（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业03：数列求通项公式B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 03数列求通项公式 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知数列满足且，的通项公式为（ ）. + 1= + 2( )1= 1 A.B. = 2+ 5 + 2 2 = 2+ 5 2 C.D. = 2+ 3 2 = 2+ 32 2 2.已知数列的前 项和为，且，则的通项公式（ ） + 1= 41 21 1= 1 = A.B.C.D. + 1212 + 1 3.已知数列an满足 a1=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，且 an+1an(nN*)，则数列an的通项公式 an=（ ） A.2nB.n2C.n+2D.3n -2 4.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 4(n1)(Sn1)(n2)2an，则数列an的通项公式 an等于() A.(n1)3B.(2n1)2 C.8n2D.(2n1)21 二、多选题(共 10 分) 5.已知数列的前 项和为，且（其中 为常数） ，则下列说法正确的是（ ） = 2() A.数列一定是等比数列B.数列可能是等差数列 C.数列可能是等比数列D.数列可能是等差数列 6.已知数列的前 n 项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ） ( 0) + 41= 0( 2),1= 1 4 A.数列的前 n 项和为B.数列的通项公式为 = 1 4 = 1 4( + 1) C.数列为递增数列D.数列为递增数列 1 三、填空题(共 10 分) 7.已知等比数列的前 项和为，则的值为_ = 3( )2 8.已知数列中，且，则_. 1= 4 3 2= 13 9 3+ 2= 41( 3)= 四、解答题(共 36 分) 9.已知数列、满足， = + 2= 2 + 1+ （1）若数列是等比数列，试判断数列是否为等比数列，并说明理由； （2）若恰好是一个等差数列的前 项和，求证：数列是等差数列； （3）若数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，求证：数列是等差数列 10.已知等比数列满足，且是，的等差中项；数列满足，数列的前 项 3+ 4+ 5= 284+ 2351= 1 ( + 1) 和为. 2+ 2 （1）求数列公比 的值； （2）若数列的公比，求数列的通项公式. 1 11.已知正项数列的前 项和为，且满足， + 13 + 1 = 2( ) 24+ 4= 3 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的通项公式 1= 11= 31( 2) 暑假作业 03数列求通项公式 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知数列满足且，的通项公式为（ ）. + 1= + 2( )1= 1 A.B. = 2+ 5 + 2 2 = 2+ 5 2 C.D. = 2+ 3 2 = 2+ 32 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由，得到，再利用“叠加法”，结合等差数列的前 n 项和公式，即可 + 1= + 21= + 1,12= ,21= 3 求解. 【详解】 由题意，数列满足， + 1= + 2 可得， 1= + 1,12= ,21= 3 这个式子相加可得. 1 = 1+ 3 + 4 + + ( + 1) = 1 + 3 + 4 + + ( + 1) = 2+ 32 2 当，也符合该式，故. = 1 1= 1 = 2+ 32 2 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等差数列的前 n 项和公式的应用，其中解答中根据数列的递推公式，合理利用叠加 法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2.