 6，这样就可得到一个新的实数 a2，对实数 a2仍按上述方法进 行一次操作，又得到一个新的实数 a3，当 a3a1时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率 为 ，则 a1的取值范围是_ 3 4 解析：由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况： 当 a32(2a16)64a118，其出现的概率为 ， ( 1 2) 2 1 4 当 a3 (2a16)6a13，其出现的概率为 ， 1 2 ( 1 2) 2 1 4 当 a326a16，其出现的概率为 ， ( a1 2 6) ( 1 2) 2 1 4 当 a369，其出现的概率为 ， 1 2( a1 2 6) a1 4 ( 1 2) 2 1 4 因为甲获胜的概率为 ，即 a3a1的概率为 ， 3 4 3 4 则满足或，整理得 a16 或 a112. 4a118 a1 a1 4 9 a1 ) 4a118 a1 a1 4 9 a1) 答案：(，612，) 4(2019广东省惠州市期末考试)2019 年 4 月 23 日“世界读书日”来临之际，某校为 了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了 100 名学生，并获得了他们一周课外阅读时间(单 位：小时)的数据，按阅读时间分组：第一组0，5), 第二组5，10)，第三组10，15)，第 四组15，20)，第五组20，25，绘制了频率分布直方图如图所示已知第三组的频数是第 五组频数的 3 倍 (1)求 a 的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值； (2)现从第三、四、五这 3 组中用分层随机抽样的方法抽取 6 人参加校“中华诗词比赛” 经过比赛后，从这 6 人中随机挑选 2 人组成该校代表队，求这 2 人来自不同组别的概 率 解：(1)由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为 1(0.010.070.04) 50.4， 第三组的频率为 0.40.3， 3 13 所以 a0.06. 0.3 5 该样本数据的平均数 x2.50.0157.50.07512.50.06517.50.04522.50.02512.25， 所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为 12.25 小时 (2)易得从第三、四、五组抽取的人数分别为 3，2，1, 设为 A，B，C，D，E，F，则从该 6 人中选拔 2 人的样本点有： (A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)， (C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 个， 其中来自不同的组别的样本点有： (A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)， 共 11 个， 所以这 2 人来自不同组别的概率为. 11 15 A基础达标 1老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班 50 名同学(其中男同学 30 名， 女同学 20 名)采取分层随机抽样的方法，抽取一个容量为 10 的样本进行研究，则女同学甲 被抽到的概率为() A.B. 1 50 1 10 C. D. 1 5 1 4 解析：选 C.因为在分层随机抽样中，任何个体被抽到的概率均相等，所以女同学甲被抽 到的概率 P ，故应选 C. 10 50 1 5 2由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下： 排队人数01234 5 人及 以上 概率0.110.160.30.290.10.04 则至多有 2 人排队的概率为() A0.3 B0.43 C0.57 D0.27 解析：选 C.记“没有人排队”为事件 A， “1 人排队”为事件 B， “2 人排队”为事件 C，A、B、C 彼此互斥记“至多有 2 人排队”为事件 E，则 P(E)P(ABC)P(A)P(B) P(C)0.110.160.30.57. 3一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当 ab，bc 时 称为“凹数”(如 213，312 等)，若 a，b，c1，2，3，4，且 a，b，c 互不相同，则这 个三位数为“凹数”的概率是() A. B. 1 6 5 24 C. D. 1 3 7 24 解析：选 C.由 1，2，3 组成的三位数有 123，132，213，231，312，321，共 6 个； 由 1，2，4 组成的三位数有 124，142，214，241，412，421，共 6 个； 由 1，3，4 组成的三位数有 134，143，314，341，413，431，共 6 个； 由 2，3，4 组成的三位数有 234，243，324，342，432，423，共 6 个 所以共有 666624 个三位数 当 b1 时，有 214，213，314，412，312，413，共 6 个“凹数” ； 当 b2 时，有 324，423，共 2 个“凹数” 所以这个三位数为“凹数”的概率 P . 62 24 1 3 4四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的一枚硬币，所有人同时抛出 自己的硬币若落在圆桌上时硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个 人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为() A. B. 1 4 7 16 C. D. 1 2 9 16 解析：选 B.抛四枚硬币，总的结果有 16 种， “没有相邻的两个人站起来”记为事件 A， 可分为三类：一是没有人站起来，只有 1 种结果：二是 1 人站起来，有 4 种结果；三是有 2 人 站起来，可以是 AC 或 BD，有 2 种结果所以满足题意的结果共有 1427 种结果，P(A) .