（2021新教材）人教A版高一数学（初升高）第11讲 函数的单调性与最值衔接讲义（原卷+解析）.zip

第第 1111 讲讲 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 1 1、单调性概念及性质单调性概念及性质 1单调性的概念（一般地，设函数的定义域为，区间.） f x I DI 名称定义几何意义图形表示 增函数 如果，当时，都有 12 ,x xD 12 xx ，那么就称函数 12 f xf x 在区间上单调递增. f x D 的图象在区间 f x 上呈上升趋势 D 减函数 如果，当时，都有 12 ,x xD 12 xx ，那么就称函数 12 f xf x 在区间上单调递减. f x D 的图象在区间 f x 上呈下降趋势 D 2.单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间 yf x D yf x 具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间 D yf x 3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤： 设元设是给定区间内的任意两个数，且; 12 ,x x 12 xx 作差计算化简至最简（方便判断因式正负） ； 12 f xf x 判号判断的正负，若符号不确定，则进行分类讨论； 12 f xf x 定论根据符号下结论. 1.1.判断函数单调性的方法：判断函数单调性的方法： （1）定义法； （2）图像法； （3）性质法：与具有相同的单调性； f x f xC 与，当时单调性相同；当时，单调性相反； f x af x 0a 0a 当，都是增(减)函数时，是增(减)函数； f x g x f xg x 当恒不为零时，与具有相反的单调性； f x f x 1 f x 当时，与具有相同的单调性 0f x f x f x 例 1.若函数的定义域为且满足，则函数 yf x0, 123fff 在上为( ) yf x0, A增函数 B减函数 C先增后减 D不能确定 例 2.函数在上的图像如图所示，请写出函数的单调区间. yf x5,5 例 3.利用函数单调性的定义，判断并证明下列函数的单调性. （1） （2） 1 1,0f xx x 1 ,1f xxx x 例 4.研究函数的性质. ,0 b f xaxa b x 例 5.判断下列函数的单调性，并求其单调区间. （1） （2） （3） 21 1 x f x x 1 f xx x 2 23f xxx 2 2、函数最值函数最值 1. 函数最大值的概念：函数最大值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足： yf x IM ，都有；，使得.那么称是的最大值. xI f xM 0 xI 0 f xM M f x 2. 函数最小值的概念：函数最小值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足： yf x IM ，都有；，使得.那么称是的最小值. xI f xM 0 xI 0 f xM M f x 例 6.如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值. ,4,7yf xx 例 7.求下列函数的值域. （1） （2） 1 2,1,f xxx x 12 ,1,3f xxx x 例 8. (1) 若函数的单调减区间是，求实数的取值范围； 2 212f xxax,4 a (2) 若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 2 212f xxax,4 a 例 9.已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围 2 f x xa 2, a 例 10.已知函数若对任意，恒成立，试求的取 2 2xxa f x x 1,x 0f x a 值范围 例 11.若函数的定义域为，且在上是减函数，则下列不等式成立的是() f x R 0, A. B. 2 3 1 4 ff aa 2 3 1 4 ff aa C. D. 2 3 1 4 ff aa 2 3 1 4 ff aa 例 12.已知函数是定义在区间上的减函数，解不等 f x0, 式 141f afa 例 13.设函数，其中为常数. 2 5 ,2 5,2 xaxa x f x axx a （1）对任意，当时，求实数的取值范围； 12 ,x xR 12 xx 12 12 0 f xf x xx a （2）在（1）的条件下，求在区间上的最小值. 2 43g xxax 1,3 h a 例 14.定义在上的函数满足，且当时， 0, f x ,0f mnf mf nm n 1x . 0f x （1）求的值； 1f （2） 求证：； m ff mf n n （3） 求证：在上是增函数； f x0, （4） 若，解不等式； 21f222f xfx （5）比较与的大小. 2 mn f 2 f mf n 跟踪训练跟踪训练 1.下列函数在区间上是增函数的是（ ） 0,1 A. B. C. D. yx 1 y x x y x 2 1yx 2.