已知数列的前 项和为，且，则的通项公式（ ） + 1= 41 21 1= 1 = A.B.C.D. + 1212 + 1 【答案】C 【解析】 【分析】 利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式. = 1( 2) 21 【详解】 由，得，可得（）. + 1= 41 21 (21) + 1= 41(23)= 411 2 相减得，则（） ，又 (2 + 1)= (21) + 1 21 = + 1 2 + 1 2 由，得，所以，所以为常 + 1= 41 21 1= 12= 3 1 2 11 = 2 2 1 + 1 21 数列，所以，故. 21 = 1 2 11 = 1 = 21 故选：C 【点睛】 本小题考查数列的通项与前 项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识. 3.已知数列an满足 a1=1，(an+an+1-1)2=4anan+1，且 an+1an(nN*)，则数列an的通项公式 an=（ ） A.2nB.n2C.n+2D.3n -2 【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，故为首项是 ，公差为 的等差数列，得到答案. + 1= 1 11 【详解】 ，故，即， (+ + 11)2= 4 + 1 + + 11 = 2 + 1 ( + 1)2= 1 即，故为首项是 ，公差为 的等差数列. + 1= 11= 1 11 故，. = = 2 故选： . 【点睛】 本题考查了数列的通项公式，化简得到是解题的关键. + 1= 1 4.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 4(n1)(Sn1)(n2)2an，则数列an的通项公式 an等于() A.(n1)3B.(2n1)2 C.8n2D.(2n1)21 【答案】A 【解析】 【分析】 已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验 = 1 1= 11 2 = 1 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式. 1 【详解】 当n1 时，4(11)(a11)(12)2a1，解得a18，当n2 时，由 4(Sn1)，得 4(Sn11)，两式相减， ( + 2)2 + 1 ( + 1)21 得 4an， ( + 2)2 + 1 ( + 1)21 即，所以an , 1 = ( + 1)3 3 1 1 2 2 3 3 2 2 11 an(n1)3， ( + 1)3 3 3 (1)3 33 23 8 经验证 n1 时也符合，所以 an(n1)3 点睛：本题主要考查数列通项与前 项和之间的关系以及累乘法求通项，属于中档题. 二、多选题(共 10 分) 5.已知数列的前 项和为，且（其中 为常数） ，则下列说法正确的是（ ） = 2() A.数列一定是等比数列B.数列可能是等差数列 C.数列可能是等比数列D.数列可能是等差数列 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据，分析出，对常数 分类讨论进行辨析. = 2()1= 2(1), , 2= 21 【详解】 ，两式相减： = 2()1= 2(1), , 2 ， = 221= 21 2 若，令，则，此时是等差数列，不是等比数列， = 0 = 1,1= 2(10)1= 0= 0 若，令，则，此时不是等差数列， 0 = 1,1= 2(1)1= 2= 21 2 所以数列不一定是等比数列，可能是等差数列，所以 A 错 B 正确； 又，得， = 2() = 2(1), 2, = 21+ 2 要使为等比数列，必有若，已求得此时令， = 0 = 1,1= 2(10)1= 0 则，此时是一个所有项为 0 的常数列，所以不可能为等比数列，所以 C 错误 D 正确. = 0,= 0 故选：BD 【点睛】 此题考查根据数列的前 项和和通项的关系辨析数列特点，采用通式通法，对参数进行分类讨论. 6.已知数列的前 n 项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ） ( 0) + 41= 0( 2),1= 1 4 A.数列的前 n 项和为B.数列的通项公式为 = 1 4 = 1 4( + 1) C.数列为递增数列D.数列为递增数列 1 【答案】AD 【解析】 【分析】 先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】 + 41= 0( 2), 1+ 41= 0 0 1 1 1 = 4 因此数列为以为首项， 为公差的等差数列，也是递增数列，即 D 正确； 1 1 1 = 4 4 所以，即 A 正确； 1 = 4 + 4(1) = 4 = 1 4 当时 2 = 1= 1 4 1 4(1) = 1 4(1) 所以，即 B，C 不正确； = 1 4, = 1 1 4(1), 2 故选：AD 【点睛】 本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 三、填空题(共 10 分) 7.