1、必修第一册综合测试题四必修第一册综合测试题四 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1函数 0.5 logyx定义域为() A 1 ,) 2 B 1 ( ,1 2 C1，)D(0，1 2已知全集U为实数集， 2 |30Ax xx， |1Bx x，则()( U AB ) A |01xx B |01xx C |13xx D |03xx 3关于x的方程 1 420 xx m 有实数解的充要条件是() A1m B0mC1mD0m 4已知命题p： “ 0 0 x， 0 10 xt ” ，若p为真命题，则实数t的取值范围是() A(1,)B(,1)C1，)D(，1 5不等式 2 20axbx的解集
2、是 1 ( 2 ， 1) 3 ，则ab等于() A4B14C10D10 6已知实数0a ，0b ，且22abab，则2ab的最小值为() A 5 2 2 B 9 2 C 5 2 D4 2 7 已知函数( ) |21| x f x ， 若关于x的方程 2( ) ( )20fxaf xa恰有 3 个不同的实数根， 则实数a的取值范围为() A(0,1)B( 1， 2 3 C( 1,0)D( 2， 3 2 8刘徽（约公元 225 年295年） ，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之 一他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体 而无所失矣” ， 这可视为
3、中国古代极限观念的佳作 割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n个等腰三角形（如图所示） ，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和 近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin6的近似值为() A 30 B 60 C 90 D 180 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9已知集合(Mx，)|( )yyf x，若对于任意 1 (x， 1) yM，存在 2 (x， 2) yM，使得 1212 0 x xy y成立，则称集合M是“完美对点集” 给出下列四个集合： 1 ( , )|Mx yy x ； ( , )|sin1Mx yyx； 2 ( , )|logMx yyx； (
4、, )|2 x Mx yye 其中是“完美对点集”的序号为() ABCD 10已知a，b为正实数，且142abab，则() Aab的最大值为188 2B2ab的最小值为8 24 Cab的最小值为 4D 1 12 ab ab 的最大值为 3 2 11已知定义在R上的函数( )f x满足()( )0fxf x，且当0 x时， 2 ( )2f xxx，则可 作为方程( )(1)f xfx实根的有() A 13 2 B 1 2 C 13 2 D 33 2 12已知函数( )2sin()(0f xx ，|)的部分图象如图所示，则() A2 B 3 C若 12 3 xx ，则 12 ()()f xf x
5、D若 12 3 xx ，则 12 ()()0f xf x 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13已知 1tan 23 1tan ，则tan() 4 14已知 22 loglog16sincos 1212 ab ，则ab的最小值为 15已知关于x的方程 2 12 221 xax xax 在区间 1 2 ，3上有两个不相等的实数根，则 实数a的取值范围为 16已知函数 2 |,0, ( ) 43,0, lnx x f x xxx 若函数 2 ( ) ( )4 ( )1g xf xf xm恰有 8 个零点，则 m的范围为 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17已知函数 3 ( )
6、sin (cos3sin ) 2 f xxxx （1）求() 3 f 的值及函数( )f x的单调增区间； （2）若12x ， 2 ，不等式( )2mf xm恒成立，求实数m的取值集合 18已知函数( )1( 21 x a f xa 为常数）是奇函数 （1）求a的值； （2）函数 2 ( )( )logg xf xk，若函数( )g x有零点，求参数k的取值范围 19某公园欲将如图所示的一块矩形空地MNDC进行重新规划，拟在边长为10m的正方形 EFGH内种植红色郁金香，正方形ABCD的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁 金香现要将以AB为一边长的矩形ABMN改造为绿色草坪，要求绿色草坪