故选 B. 7 16 5某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产 情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是 0.05 和 0.03，则抽检一件是甲 级品的概率为_ 解析：记抽检的产品是甲级品为事件 A，是乙级品为事件 B，是丙级品 为事件 C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为 P(A)1P(B)P(C)0.92. 答案：0.92 6甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种，则他 们选择相同颜色运动服的概率为_ 解析：甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝 9 种， 其中颜色相同的有 3 种，所以所求概率为 . 3 9 1 3 答案： 1 3 7加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为， ， ， 1 70 1 69 1 68 且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_ 解析：依题意得，加工出来的零件的正品率是，因此加 (1 1 70) (1 1 69) (1 1 68) 67 70 工出来的零件的次品率是 1. 67 70 3 70 答案： 3 70 8设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27，9，18.现采用分层随机抽样 的方法从三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛 (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； (2)将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这 6 名 运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛 ()用所给编号列出所有可能的结果； ()设 A 为事件“编号 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到” ，求事件 A 发生的 概率 解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 3，1，2. (2)()从 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)， (A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)， (A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共 15 种 ()编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到的所有可能结果为(A1，A5)， (A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共 9 种 因此，事件 A 发生的概率 P(A) . 9 15 3 5 9(2019江西省临川第一中学期末考试)某学校为了解其下属后勤处的服务情况，随机 访问了 50 名教职工，根据这 50 名教职工对后勤处的评分情况，绘制频率分布直方图如图 所示，其中样本数据分组区间为40，50)，50，60)，80，90)，90，100 (1)估计该学校的教职工对后勤处评分的中位数(结果保留到小数点后一位)； (2)从评分在40，60)的受访教职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人中至少有 1 人对后勤 处评分在50，60)内的概率 解：(1)由频率分布直方图，可知(0.004a0.0180.02220.028)101， 解得 a0.006. 设该学校的教职工对后勤处评分的中位数为 x0，有 (0.0040.0060.022)100.028(x070)0.5，解得 x076.4(分)， 故该学校的教职工对后勤处评分的中位数约为 76.4. (2)由频率分布直方图可知，受访教职工评分在40，50)内的人数为 0.00410502(人)， 受访教职工评分在50，60)内的人数为 0.00610503(人) 设受访教职工评分在40，50)内的两人分别为 a1，a2，在50，60)内的三人分别为 b1，b2，b3，则从评分在40，60)内的受访教职工中随机抽取 2 人， 其样本点有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)， (b2，b3)，共 10 个，其中 2 人评分至少有一人在50，60)内的样本点有 9 个，故 2 人评分至少 有 1 人在50，60)内的概率为. 9 10 B能力提升 10(2019汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人获得 一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人 2 3 3 4 获得一等奖的概率为() A. B. 3 4 2 3 C. D. 5 7 5 12 解析：选 D.根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获 得，则所求概率是 .故选 D. 2 3 (1 3 4) 3 4 (1 2 3) 5 12 11若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机 会均等，则甲或乙被录用的概率为() A. B. 2 3 2 5 C. D. 3 5 9 10 解析：选 D.