1、 讲课人：邢启强 2 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数 学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。风车，代表中国人民热情好客。 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 3 思考：这会标中含有思考：这会标中含有 怎样的几何图形？怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个思考：你能否在这个 图案中找出一些相等图案中找出一些相等 关系或不等关系？关系或不等关系？ 新课引入新课引入 正方形和直角三角形 讲课人：邢启强 4 a b 22
2、 ba 22 ba 1、正方形、正方形ABCD的的 面积面积S= 、四个直角三角形的、四个直角三角形的 面积和面积和S = =ab2 、S与与S有什么有什么 样的不等关系？样的不等关系？ 探究：探究： SS 问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？ 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 5 A D B C E F G H b a 22 ab 重要不等式：重要不等式： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。 22 2abab A B C D E(FGH) a b 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 思考：思
3、考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？ abba2 22 0)( 2 ba 0)( 2 ba 2 ()0ab所以 22 2.abab所以 时当ba 时当ba 22 2abab 证明：（作差法）证明：（作差法） 2 )(ba 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立 22 2abab 文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍. . 适用范围：适用范围： a,bR 0,0, ,ababa b如果我们用分别代替 可得到什
4、么结论？ 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 0,0, ,ababa b如果我们用分别代替 可得到什么结论？ 22 ()()2abab 2 ab ab 替换后得到：替换后得到： 即：即：)0, 0(ba 2abab 即：即： 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 9 2 ab ab 证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab 要证，只要证要证，只要证 2 (_)0 显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分析法分析法 22 (0,0,(
5、) ,() )abaabb 2 ab ab )0, 0(ba证明不等式：证明不等式： 2 ab 2 ab ba 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 10 特别地，若特别地，若a0，b0，则，则_2abab 通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：(0,0) 2 ab abab 当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 基本不等式基本不等式 在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数； 2 ab ab 文字叙述为：文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小
6、于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 适用范围：适用范围： a0,b0 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 11 适用范围适用范围 文字叙述文字叙述 “=”成立条件成立条件 22 2abab 2 ab ab a=ba=b 两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数 两数的平方和不两数的平方和不 小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0 填表比较：填表比较： 注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 12 均值不等式的运用均值不等式的运用 例已知例已知x0 ，求，求
7、 的最小值和此时的最小值和此时 x的取值的取值 1 x x 典型例题典型例题 变式1：把 改为 成立吗？0 x 0 x 变式2：把 改为 成立吗？0 x 2x 不成立 不成立 讲课人：邢启强 13 均值不等式的运用均值不等式的运用 典型例题典型例题 例例2.已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数. (1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ). (2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ). 1 4 讲课人：邢启强 14 各项皆为各项皆为正数正数； 和或积为和或积为定值定值； 注
8、意注意等号等号成立的条件成立的条件. 一一“正正” 二二“定定” 三三“相等相等” 利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意 已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数. (1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ). (2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ). 1 4 归纳总结归纳总结 讲课人：邢启强 15 1.已知已知x0, y0, xy=24, 求求4x+6y的最小值，的最小值， 并说明此时并说明此时x,y的值的值 当当x=6,y=4时时,最小值为最小值
9、为48 2 2 2 x x 2.已知已知x0. =(x +1)+ - -1 1 x+1 x + 1 x+1 =1, 2 (x+1) - -1 1 x+1 当且仅当当且仅当 取取“=”号号. 当当 x=0 时时, 取最小值是取最小值是 1. x+1= , 即即 x=0 时时, 1 x+1 讲课人：邢启强 16 提高练习提高练习 2 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求 的最小值的最小值 yx u 11 32 2 3.已知已知x,y为正数为正数,且且2x+8yxy，则，则x+y 的最小值是的最小值是_. 18 1. 若若 0 x , 求求 x(1- -2x) 的最大值的最大值. 1 2 解解
10、: 0 x0. 1 2 x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 1 2 2 2x+(1- -2x) 2 1 2 1 8 = . 当且仅当当且仅当 时时, 取取“=”号号.2x=(1- -2x), 即即 x= 1 4 当当 x = 时时, 函数函数 x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 . 1 4 1 8 讲课人：邢启强 17 22 1R,2( ) ,a bababab那那么么当当且且仅仅当当时时, ,等等号号成成立立 (2)( 0, 0) 2 ab ababab ，当且仅当时，等号成立。 求最值时注意把握求最值时注意把握 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等” 已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数. (1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ). (2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ). 1 4 3. 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 1. 重要不等式重要不等式 课堂小结课堂小结 2. 基本不等式基本不等式