7、的面积等于黄色 郁金香的面积，设GFB，ANym （1）求y与之间的函数关系式； （2）求AN的最大值 20已知函数 2 ( ) 1 x f x x （1）证明：函数( )f x在1，)上单调递减； （2）解关于x的不等式 22 (12)(24)0fxfxx； （3）求函数( )f x的值域 21已知奇函数 4 ( )1(0,1) 2 x f xaa aa （1）求a的值，并求函数( )f x的值域； （2）若函数(1)2( ) x ymmf x在区间(x ， 2 log 3上有两个不同的零点，求m的取值 范围 22已知命题p：关于x的方程 22 (32)230 xmxmm有两个大于 1 的实
8、数根 （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）命题:33qama，是否存在实数a使得p是q的必要不充分条件，若存在，求 出实数a的取值范围；若不存在，说明理由 必修第一册综合测试题四必修第一册综合测试题四 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1函数 0.5 logyx定义域为() A 1 ,) 2 B 1 ( ,1 2 C1，)D(0，1 【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可 【解答】解：由题意得： 0.5 0 log0 x x ， 解得：01x ， 故选：D 2已知全集U为实数集， 2 |30Ax xx， |1
9、Bx x，则()( U AB ) A |01xx B |01xx C |13xx D |03xx 【分析】可求出集合A，然后进行补集和交集的运算即可 【解答】解： |03Axx ， |1Bx x， |1 UB x x，() |01 U ABxx 故选：B 3关于x的方程 1 420 xx m 有实数解的充要条件是() A1m B0mC1mD0m 【分析】由 1 420 xx m ，得m的取值范围，逐项判断即可求得答案 【解答】解：因为 12 42(21)10 xxx m ， 所以关于x的方程 1 420 xx m 有实根的充要条件是0m 故选：D 4已知命题p： “ 0 0 x， 0 10 x
10、t ” ，若p为真命题，则实数t的取值范围是() A(1,)B(,1)C1，)D(，1 【分析】直接利用存在性问题和真值表的应用求出结果 【解答】解：命题p： “ 0 0 x， 0 10 xt ” ，若p为真命题， 所以 0 1tx ，即1t 故选：B 5不等式 2 20axbx的解集是 1 ( 2 ， 1) 3 ，则ab等于() A4B14C10D10 【分析】由不等式的解集，可求对应方程的根，求出a、b，然后求出ab 【解答】解：因为 2 1 1 20, 2 3 axbx 的解集是 所以 1 1 , 2 3 是方程 2 20axbx的根， 所以 11 20 42 11 20 93 ab a
11、b 12a ，2b 所以10ab 故选：C 6已知实数0a ，0b ，且22abab，则2ab的最小值为() A 5 2 2 B 9 2 C 5 2 D4 2 【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：0a ，0b ，且22abab， 11 1 2ba ， 则 115 2(2 )() 22 ab abab baba 59 2 22 b a a b 当且仅当 ba ab 且 11 1 2ba ， 即 3 2 ab时取等号 2ab的最小值为 9 2 故选：B 7 已知函数( ) |21| x f x ， 若关于x的方程 2( ) ( )20fxaf xa恰有 3 个不同的实
12、数根， 则实数a的取值范围为() A(0,1)B( 1， 2 3 C( 1,0)D( 2， 3 2 【分析】先根据函数的解析式作出函数( )f x的图象，然后利用换元法将关于x的方程 2( ) ( )20fxaf xa恰有 3 个不同的实数根，转化为 2 20tata有两个不同的实数 根，且 1 (0,1)t ， 2 1t ，)，然后再利用二次方程根的分布列出不等式组，求解即可得 到答案 【解答】解：因为函数( ) |21| x f x ，作出函数图象如图所示， 因为关于x的方程 2( ) ( )20fxaf xa恰有 3 个不同的实数根， 所以令( )tf x， 根据图象可得， 2 20ta