已知在区间是增函数，则实数的取值范围是（ ） 2 225yxax4, a A. B. C. D. 2a 2a 6a 6a 3.函数的图象的对称轴为直线，则 （ ） 2 f xxbxc 1x A. B. 112fff 121fff C. D. 211fff 112fff 4. (1) 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_. 1 1 ax f x x , 1 a (2) 若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是_. f xx , a a 5.求函数在区间上的值域是_. 4 f xx x 4,8 6. (1) 函数在区间的最大值为 4，则_. 1yax 1,3 a (2) 若函数在上递增，在上递减，则 _ . 2 45f xxmx2, 2 1f (3) 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是_. 2 23f xxax1,2 a 7.函数的单调递增区间是_，单调递减区间是 22 6969f xxxxx _ 8.已知是定义在上的减函数，则应满足 （ ） 314 ,1 1,1 axa x f x xx Ra A. B. C. D. 1 3 a 11 73 a 1 7 a 1 3 a 9.若函数与在上都是减函数，则的取值范围是（ 2 2f xxax 1 a g x x 1,2 a ） A. B. C. D. 1,00,1 1,00,10,10,1 10. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） 2 2 4 ,0 4,0 xx x f x xxx 2 2faf a a A. B. C. D. , 12, 1,22,1 , 21, 11. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 2 4 ,5f xxx xm 5,4 m 12. 已知函数. 2 2 ,1, xxa f xx x （1）当时，求的最小值； 4a f x （2）当时，求的最小值； 1 2 a f x （3）若为正常数，求的最小值. a f x 13. 利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数 f xx0, 14. 已知函数对任意，总有，且当时， f x, x yR f xfyf xy 0 x ，. 0f x 2 1 3 f (1) 求证：是上的减函数； f x R (2) 求是上的最大值和最小值. f x3,3 15. 设，当时，恒成立，求的取值范围 2 22f xxax1,x f xa a 16. 已知函数是定义在上的增函数，且，解不 f x0, ,21 x ff xfyf y 等式. 1 2 3 f xf x 第第 1111 讲讲 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 1 1、单调性概念及性质单调性概念及性质 1单调性的概念（一般地，设函数的定义域为，区间.） f x I DI 名称定义几何意义图形表示 增函数 如果，当时，都有 12 ,x xD 12 xx ，那么就称函数 12 f xf x 在区间上单调递增. f x D 的图象在区间 f x 上呈上升趋势 D 减函数 如果，当时，都有 12 ,x xD 12 xx ，那么就称函数 12 f xf x 在区间上单调递减. f x D 的图象在区间 f x 上呈下降趋势 D 2.单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间 yf x D yf x 具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间 D yf x 3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤： 设元设是给定区间内的任意两个数，且; 12 ,x x 12 xx 作差计算化简至最简（方便判断因式正负） ； 12 f xf x 判号判断的正负，若符号不确定，则进行分类讨论； 12 f xf x 定论根据符号下结论. 1.1.判断函数单调性的方法：判断函数单调性的方法： （1）定义法； （2）图像法； （3）性质法：与具有相同的单调性； f x f xC 与，当时单调性相同；当时，单调性相反； f x af x 0a 0a 当，都是增(减)函数时，是增(减)函数； f x g x f xg x 当恒不为零时，与具有相反的单调性； f x f x 1 f x 当时，与具有相同的单调性 0f x f x f x 例 1.若函数的定义域为且满足，则函数 yf x0, 123fff 在上为( ) yf x0, A增函数 B减函数 C先增后减 D不能确定 【答案】D 例 2.函数在上的图像如图所示，请写出函数的单调区间. yf x5,5 【答案】单调增区间：；单调减区间： 2,1 , 3,5 5, 2 , 1,3 例 3.利用函数单调性的定义，判断并证明下列函数的单调性. （1） （2） 1 1,0f xx x 1 ,1f xxx x 【答案】 （1）单调递增；（2）单调递增. 