1、3.4 函数的应用（一）函数的应用（一） 知识梳理知识梳理 在实际问题中函数的定义域必须根据自变量所代表的实际意义来确定，准确确定函数的定义域是建立函数模型解 答实际问题的一个关键环节，不可忽视 数学模型来源于实践，是实际问题的抽象和概括，因此首先必须对实际问题要有深刻的理解，应不断培养自己的 抽象概括能力和坚实的数学基础，当然需要有较强的运算能力 根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型，再用得到的函数模型解决相应 问题，这是函数应用的一个基本过程 在求其具体解析式时用到的最重要的方法是：待定系数法 知识典例知识典例 题型一 分段函数应用 例 1 某城市为保护环
2、境、维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过 8 吨，按每吨 2 元收 取水费，每月用水超过 8 吨，超过部分加倍收费若某职工某月缴水费 20 元，则该职工这个月实际用水() A.10 吨B.13 吨C.11 吨 D.9 吨 【详解】 设用水x吨时，对应的收费为f x（ ）， 则由题意知，当082xf xx， （ ），此时最多缴费 16 元 当8x，超出部分为82 848416xf xxx ， （ ）（） 即 2 08 4168 xx f x xx ， （ ） ， 20 16 ，该职工这个月实际用水8x8， 由41620f xx（ ）， 即436x ， 解得9x （吨），
3、故选：D 题型二 实际应用问题 例 2 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v 5log2 10 Q ，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量 (1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？ 【答案】(1)80(2) 15 m/s. 【解析】 解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为 0，代入题目所给公式可得 05log2 10 Q ，解得 Q10， 即燕子静止时的耗氧量为 10 个单位 (2)将耗氧量 Q80 代入公式得 v5log2 80 10 5log2815
4、(m/s)， 即当一只燕子耗氧量为 80 个单位时，它的飞行速度为 15m/s. 巩固提升巩固提升 1、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当 的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用 A一次函数B二次函数 C指数型函数D对数型函数 【答案】D 【分析】 分别分析一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数单调性以及其变化快慢结合题意即可得结果. 【详解】 根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如 果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增
5、长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符 合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于 1 的数，而此时指数函数增长的速度也 是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于 1 时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选 D 2、甲用 1 000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利 10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损 失了 10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙在上述股票交易中() A.甲刚好盈亏平衡B.甲盈利 9 元 C.甲盈利 1 元D.甲亏本 1.1 元 【答案】C 【详解】 甲两次付出为 1 000 元和 1
6、 000元，两次收入为 1 000元和 1 000元， 而 1 0001 0001 0001 0001，故甲盈利 1 元 3、某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y0.1x211x3 000，若每台产品的售价为 25 万元，则 生产者的利润取最大值时，产量 x 等于_ 【答案】【答案】180 台. 【详解】 设产量为x台，利润为S万元，则 2 2525(0.1113000)Sxyxxx 2 0.1363000 xx 2 0.1(180)240 x， 则当180 x时，生产者的利润取得最大值 即答案为 180 台. 4、某商品在最近 100 天内的单价 f(t)与时间
7、t 的函数关系是 f(t) * * 22,040, 4 52,40100, 2 t ttN t ttN ，日销售量 g(t)与时间 t 的函数关系是 g(t) 3 t 109 3 (0t100，tN)，则这种商品的日销售额的最大值为_ 【答案】808.5 【解析】 由题意知日销售额 s(t)f(t)g(t)， 当 0t100， 最大值为 s(40)736. 综上，这种商品日销售额 s(t)的最大值为 808.5 5、2016 年 9 月 15 日，天宫二号实验室发射成功借天宫二号东风，某厂推出品牌为“玉兔”的新产品生产“玉兔”的 固定成本为 20000 元， 每生产一件“玉兔”需要增加投入 1