13、ta有两个不同的实数根， 且 1 (0,1)t ，21t ， )， 记 2 ( )2g ttata，则有 2 4(2)0 (0)0 (1) 0 aa g g ， 解得 3 2 2 a ， 所以实数a的取值范围为 3 ( 2, 2 故选：D 8刘徽（约公元 225 年295年） ，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之 一他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体 而无所失矣” ， 这可视为中国古代极限观念的佳作 割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n个等腰三角形（如图所示） ，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和 近似等于圆的面积，
14、运用割圆术的思想得到sin6的近似值为() A 30 B 60 C 90 D 180 【分析】取正 60 边形，设半径为 1，利用等腰三角形的面积计算公式、圆的面积计算公式 得出方程，即可得出sin6的近似值 【解答】解：取正 60 边形，设半径为 1，则 22 1 601sin61 2 ，解得sin6 30 故选：A 二多选题（共二多选题（共 4 小题）小题） 9已知集合(Mx，)|( )yyf x，若对于任意 1 (x， 1) yM，存在 2 (x， 2) yM，使得 1212 0 x xy y成立，则称集合M是“完美对点集” 给出下列四个集合： 1 ( , )|Mx yy x ； ( ,
15、 )|sin1Mx yyx； 2 ( , )|logMx yyx； ( , )|2 x Mx yye 其中是“完美对点集”的序号为() ABCD 【分析】利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合(Mx，)|( )yyf x是“完美对 点集” ，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总 与函数图象相交即可 【解答】解：对于， 1 y x 是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90，所以 在同一支上，任意 1 (x， 1) yM，不存在 2 (x， 2) yM，满足“完美对点集”的定义；在 另一支上对任意 1 (x， 1) yM，不存在 2 (x， 2)
16、yM，使得 1212 0 x xy y成立，所以不满 足“完美对点集”的定义，不是“完美对点集” 对于，( , )|sin1Mx yyx，对于任意 1 (x， 1) yM，存在 2 (x， 2) yM，使得 1212 0 x xy y成立，例如(0,1)、 3 ( 2 ，0)，满足“完美对点集”的定义，所以M是“完美 对点集” ； 对于， 2 ( , )|logMx yyx，取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连 线互相垂直，所以集合M不是“完美对点集” 对于，( , )|2 x Mx yye，如下图红线的直角始终存在，对于任意 1 (x， 1) yM，存 在 2 (x， 2
17、) yM，使得 1212 0 x xy y成立，例如取(0, 1)M，则(2,0)N ln，满足“完美对 点集”的定义，所以是“完美对点集” ；正确 故答案为： 故选：BD 10已知a，b为正实数，且142abab，则() Aab的最大值为188 2B2ab的最小值为8 24 Cab的最小值为 4D 1 12 ab ab 的最大值为 3 2 【 分 析 】 由 不 等 式2142 22 2()abababab可 分 析A选 项 ， 由 不 等 式 2 (2) 2282(2) 4 ab abab 可分析B选项，由已知得出(1)(2)16ab，通过恒等变形 以及基本不等式可分析C，D 【 解 答
18、】 解 ： 对 于A选 项 ，2142 22 2()abababab， 即 (24)(24) 0abab， 又a，b为正实数，所以42ab，即188 2ab，当且仅当2ab时，不等式可取等 号，故A正确； 对于B选项， 2 (2) 2282(2) 4 ab abab ，即 2 (24)128ab， 又a，b为正实数，所以28 24ab，当且仅当2ab时，不等式可取等号，故B正确； 对于C选项，142abab，(1)(2)16ab， (1)(2)3 2 (1)(2)35ababab， 当且仅当12ab ，即3a ，2b 时，不等式可取等号，故C错误； 对于D选项，(1)(2)16ab， 1111