【解析】 （1）任取且， 12 ,0 x x 12 xx 则， 12 12 122112 1111 11 xx f xf x xxxxx x 且， 12 ,0 x x 12 xx 1212 0,0 x xxx ，即， 12 0f xf x 12 f xf x 在上单调递增； 1 1f x x 0, （2）任取且， 12 ,1x x 12 xx 则， 1212 21 121212 121212 111xxx xxx f xf xxxxx xxx xx x 且， 12 ,1x x 12 xx 121212 0,1,10 xxx xx x ，即， 12 0f xf x 12 f xf x 在单调递增. 1 f xx x 1, 例 4.研究函数的性质. ,0 b f xaxa b x 【答案】在和上单调递增，在和上单调递减. , b a , b a ,0 b a 0, b a 【解析】的定义域为， ,0 b f xaxa b x 0 x x 先研究在上的单调性，任取且， f x0, 12 ,0 x x 12 xx 则， 211212 121212 121212 b xxxxax xbbb f xf xaxaxa xx xxx xx x 由于， 1212 0,0 x xxx 故当时，即， 12 , b x x a 12 0f xf x 12 f xf x 此时在上单调递增， f x , b a 同理可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， f x 0, b a , b a ,0 b a 综上所述，在和上单调递增， ,0 b f xaxa b x , b a , b a 在和上单调递减. ,0 b a 0, b a 例 5.判断下列函数的单调性，并求其单调区间. （1） （2） （3） 21 1 x f x x 1 f xx x 2 23f xxx 【答案】 （1）在上单调递减； ,1 , 1, （2）在上单调递增； ,0 , 0, （3）在上单调递增，在上单调递减. , 1 , 0,1 1,0 , 1, 【解析】 （1），定义域为， 211 2 11 x f x xx f x 1x x 所以在上单调递减； f x ,1 , 1, （2），增函数-减函数=增函数，定义域为， 1 f xx x f x 0 x x 所以在上单调递增； f x ,0 , 0, （3）由可知 2 2 2 2 2 2314,0 23 2314,0 xxxx f xxx xxxx 在上单调递增，在上单调递减. f x , 1 , 0,1 1,0 , 1, 2 2、函数最值函数最值 1. 函数最大值的概念：函数最大值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足： yf x IM ，都有；，使得.那么称是的最大值. xI f xM 0 xI 0 f xM M f x 2. 函数最小值的概念：函数最小值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足： yf x IM ，都有；，使得.那么称是的最小值. xI f xM 0 xI 0 f xM M f x 例 6.如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值. ,4,7yf xx 【答案】最大值 3，最小值. 2 例 7.求下列函数的值域. （1） （2） 1 2,1,f xxx x 12 ,1,3f xxx x 【答案】 （1）；（2） 1,2,8 【解析】 （1）单调递增，所以，所以的值 1 2,1,f xxx x min 11f xf f x 域为； 1, （2）单调递增，所以， 12 ,1,3f xxx x 12f xf ， max 38f xf 所以的值域为. f x2,8 例 8. (1) 若函数的单调减区间是，求实数的取值范围； 2 212f xxax,4 a (2) 若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 2 212f xxax,4 a 【答案】 （1）；（2）. 3,3 【解析】 （1）函数的对称轴为，开口向上， 2 212f xxax 1xa 所以在上单调递减，依题意，解得， f x,1a 14a3a 所以的取值范围为； a 3 （2）依题意，解得， 14a3a 所以的取值范围为. a ,3 例 9.已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围 2 f x xa 2, a 【答案】. ,2 例 10.已知函数若对任意，恒成立，试求的取 2 2xxa f x x 1,x 0f x a 值范围 【答案】 3, 【解析】在上恒成立， 2 2 0 xxa f x x 1,x 即在上恒成立， 2 2 211axxx 1,x 又在上单调递减，所以， 2 11g xx 1,x max 13g xg 3a 所以的取值范围为. a 3, 例 11.若函数的定义域为，且在上是减函数，则下列不等式成立的是() f x R 0, A. B. 2 3 1 4 ff aa 2 3 1 4 ff aa C. D. 2 3 1 4 ff aa 2 3 1 4 ff aa 【答案】B 【解析】， 2 22 311 10 442 aaaaa 2 3 1 4 aa 又在上是减函数，故选 B. f x0, 2 3 1 4 ff aa 例 12.