1、6.4.3正弦定理和余弦定正弦定理和余弦定 理应用举例理应用举例1距离距离 讲课人：邢启强 2 1.1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？ 2 si nsi nsi n abc R ABC = 222 2cosabcbcA=+- 222 2coscababC=+- 222 2cosbacacB=+- 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 3 已知三角形的任意两角及其一边；已知三角形的任意两角及其一边； 已知三角形的任意两边与其中一已知三角形的任意两边与其中一 边边 的对角的对角. 2. 运用正弦定理能解怎样的三角形？运用正弦定理能解怎样的三角形？ 已知三边求三
2、角已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三已知两边及它们的夹角，求第三边边. 已知三角形的任意两边与其中一边已知三角形的任意两边与其中一边 的对角的对角. 3. 运用运用余弦定理能解怎样的三角形？余弦定理能解怎样的三角形？ 复习引入复习引入 讲课人：邢启强 4 我国的嫦娥2号成功绕月飞行， “遥不可及的月亮离 我们地球究竟有多远呢？” 在古代，天文学家没有先 进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的 方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距 离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如 可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解 直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测
3、量问题 的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足 够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以， 有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前 的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、 余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测 量距离。 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 5 解决实际测量问题的过程一般要充分认 真理解题意，正确做出图形，把实际问题里 的条件和所求转换成三角形中的已知和未知 的边、角，通过建立数学模型来求解。 实际问题实际问题 抽象概括抽象概括 示意图示意图 数学模型数学模型 推理推理 演算演算 数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解 还原说明还原说
4、明 解应用题的基本思路解应用题的基本思路 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 6 1.1.如图，设如图，设A A、B B两点在河的两岸，测量者在点两点在河的两岸，测量者在点A A 的同侧，如何求出的同侧，如何求出A A、B B两点的距离？两点的距离？ C C A A B B 在点在点A所在河岸边选定一点所在河岸边选定一点C，若测出，若测出A、C的的 距离是距离是55m，BAC=45，ACB=75,求求 AB的长的长 C C A A B B 55(3 26) 6 AB 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 7 若若A A为可到达点，为可到达点，B B为不可到达点，为不可到达点， 设计测量方案计算设计测
5、量方案计算A A、B B两点的距离两点的距离: : 选定选定一个可到达点一个可到达点C C； 测量测量ACAC的距离及的距离及BACBAC，ACBACB的大小的大小. . 利用利用正弦定理求正弦定理求ABAB的距离的距离. . C C A A B B 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 变式练习变式练习 两灯塔两灯塔A、B与海洋观察站与海洋观察站C的距离都等于的距离都等于a km，灯，灯 塔塔A在观察站在观察站C的北偏东的北偏东30o，灯塔，灯塔B在观察站在观察站C南偏南偏 东东60o，则，则A、B之间的距离为多少？之间的距离为多少？ 讲课人：邢启强 9 A A B B 2.2.设设A A、
6、B B两点都在河的对岸（不可到达），你能设两点都在河的对岸（不可到达），你能设 计一个测量方案计算计一个测量方案计算A A、B B两点间的距离吗？两点间的距离吗？ D D C C 问题探究问题探究 测量者可以在河岸边选定两点测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并 且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=. 讲课人：邢启强 10 解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并 且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在ADC和和BDC中，应用正
7、弦定理得中，应用正弦定理得 )sin( )sin( )(180sin )sin( aa AC )sin( sin )(180sin sin aa BC 计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦中，应用余弦 定理计算出定理计算出AB两点间的距离两点间的距离 cos2 22 BCACBCACAB 讲课人：邢启强 11 若测得若测得BCDBCDADBADB4545，ACBACB7575,ADC,ADC3030, , 且且CDCD ，试求，试求A、B两点间的距离两点间的距离 100 3 C C D D B B A A 30304545 4545 7575 100 3 问题解决问题解决
8、 解：在解：在ACDACD中，中，DAC=180DAC=180(ACD+ADC)(ACD+ADC) =180=180(75(75+45+45+30+30)=30)=30 AC=CD=AC=CD= 100 3 在在BCDBCD中，中，CBD=180CBD=180（BCD+BDCBCD+BDC） =180=180(45(45+45+45+30+30） = =6060 讲课人：邢启强 12 由正弦定理由正弦定理 ， 得得 sin BDCsinDBC BCDC sin BDC100 3sin75 200sin75 sinDBCsin60 DC BC 在在ABCABC中由余弦定理，中由余弦定理， 222
9、 2cosABCACBCA CBC 22 2 (100 3)(200sin75 )2 100 3200sin75 cos75 5 100 100 5AB 所求所求A A、B B两地间的距离为米。两地间的距离为米。 100 5 选定选定两个可到达点两个可到达点C C、D D； 测量测量C C、D D间的距离及间的距离及ACBACB、ACDACD、BDCBDC、ADBADB 的大小；的大小； 利用正弦定理求利用正弦定理求ACAC和和BCBC； 利用余弦定理求利用余弦定理求AB.AB. 测量两个不可到达点之间的距离方案：测量两个不可到达点之间的距离方案： 形成规律形成规律 讲课人：邢启强 14 练习
10、：在山下练习：在山下A处用激光测距仪测出到两座山处用激光测距仪测出到两座山 峰峰B、C的距离分别是的距离分别是2500m和和2350m，从，从A处处 观察这两目标的视角是观察这两目标的视角是135 ，B、C两山峰相距两山峰相距 多远？多远？ 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 15 巩固练习巩固练习 30 22如图，甲船以每小时如图，甲船以每小时 向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航 行，当甲船位于行，当甲船位于A A1 1处时，乙船位于甲船的北处时，乙船位于甲船的北 偏西偏西105105方向的方向的B B1 1处，此时两船相距处，此时两船相距2020海里
11、，海里， 当甲船航行当甲船航行2020分钟到达分钟到达 A A2 2处时，乙船航行到甲船的处时，乙船航行到甲船的 北偏西北偏西120120方向的方向的B B2 2处时，处时， 此时两船相距此时两船相距 海里，海里， 问乙船每小时航行多少海里？问乙船每小时航行多少海里？ 海里的速度海里的速度 10 2 20 10 2 10 2 在测量上，根据测量需要适当确在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做定的线段叫做基线基线, ,如例如例1 1中的中的ACAC， 例例2 2中的中的CD.CD.基线的选取不唯一，基线的选取不唯一， 一般一般基线越长，测量的精确度越基线越长，测量的精确度越 高高. . 形成
12、结论形成结论 解斜三角形应用题的一般步骤：解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知， 画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把 已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际 意义，从而得出实际问题的解 1.1.在测量上，根据测量需要适当确在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线定的线段叫做基线. . 课堂小结课堂小结 2.2.距离测量问题包括一个不可到达距离测量问题包括一个不可到达 点和两个不可到达点两种，设计测点和两个不可到达点两种，设计测 量方案的基本原则是：能够根据测量方案的基本原则是：能够根据测 量所得的数据计算所求两点间的距量所得的数据计算所求两点间的距 离，其中测量数据与基线的选取有离，其中测量数据与基线的选取有 关，计算时需要利用正、余弦定理关，计算时需要利用正、余弦定理. .