19、1 2 12122abab ， 即 1113 2() 12122 ab abab ， 当且仅当12ab ，即3a ，2b 时，不等式可取等号，故D正确； 故选：ABD 11已知定义在R上的函数( )f x满足()( )0fxf x，且当0 x时， 2 ( )2f xxx，则可 作为方程( )(1)f xfx实根的有() A 13 2 B 1 2 C 13 2 D 33 2 【分析】 由已知求得函数解析式， 得到(1)fx， 进一步写出分段函数( )( )(1)g xf xfx， 求解方程( )0g x 得答案 【解答】解：()( )0fxf x，( )f x为定义在R上的奇函数， 当0 x时，
20、 2 ( )2f xxx，设0 x ，则0 x ， 得 2 ()2( )fxxxf x ，即 2 ( )2f xxx 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xx x f x xx x ，则 2 2 1,1 (1) 2 ,1 xx fx xx x ， 令 2 2 263,1 ( )( )(1)21,01 221,0 xxx g xf xfxxx xxx ， 当( )0g x 时，解得 33 2 x 或 1 2 x 或 13 2 x 故选：ABD 12已知函数( )2sin()(0f xx ，|)的部分图象如图所示，则() A2 B 3 C若 12 3 xx ，则 12 ()()f xf x D若
21、12 3 xx ，则 12 ()()0f xf x 【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的 图象和性质，得出结论 【解答】解：根据函数( )2sin()(0f xx ，|)的部分图象， 125 21212 ， 2，( )2sin(2)f xx，故A正确 5 () 1212 26 x 为其图象的一条对称轴，故有2 62 k，Zk， 6 ， 故B错误 6 x 为其图象的一条对称轴，故若 12 3 xx ，则有 12 ()()f xf x，故C正确，D错误， 故选：AC 三填空题（共三填空题（共 4 小题）小题） 13已知 1tan 23 1tan ，则tan(
22、) 4 23 【分析】利用两角和的正切公式即可得解 【解答】解：因为 1tan 23 1tan ， 所以 1tan1 tan()23 41tan23 故答案为：23 14已知 22 loglog16sincos 1212 ab ，则ab的最小值为8 【分析】由已知结合对数的运算性质及二倍角公式进行化简可求ab，然后结合基本不等式 即可求解 【解答】解：因为 22 loglog16sincos8sin4 12126 ab ， 所以 2 log4ab ， 故16ab ， 则28abab， 当且仅当4ab时取等号，ab的最小值 8 故答案为：8 15已知关于x的方程 2 12 221 xax xax
23、 在区间 1 2 ，3上有两个不相等的实数根，则 实数a的取值范围为 5 (2, 2 【分析】观察方程的结构特征，将它进行变形为 2 12 2(1)2 xax xax ，然后构造函数 ( )2tf tt，确定函数的单调性，从而将问题转化为当 1 ,3 2 x时， 2 1xax 有两个不相 等的实数根，利用根的分布列出不等式组，求解即可得到答案 【解答】解：因为方程 2 12 221 xax xax ， 所以变形为 2 12 2(1)2 xax xax ， 令( )2tf tt， 则有 2 (1)()f xf ax， 因为( )2tf tt在R上单调递增， 所以 2 (1)()f xf ax即为
24、 2 1xax ， 故当 1 ,3 2 x时， 2 1xax 有两个不相等的实数根， 在 2 10 xax 中，则有 1 3 22 1 0 1 ( ) 0 2 (3) 0 a f f ，即 2 16 40 11 1 0 42 931 0 a a a a ， 解得 5 2 2 a ， 所以实数a的取值范围为 5 (2, 2 故答案为： 5 (2, 2 16已知函数 2 |,0, ( ) 43,0, lnx x f x xxx 若函数 2 ( ) ( )4 ( )1g xf xf xm恰有 8 个零点，则 m的范围为23m 【分析】利用分段函数的解析式，先作出函数( )f x的图象，然后利用换元法
25、将函数 2 ( ) ( )4 ( )1g xf xf xm恰有 8 个零点转化为方程 2 410ttm 在(0t，3必有两 个不等的实数根，再结合图象分析即可得到答案 【解答】解：画出函数( )yf x的图象如图所示， 设( )f xt，由 2 ( ) ( )4 ( )10g xf xf xm ，得 2 410ttm ， 因为( )g x有 8 个零点， 所以方程( )f xt有 4 个不同的实根， 结合( )f x的图象可得在(0t，3内有 4 个不同的实根， 所以方程 2 410ttm 必有两个不等的实数根， 即 2 14mtt 在(0t，3内有 2 个不同的实根， 结合图象可知， 则有3