已知函数是定义在区间上的减函数，解不等 f x0, 式 141f afa 【答案】 1 0 4 a 【解析】定义域为，且在上是减函数， f x0,0, ，解得. 10 410 141 a a aa 1 0 4 a 例 13.设函数，其中为常数. 2 5 ,2 5,2 xaxa x f x axx a （1）对任意，当时，求实数的取值范围； 12 ,x xR 12 xx 12 12 0 f xf x xx a （2）在（1）的条件下，求在区间上的最小值. 2 43g xxax 1,3 h a 【答案】 （1）；（2）. 1,4 2 3 34,1 2 3 1212 ,4 2 aa h a aa 【解析】 （1）依题意可知在上单调递增， f x R ，解得，所以的取值范围是； 2 2 2 0 22525 a a aaa 14aa 1,4 （2），对称轴为，由（1）得， 2 22 43234g xxaxxaa 2xa228a 当，即时，； 223a 3 1 2 a 2 234h agaa 当，即时， 328a 3 4 2 a 31212h aga 综上所述，. 2 3 34,1 2 3 1212 ,4 2 aa h a aa 例 14.定义在上的函数满足，且当时， 0, f x ,0f mnf mf nm n 1x . 0f x （1）求的值； 1f （2） 求证：； m ff mf n n （3） 求证：在上是增函数； f x0, （4） 若，解不等式； 21f222f xfx （5）比较与的大小. 2 mn f 2 f mf n 【答案】 （1）；（2） （3）见解析；（4）；（5） 10f 2 0 7 x . 22 f mf nmn f 【解析】 （1）令得，解得； 1mn 111fff 10f （2），； mm f mfnff n nn m ff mf n n （3）任取且，则， 12 ,0 x x 12 xx 2 1 1 x x 由（2）得，即， 2 21 1 0 x f xf xf x 21 f xf x 在上是增函数； f x0, （4）由得， 21f 4222fff 由得，即， 222f xfx 224f xfxf 2248f xfxffx 又在上是增函数，解得； f x0, 20 20 28 x x xx 2 0 7 x （5）， 22 f mf nf mn ， 2 11 222222 mnmnmnmn ffff 且， 22 0 22 mnmn mn ， 2 2 mn ff mn . 22 f mf nmn f 跟踪训练跟踪训练 1.下列函数在区间上是增函数的是（ ） 0,1 A. B. C. D. yx 1 y x x y x 2 1yx 【答案】A 2.已知在区间是增函数，则实数的取值范围是（ ） 2 225yxax4, a A. B. C. D. 2a 2a 6a 6a 【答案】B 【解析】的对称轴为， 2 225yxax 2xa 在区间是增函数， 2 225yxax4, ，解得，选 B. 24a 2a 3.函数的图象的对称轴为直线，则 （ ） 2 f xxbxc 1x A. B. 112fff 121fff C. D. 211fff 112fff 【答案】B 【解析】的对称轴为， 2 f xxbxc 1x 13ff 又在上单调递增，选 B. f x1, 1231ffff 4. (1) 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_. 1 1 ax f x x , 1 a (2) 若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是_. f xx , a a 【答案】 （1）；（2）. , 1 0, 【解析】 （1）在上是减函数， 1111 111 a xaaxa f xa xxx , 1 在上是增函数，解得，故答案为：； 1 1 a y x , 1 10a 1a , 1 （2）在上为减函数，故答案为：. f xx 0, 0a 0, 5.求函数在区间上的值域是_. 4 f xx x 4,8 【答案】 17 5, 2 【解析】在上单调递增，所以， 4 f xx x 2, min 45f xf ， max 17 8 2 f xf 所以在区间上的值域是. 4 f xx x 4,8 17 5, 2 6. (1) 函数在区间的最大值为 4，则_. 1yax 1,3 a (2) 若函数在上递增，在上递减，则 _ . 2 45f xxmx2, 2 1f (3) 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是_. 2 23f xxax1,2 a 【答案】 （1）1；（2）25；（3）. ,12, 【解析】 （1）当时，函数在区间上单调递增，最大值为，解得； 0a 1yax 1,3 314a 1a 当时，数在区间上单调递减，最大值为，解得，舍去， 0a 1yax 1,3 14a 30a 综上所述，； 1a （2）依题意得对称轴，解得， 2 45f xxmx 2 8 m x 16m ，； 2 4165f xxx 125f （3）易知在上单调递减，在上单调递增， 2 23f xxax,a, a 依题意得，所以的取值范围是. 