已知等比数列的前 项和为，则的值为_ = 3( )2 【答案】6 【解析】 【分析】 先根据和项求通项，根据等比性质解得 ，代入通项公式得结果. 【详解】 . = 3 1= 1= 3,= 1= 331= 2 31( 2) 因为为等比数列，所以. 22= 13, (2 3)2= (3) (2 32), = 1 . 2= 2= 2 3 = 6 故答案为：6 【点睛】 本题考查利用和项求通项以及等比数列基本量计算，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知数列中，且，则_. 1= 4 3 2= 13 9 3+ 2= 41( 3)= 【答案】 33 2 【解析】 【分析】 由题意可得，进而求得，然后利用累加法可求出数列的通项公式. 1= 1 3(12) 1=(1 3) 【详解】 ，则， 3+ 2= 41( 3) 1= 1 3(12) 设，则，故是等比数列，且，公比为 ，故，故 1= 1 1= 1 32 1= 21= 1 9 1 3 1= 1 9 (1 3) 2= ( 1 3) ， 1=(1 3) 由累加法可得 . = 1+(21)+(32)+ +(1) = 4 3 +(1 3) 2+ ( 1 3) 3+ + ( 1 3) =4 3 + 1 9(1 1 31) 11 3 = 33 2 故答案为：. 33 2 【点睛】 本题考查了数列递推式，考查利用累加法求数列的通项，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题(共 36 分) 9.已知数列、满足， = + 2= 2 + 1+ （1）若数列是等比数列，试判断数列是否为等比数列，并说明理由； （2）若恰好是一个等差数列的前 项和，求证：数列是等差数列； （3）若数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，求证：数列是等差数列 【答案】 （1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】 （1）设等比数列的公比为 ，分和两种情况讨论，结合等比数列的定义判断即可； = 1 2 1 2 （2）设是公差为 的等差数列的前 项和，推导出，由推导出，进而可证 + 1= + 1 + 2= + + 1= 2 得结论成立； （3）利用数列是等差数列结合推导出，再结合数列是等比数列，推导出， = 2 + 1+ 2 + 2= + 1+ + 1= 由数列是等差数列得出，推导出，并将代入化简得 + 2+ = 2 + 12 + 3+ = 3 + 2 + 3= + 2+ + 1 ，从而可证明出数列是等差数列. + 2+ = 2 + 1 【详解】 （1）设等比数列的公比为 ，则， = 2 + 1+ = 2 + =(2 + 1) 当时，数列不是等比数列； = 1 2 = 0 当时，因为，所以，所以数列是等比数列； 1 2 0 + 1 = (2 + 1) + 1 (2 + 1) = （2）因为恰好是一个等差数列的前 项和，设这个等差数列为，公差为 ， 因为，所以， = 1+ 2+ + + 1= 1+ 2+ + + + 1 两式相减得， + 1= + 1 因为， + 2= + 所以， + 1=( + 3 + 1)( + 2)=( + 3 + 2)( + 1)= + 3 + 1= 2 所以数列是等差数列； （3）因为数列是等差数列，所以， + 3 + 2= + 1 又因为，所以， = 2 + 1+ 2 + 4+ + 3(2 + 3+ + 2)= 2 + 2+ + 1(2 + 1+ ) 即 ，则， 2( + 4 + 2)=( + 3 + 1)+( + 2)2 + 2= + 1+ 又因为数列是等比数列，所以，则， 2 + 1= + 2 2 + 1= + 1+ 2 即， ( + 1)(2 + 1+ )= 0 因为数列各项均为正数，所以， + 1= 则，即， + 3 + 1= + 2 + 3= + 2+ + 1 又因为数列是等差数列，所以， + 2+ = 2 + 1 即，化简得， (2 + 3+ + 2)+(2 + 1+ )= 2(2 + 2+ + 1) 2 + 3+ = 3 + 2 将代入得，化简得， + 3= + 2+ + 12( + 2+ + 1) + = 3 + 2 + 2+ = 2 + 1 所以数列是等差数列 【点睛】 本题考查等差数列和等比数列的证明，考查了等差、等比中项法以及等差、等比数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题. 10.