26、14m ，解得23m， 所以m的范围为23m 故答案为：23m 四解答题（共四解答题（共 6 小题）小题） 17已知函数 3 ( )sin (cos3sin ) 2 f xxxx （1）求() 3 f 的值及函数( )f x的单调增区间； （2）若12x ， 2 ，不等式( )2mf xm恒成立，求实数m的取值集合 【分析】 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，代入计算可求() 3 f 的值，结 合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间； （2）求出( )f x在12 ， 2 上的值域，根据题意列出不等式组即可解出m的范围 【解答】解：（1） 2 3311cos23 ( )sin
27、(cos3sin )sin cos3sinsin23sin(2) 222223 x f xxxxxxxxx ， 3 ()sin(2)sin 33332 f ， 令222 232 x k k，解得 5 1212 x k k，Zk ( )f x的单调递增区间是 12 k， 5 12 k，Zk （2）12x ， 2 ，可得2 36 x ， 2 3 ， 当2 32 x 时，( )f x取得最大值 1，当2 36 x 时，( )f x取得最小值 1 2 ( )2mf xm恒成立， 1 2 21 m m ，解得 1 1 2 m 实数m的取值范围是 1 ( 2 ，1) 18已知函数( )1( 21 x a
28、f xa 为常数）是奇函数 （1）求a的值； （2）函数 2 ( )( )logg xf xk，若函数( )g x有零点，求参数k的取值范围 【分析】 （1）根据题意，求出函数的定义域，由奇函数的定义域可得()( )0fxf x，即 110 2121 xx aa ，变形分析可得答案， （2）若函数( )g x有零点，则直线 2 logyk与曲线( )yf x有交点，分析( )f x的值域，即 可得 2 log(k ，1)(1，)，解可得k的取值范围，即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，函数( )1 21 x a f x ，则有210 x ，解可得0 x ， 即函数( )f x的定义域为(
29、，0)(0，)， 根据奇函数的定义，对于(x ，0)(0，)，则有()( )0fxf x， 即110 2121 xx aa ，化简得：20a即2a ； （2）若函数( )g x有零点，则直线 2 logyk与曲线( )yf x有交点， 又由21( 1,) x ， 那么 2 (, 2)(0,) 21 x ， 则( )f x的值域为(，1)(1，)； 故由 2 log(k ，1)(1，)， 解得： 1 (0, )(2,) 2 k ， 即k的取值范围为：(0， 1) (2 2 ，) 19某公园欲将如图所示的一块矩形空地MNDC进行重新规划，拟在边长为10m的正方形 EFGH内种植红色郁金香，正方形A
30、BCD的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁 金香现要将以AB为一边长的矩形ABMN改造为绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色 郁金香的面积，设GFB，ANym （1）求y与之间的函数关系式； （2）求AN的最大值 【分析】 （1）通过求解三角形推出10cosFB，10sinFA，10(sincos )AB，结 合面积关系，推出AN的不等式即可 （2）令sincost，则2sin() 4 t ，化简函数的解析式，结合函数的单调性求解 函数最值即可 【解答】解： （1）在Rt GFB中，GFB，则10cosFB， 同理在Rt FEA中，FEA，则10sinFA， 10(sincos )AB，
31、10sinGBFA， 绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积， 则4 GFB AB ANS， 420sincos sincos GFB S AN AB ， 20sincos sincos y ，(0,) 2 （2）令sincost，则2sin() 4 t ， (0,) 2 ，(1,2t， 2 10(1)1 10() t yt tt ， 易知 1 ( )f xx x 在(1, 2上单调递增， 1 10( 2)5 2 2 max y， 答：AN的最大值为5 2m 20已知函数 2 ( ) 1 x f x x （1）证明：函数( )f x在1，)上单调递减； （2）解关于x的不等式 22 (12)(24