12aa或a ,12, 7.函数的单调递增区间是_，单调递减区间是 22 6969f xxxxx _ 【答案】； 3, 3 【解析】， 22 2 ,3 6969336, 33 2 ,3 x x f xxxxxxxx x x 的单调递增区间为，单调递减区间为. f x3, 3 8.已知是定义在上的减函数，则应满足 （ ） 314 ,1 1,1 axa x f x xx Ra A. B. C. D. 1 3 a 11 73 a 1 7 a 1 3 a 【答案】B 【解析】依题意得，解得，选 B. 310 3141 1 a aa 11 73 a 9.若函数与在上都是减函数，则的取值范围是（ 2 2f xxax 1 a g x x 1,2 a ） A. B. C. D. 1,00,1 1,00,10,10,1 【答案】D 【解析】在上单调递减，则； 2 22 2f xxaxxaa 1,2 1a 在上是减函数，则， 1 a g x x 1,2 0a 综上，的取值范围是，选 D. a 0,1 10. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） 2 2 4 ,0 4,0 xx x f x xxx 2 2faf a a A. B. C. D. , 12, 1,22,1 , 21, 【答案】C 【解析】 由函数图象（实线部分）可知在上单调递增， f x R 若，若，解得，故选 C. 2 2faf a 2 2aa21a 11. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 2 4 ,5f xxx xm 5,4 m 【答案】 1,2 【解析】，易知在上单调递增， 2 2 424f xxxx f x,2 在上单调递减， 2, 由解得或 5， 2 45f xxx 1x 的值域为， 2 4 ,5f xxx xm 5,4 12m 所以的取值范围是. m 1,2 12. 已知函数. 2 2 ,1, xxa f xx x （1）当时，求的最小值； 4a f x （2）当时，求的最小值； 1 2 a f x （3）若为正常数，求的最小值. a f x 【答案】 （1）6；（2）；（3）. 7 2 min 3,01 22,1 aa f x aa 【解析】 （1）当时， 4a 2 244 2 xx f xx xx 易知在上单调递减，在上单调递增， f x1,22, ； min 26f xf （2）当时，易知在上为增函数， 1 2 a 1 2 2 f xx x f x1, ； min 7 1 2 f xf （3）在上单调递减，在上单调递增， 2 2 2 xxaa f xx xx 0, a ,a 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 1a 1a f x 1, a ,a 此时； min 22f xfaa 当，即时，在上单调递增， 1a 01a f x1, 此时， min 13f xfa 综上所述，. min 3,01 22,1 aa f x aa 13. 利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数 f xx0, 【证明】任取且， 12 ,0,x x 12 xx 则，即， 21 2121 21 0 xx f xf xxx xx 21 f xf x 在区间上是增函数 f xx0, 14. 已知函数对任意，总有，且当时， f x, x yR f xfyf xy 0 x ，. 0f x 2 1 3 f (1) 求证：是上的减函数； f x R (2) 求是上的最大值和最小值. f x3,3 【答案】 （1）见解析；（2）2 和. 2 【解析】 （1）任取且， 12 ,x xR 12 xx 则， 2121 f xf xf xx 时，且， 0 x 0f x 21 0 xx 21 0f xx 则，即， 21 0f xf x 12 f xf x 所以是上的减函数； f x R （2）由（1）知，且， minmax 3 ,3f xff xf 312312ffff 中令得，令得， f xfyf xy0 xy 00fyx 00f xfxf 即， fxf x 332ff . minmax 2,2f xf x 15. 设，当时，恒成立，求的取值范围 2 22f xxax1,x f xa a 【答案】 3,1 【解析】，对称轴为， 2 22 222f xxaxxaa xa 要使时，恒成立，只需， 1,x f xa minf xa 当时，解得，又，； 1a 2 min 2f xf aaa 21a 1a 11a 当时，解得，又， 1a min 123f xfaa 3a 1a 31a 综上所述，的取值范围为. a 3,1 16. 已知函数是定义在上的增函数，且，解不 f x0, ,21 x ff xfyf y 等式. 1 2 3 f xf x 【答案】3 4x 【解析】由得， ,21 x ff xfyf y 4 242 2 ffff ， 4222ff 可化为， 1 2 3 f xf x 34f x xf 又是定义在上的增函数，解得. f x0, 0 1 0 3 34 x x x x 34x