8、00 元 根据初步测算， 总收益 （单位： 元） 满足分段函数( )x， 其中 2 1 400,0400 ( )2 80000,400 xxx x x ，x是“玉兔”的月产量（单位：件），总收益总成本利润 （I）试将利润y元表示为月产量x的函数； （II）当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？ 【答案】【答案】（I） 2 1 30020000,0400, 2 60000 100 ,400, xxxxN y xxxN 且 且 ；（II）当300 x 时，有最大利润25000元 【解析】【解析】 试题分析：（I）依题设，总成本为20000 100 x，利用总收益总成本利润，求得利润的表达式为
9、 2 1 30020000,0400, 2 60000 100 ,400, xxxxN y xxxN 且 且 ；（II）当0400 x时，利用配方法求的当300 x 时， max 25000y； 当400 x 时，60000 100yx是减函数， 最大值小于20000， 所以当300 x 时， 有最大利润25000 元 试题解析： （I）依题设，总成本为20000 100 x， 则 2 1 30020000,0400, 2 60000 100 ,400, xxxxN y xxxN 且 且 （II）当0400 x时， 2 1 (300)25000 2 yx ， 则当300 x 时， max 25
10、000y； 当400 x 时，60000 100yx是减函数， 则60000 100 40020000y ， 所以，当 300 x 时，有最大利润 25000 元 6、心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，上课开始时，学生的兴趣激增，中间 有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，并趋于稳定分析结果和实验表 明，设提出和讲述概念的时间为x（单位：分），学生的接受能力为 ( )f x（( )f x值越大，表示接受能力越强）， 2 0.12.644,010, 60,1015, ( ) 3105,1525, 30,2540. xxx x
11、f x xx x （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ （2）试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； （3）若一个数学难题，需要56的接受能力以及12分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲 述完这个难题？ 【答案】(1)开讲后10分钟，学生的接受能力最强,并能维持5分钟. (2)开讲后5分钟、20分钟、35分钟的学生的接受能力从大到小依次是:5分钟、20分钟、35分钟. (3)不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题. 【分析】 (1)分段求出 ( )f x的最大值再比较即可. (2)按分段函数分别求出5,20,
12、35x 时的函数值再比较大小即可. (3)求出满足( )56f x 的x的取值范围，看能否超过12分钟即可. 【详解】 (1)由题意可知,当010 x时， 22 ( )0.12.6440.1(13)60.9f xxxx ， 所以当10 x 时, ( )f x取得最大值是(10)60f . 当1015x时，( )60f x ， 所以开讲后10分钟，学生的接受能力最强,并能维持5分钟. (2)由题意可知(5)54.5,(20)45,(35)30fff, 所以开讲后5分钟、20分钟、35分钟的学生的接受能力从大到小依次是:5分钟、20分钟、35分钟. (3)当010 x时，由 2 ( )0.1(13
13、)60.956f xx ，解得610 x ； 当1015x时，( )6056f x 成立； 当1525x时，由( )310556f xx ，解得 49 15 3 x. 综上，当 49 6 3 x时，接受能力达到56. 而 4931 612 33 ， 所以不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题. 7、已知甲、乙两地相距 150km，某人开汽车以 60km/h 的速度从甲地到达乙地，在乙地停留 1 小时后再以 50km/h 的速 度返回甲地，把汽车离开甲地的距离 s 表示为时间 t（从甲地出发时开始）的函数，求此函数表达式 【答案】 60 (02.5) 150(2.53.5) 32550 (3.56.5) tt St tt 【分析】 分为02.5t ，2.53.5t ，3.56.5t 三段求函数解析式 【详解】 某人开汽车以 60km/h 的速度从甲地到达乙地需要的时间为 150 2.5 60 h， 某人开汽车以 50km/h 的速度返回甲地需要的时间为 150 3 50 h， 当02.5t 时，60St， 当2.53.5t 时，150S ， 当3.56.5t 时，15050(3.5)32550Stt， 综上所述： 60 (02.5) 150(2.53.5) 32550 (3.56.5) tt St tt