已知等比数列满足，且是，的等差中项；数列满足，数列的前 项 3+ 4+ 5= 284+ 2351= 1 ( + 1) 和为. 2+ 2 （1）求数列公比 的值； （2）若数列的公比，求数列的通项公式. 1 【答案】 （1） 或 2；（2） 1 2 = 11(2 + 3)(1 2) 2 【解析】 【分析】 （1）利用等差中项可得，从而求出，再利用等比数列的通项公式即可求解. 24+ 4 = 3+ 5= 2844= 8 （2）由（1）利用等比数列的通项公式可得，设，利用与的关系可得 = 21=( + 1) ，从而求出，然后再采用迭代法写出，最后利用错位相减法 = 2+ 2(1)22(1)= 2 + 1 + 1=(2 + 1)(1 2) 1 即可求解. 【详解】 （1）由题可得，解得， 24+ 4 = 3+ 5= 2844= 8 所以， 8 + 8 + 8 = 28 解得或 2. = 1 2 （2）由于，则， 1 = 2 = 21 设， =( + 1)=( + 1)21 可得时， = 1 1= 1 + 2 = 3 时，可得， 2 = 2+ 2(1)22(1)= 2 + 1 上式对也成立， = 1 则， ( + 1)= 2 + 1 即有， + 1=(2 + 1)(1 2) 1 则当时， 2 = 1+(21)+(32)+(1) ， = 1 + 3 (1 2) 0+ 5 ( 1 2) 1+ + (21)( 1 2) 2 ， 1 2 = 1 2 + 3 (1 2) 1+ 5 ( 1 2) 2+ + (21)( 1 2) 1 两式相减可得 1 2 = 7 2 + 2(1 2) +(1 2) 2+ + ( 1 2) 2(21) ( 1 2) 1 ， = 7 2 + 2 1 21( 1 2) 2 11 2 (21)(1 2) 1 化简可得. = 11(2 + 3)(1 2) 2 【点睛】 本题考查了等比数列通项公式以及基本量的求法、迭代法、与的关系以及错位相减法，属于中档题. 11.已知正项数列的前 项和为，且满足， + 13 + 1 = 2( ) 24+ 4= 3 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的通项公式 1= 11= 31( 2) 【答案】 （1）（2） = 1 31 = 17 16 3 4( 5 4) (1 3) 【解析】 【分析】 （1）先将题中的等式化简，得到数列是等比数列，再根据求得，即可得到数列的通项公式； 24+ 4= 31 （2）先根据题意求得的表达式，再利用累加法和错位相减法求数列的通项公式. 1 【详解】 （1） ， + 13 + 1 = 2( ) ， 3 + 1 + 2 + 1 = 0( ) 即，即， 3( + 1 ) 2+ 2 + 1 1 = 0( ) (3 + 1 1)( + 1 + 1)= 0 又 为正项数列，故， + 1 = 1 3 即数列为公比的等比数列. = 1 3 又 ， 24+ 4= 3 ，解得， 2 11(1 3) 4 11 3 +(1 3) 3 1= 3 1= 1 ， = 1 1=(1 3) 1= 1 31 故数列的通项公式为 = 1 31 （2）由（1）知当时， 2 1= 31= (1) 31 3 1 32 = (2)(1 3) 1 =(1)+(12)+ +(21)+ 1 ， = (2) (1 3) 1+ (3) ( 1 3) 2+ + 1 ( 1 3) 2+ 0 ( 1 3) 1+ 1 等式两边同乘以，得 ， 1 3 1 3 =(1 3) + 0 (1 3) 2+ 1 ( 1 3) 3+ + (3) ( 1 3) 1+ (2) ( 1 3) 得 4 3 = 4 3 +(1 3) 2+ ( 1 3) 3+ ( 1 3) 4+ + ( 1 3) 1(2) ( 1 3) = 4 3 + ( 1 3) 21(1 3) 2 1(1 3) (2) (1 3) = 4 3 + 3 4 1 9 3 4( 1 3) (2) ( 1 3) ， = 17 12( 5 4) (1 3) ， = 17 16 3 4( 5 4) (1 3) 又 也满足上式， 1= 1 故数列的通项公式为：. = 17 16 3 4( 5 4) (1 3) 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式和前 项和公式、错位相减法求和，考查考生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.试 题借助等比数列的定义和性质、错位相减法等设题，重视基础知识和基本方法，体现逻辑推理、数学运算等核心素养.