记事件 A：甲或乙被录用从五人中录用三人，样本点有(甲，乙，丙)、(甲， 乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙， 丁，戊)、(丙，丁，戊)，共 10 个，而事件 A 的对立事件仅有(丙，丁，戊)一种可能，所以事件 A A 的对立事件的概率为 P()，所以 P(A)1P() .故选 D. A A 1 10 A 9 10 12甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的 9 条棱中任选一条，则这 2 条棱 互相垂直的概率为() A. B. 22 81 37 81 C. D. 44 81 59 81 解析：选 C.由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这 9 条棱中任 选一条，乙从这 9 条棱中任选一条，共有 9981(种)结果，满足条件的事件是这 2 条棱互 相垂直，所有可能情况是 当甲选底面上的一条直角边时，乙有 5 种选法，共有 4 条直角边，则共有 20 种结果； 当甲选底面上的一条斜边时，乙有 3 种选法，共有 2 条底面的斜边，则共有 6 种情况； 当甲选一条侧棱时，乙有 6 种选法，共有 3 条侧棱，则共有 18 种结果 综上所述，共有 2061844(种)结果， 故这 2 条棱互相垂直的概率是. 44 81 13(2019广东省东莞市调研测试)某电商在双十一搞促销活动，顾客购满 5 件获得积 分 30 分(不足 5 件不积分)，每多买 2 件再积 20 分(不足 2 件不积分)，比如某顾客购买了 12 件，则可积 90 分为了解顾客积分情况，该电商在某天随机抽取了 1 000 名顾客，统计 了当天他们的购物数额，并将样本数据分为3，5)，5，7)，7，9)，9，11)，11，13)， 13，15)，15，17)，17，19)，19，21九组，整理得到如图频率分布直方图 (1)求直方图中 a 的值； (2)从当天购物数额在13，15)，15，17)的顾客中按分层随机抽样的方法抽取 6 人那 么，从这 6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人积分之和不少于 240 分的概率 解：(1)各组的频率分别为 0.04，0.06，2a，2a，6a，0.2，2a，0.08，0.02， 所以 0.040.062a2a6a0.22a0.080.021， 化简得 12a0.6， 解得 a0.05. (2)按分层随机抽样的方法在13，15)内应抽取 4 人，记为 A，B，C，D，每人的积分是 110 分； 在15，17)内应抽取 2 人，记为 a，b，每人的积分是 130 分； 从 6 人中随机抽取 2 人，有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，D)，(B，a)， (B，b)，(C，D)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，(a，b)共 15 个样本点， 其中这 2 人的积分之和不少于 240 分的有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)， (D，a)，(D，b)，(a，b)共 9 个样本点； 所以从 6 人中随机抽取 2 人，这 2 人的积分之和不少于 240 分的概率为 P . 9 15 3 5 C拓展探索 14某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下 100 个芒果，其质量分别 在100，150)，150，200)，200，250)，250，300)，300，350)，350，400)(单位：克) 中，经统计的频率分布直方图如图所示 (1)估计这组数据平均数； (2)现按分层随机抽样从质量为200，250)，250，300)的芒果中随机抽取 5 个，再从这 5 个中随机抽取 2 个，求这 2 个芒果都来自同一个质量区间的概率； (3)某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总 体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有 10 000 个，经销商提出以下两种收购方案： 方案：所有芒果以 9 元/千克收购； 方案：对质量低于 250 克的芒果以 2 元/个收购，对质量高于或等于 250 克的芒果以 3 元/个收购 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多 解：(1)由频率分布直方图知，这组数据的平均数 0.071250.151750.202250.302750.253250.03375255. x (2)利用分层随机抽样从这两个范围内抽取 5 个芒果，则质量在200，250)内的芒果有 2 个，记为 a1，a2，质量在250，300)内的芒果有 3 个，记为 b1，b2，b3； 从抽取的 5 个芒果中抽取 2 个共有 10 种不同情况：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)， (a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3) 记事件 A 为“这 2 个芒果都来自同一个质量区间” ，则 A 有 4 个样本点： (a1，a2)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)， 从而 P(A) ， 4 10 2 5 故这 2 个芒果都来自同一个质量区间的概率为 . 2 5 (3)方案收入：y110 000910 000922 950(元)； 255 1 000 方案：低于 250 克的芒果收入为(0.070.150.2)10 00028 400(元)； 不低于 250 克的芒果收入为(0.250.30.03)10 000317 400(元)； 故方案的收入为 y284 0017 40025 800(元) 由于 22 95025 800，所以选择方案获利多 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强化 素养提升 章末演练 轻松闯关 第十章概率 栏目 导引 知识网络 体系构建 主题串讲 综合提高 热考强