32、)0fxfxx； （3）求函数( )f x的值域 【分析】 （1）解法一：直接利用导数，证明函数( )f x在1，)上单调递减； 解法二：利用函数单调性的定义，证明函数( )f x在1，)上单调递减； （2）首先判断( )f x为奇函数，再利用函数的奇偶性、单调性，得到 22 1224xxx， 由此求得x的范围 （3）根据奇函数的性质，分类讨论，再利用基本不等式，求出( )f x的值域 【解答】解： （1）解法一：函数 2 ( ) 1 x f x x ， 2 22 1 ( ) (1) x fx x ， 故在1，)上， 2 22 1 ( )0 (1) x fx x ，当且仅当1x 时，( )0f
33、x， 故函数( )f x在1，)上单调递减 解法二：设 21 1xx， 则 22 1212211212 12 222222 121212 (1)(1)() (1) ( )() 11(1) (1)(1) (1) xxxxxxxxx x f xf x xxxxxx ， 由题设可得， 12 0 xx， 12 10 x x， 12 ()()0f xf x，即 12 ()()f xf x， 故函数( )f x在1，)上单调递减 （2）由于( )f x满足()( )fxf x ，故( )f x为奇函数， 不等式 22 (12)(24)0fxfxx，即不等式 222 (12)(24)(24)fxfxxf x
34、x 2 121x， 2 241xx，函数( )f x在1，)上单调递减， 22 1224xxx ，求得31x ，故原不等式的解集为( 3,1) （3）当0 x 时，( )0f x ； 当0 x 时， 11 ( ) 1 2 f x x x ，即( )(0f x ， 1 2 根据( )f x为奇函数，可得当0 x 时， 1 ( ) 2 f x ，0) 综上可得，( )f x的值域为 1 2 ， 1 2 21已知奇函数 4 ( )1(0,1) 2 x f xaa aa （1）求a的值，并求函数( )f x的值域； （2）若函数(1)2( ) x ymmf x在区间(x ， 2 log 3上有两个不同
35、的零点，求m的取值 范围 【分析】 （1）由奇函数的性质知(0)0f，求得a的值；利用分离常数法，将( )f x变形为 2 ( )1 21 x f x ，即可求得值域； （2）令2(0 x t ，3，原问题可转化为 2 ( )(1)g tmttm 在(0t，3上有两个不同 的零点，再根据二次函数根的分布，即可得解 【解答】解： （1）( )f x为奇函数，且定义域为R， 4 (0)10 2 1 f a ，解得2a ， 1 42 ( )11 2221 xx f x ， 20 x ， 2 02 21 x ， 2 111 21 x ， 故函数( )f x的值域为( 1,1) （2） 2 (1)2(
36、)(1)2(1) 21 xx x ymmf xmm ， 令2xt ，则 2 2(1) (1)(1) 11 mttm ymtm tt ， (x ， 2 log 3，(0t ，3， 原问题等价于 2 ( )(1)g tmttm 在(0t，3上有两个不同的零点， 14 (1)0m m ，解得 1212 22 m ， 当 12 0 2 m 时，有 (0)0 (3) 0 1 03 2(1) g g m ，无解； 当 12 0 2 m 时，有 (0)0 (3) 0 1 03 2(1) g g m ，解得 126 25 m ， 综上所述，m的取值范围为 12 ( 2 ， 6 5 22已知命题p：关于x的方程
37、 22 (32)230 xmxmm有两个大于 1 的实数根 （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）命题:33qama，是否存在实数a使得p是q的必要不充分条件，若存在，求 出实数a的取值范围；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由 22 (32)230 xmxmm解出两根，列出不等式组即可解出； （2）根据充分条件，必要条件与集合包含关系等价法即可求出 【解答】解： （1） 22 (32)230 xmxmm， (23)(1)0 xmxm，解得23xm或1xm依题意可得， 231xm且11xm ，解得2m ，故实数m的取值范围为(2) （2）假设存在实数a使得p是q的必要不充分条件，所以|33(2mama)， 即0a或 0 32 a a ，解得1a，故实数a的取值范围为(，1
