1、4.2.1等差数列的概念等差数列的概念1、等差、等差数列的概念数列的概念3、等差中项、等差中项 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，即于同一个常数，即an+1-an=d(n2)，那么这个数列就叫做那么这个数列就叫做等差数列等差数列.这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差，公差通常用，公差通常用字母字母d表示表示.由三个数由三个数a、A、b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，这时，A叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项.根据等差数列的定义可
2、以知道，根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.4、等差、等差数列的通项公式数列的通项公式 an=a1+(n-1)d2、数列数列kn+b是等差数列，其首项为是等差数列，其首项为(k+b)，公差为，公差为k.复习回顾复习回顾典型例题典型例题3、某公司购置了一台价值为某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少其价值会逐年减少.经验表明，经验表明，每每经过一年其价值就会减少经过一年其价值就会减少d(d为正常数为正常数)万元万元.已知这台设备的使用年限为已知这台设备的使用年限为10年，超过年，超过10年，它的价值将低于购进
3、价值的年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废设备将报废.请确定请确定d的取值范围的取值范围.解：设使用解：设使用n年后，这台设备的价值为年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列万元，则可得数列an.由已知条件，得由已知条件，得an=an-1-d(n2).由于由于d是与是与n无关的常数，所以数列是一个公差为无关的常数，所以数列是一个公差为-d的等差数列的等差数列.因为购进设备的价值为因为购进设备的价值为220万元，所以万元，所以a1=220-d于是于是an=a1+(n-1)(-d)=220-nd根据题意，得根据题意，得 解这个不等式组，得解这个不等式组，得19d20.9所以，所以，d的取
4、值范围为的取值范围为19d20.9.11111110aa 11112201110220dd即即典型例题典型例题4、已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=2，公差，公差d=8，在，在an中每相邻两项之间都插入中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；(2)b29是不是数列是不是数列an的项？若是，它是的项？若是，它是an的第几项？若不是，说明理由的第几项？若不是，说明理由.解：解：(1)设数列设数列bn的公差为的公差为d.由由题意可知，题意可知，b1=a1=2，b5=
5、a2=10，于是，于是b5-b1=a2-a1=8b5-b1=4d，所以，所以4d=8，d=2.bn=2+(n-1)2=2n.所以，数列所以，数列bn的通项公式是的通项公式是bn=2n.典型例题典型例题4、已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=2，公差，公差d=8，在，在an中每相邻两项之间都插入中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；(2)b29是不是数列是不是数列an的项？若是，它是的项？若是，它是an的第几项？若不是，说明理由的第几项？若不是，说明理由.解：解
6、：(2)b29=229=58，令令an=2+8(n1)=58，解得解得n=8.所以，所以，b29是数列是数列an的第的第8项项.典型例题典型例题4、已知等差数列已知等差数列an的首项的首项a1=2，公差，公差d=8，在，在an中每相邻两项之间都插入中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；(2)b29是不是数列是不是数列an的项？若是，它是的项？若是，它是an的第几项？若不是，说明理由的第几项？若不是，说明理由.解：解：(2)解法二解法二数列数列an的各项依次是数列的各项依
7、次是数列bn的第的第1，5，9，13，项，项，这些下标构成一个首项为这些下标构成一个首项为1，公差为，公差为4的等差数列的等差数列cn则则cn=4n3.令令4n3=29，解得，解得n=8.b29是数列是数列an的第的第8项项.1、等差数列的性质、等差数列的性质探究新知探究新知 在例在例4第第(2)问的解法中，教科书的解法是问的解法中，教科书的解法是“数列数列an的各项依次是数列的的各项依次是数列的第第1，5，9，13，项，这些下标构成一个首项为项，这些下标构成一个首项为1，公差为，公差为4的等差数列的等差数列cn，则则cn=4n3.”.其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质其实这种解法蕴含
8、的是等差数列的一个重要性质(等距离项性质等距离项性质)：若若an是等差数列，公差为是等差数列，公差为d，则数列，则数列ak+(n-1)m：ak，ak+m，ak+2m，(k，mN*)是公差为是公差为md的等差数列的等差数列请同学们进行思考并推导请同学们进行思考并推导!2、由等差数列衍生的新数列、由等差数列衍生的新数列探究新知探究新知(等距离项性质等距离项性质)：若若an是等差数列，公差为是等差数列，公差为d，则，则数列数列ak+(n-1)m：ak，ak+m，ak+2m，(k，mN*)是公差为是公差为md的等差数列的等差数列1、若若an是公差为是公差为d的等差数列，则下列数列：的等差数列，则下列数
9、列：(1)a2n，a2n-1是公差为是公差为 的等差数列；的等差数列；(2)can(c为任一常数为任一常数)是公差为是公差为 的等差数列；的等差数列；(3)can(c为任一常数为任一常数)是公差为是公差为 的等差数列；的等差数列；(4)anank(k为常数，为常数，kN*)是公差为是公差为 的等差数列的等差数列2、若、若an，bn分别是公差为分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数是常数)是公差为是公差为 的等差数列的等差数列2ddcd2dpd1qd2随堂练习随堂练习1、已知等差数列已知等差数列a1，a2，a3，an的公差为的公差为d，则，则ca1+
10、k，ca2+k，ca3+k，can+k(c为常数且为常数且c0，kR)是是()A公差为公差为d的等差数列的等差数列 B公差为公差为cd+k的等差数列的等差数列C非等差数列非等差数列 D公差为公差为cd的等差数列的等差数列解：解：由题意，可得由题意，可得(can+1+k)(can+k)can+1canc(an+1an)cd，ca1+k，ca2+k，ca3+k，can+k是公差为是公差为cd的等差数列，的等差数列，故选：故选：D典型例题典型例题5、已知数列、已知数列an是等差数列，是等差数列，p，q，s，tN*，且，且p+q=s+t.求证求证ap+aq=as+at.证明：设数列证明：设数列an的公
11、差为的公差为d，则则ap=a1+(p1)d，aq=a1+(q1)d，as=a1+(s1)d，at=a1+(t1)d.所以，所以，ap+aq=2a1+(p+q2)d，as+at=2a1+(s+t2)d.因为因为p+q=s+t，所以，所以，ap+aq=as+at.下标性质下标性质1、等差数列的性质、等差数列的性质探究新知探究新知下标性质下标性质：已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，p，q，s，tN*，若，若p+q=s+t.那么：那么：ap+aq=as+at.特别地，若特别地，若p+q=2k，那么，那么ap+aq=2ak.推广：推广：.321321321321nnyyyyxxxxnnaaaa
12、aaaayyyyxxxx 那么：那么：，若若随堂练习随堂练习2、在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a1+a2+a3+a4+a515，那么，那么a3 解：解：根据等差数列的性质可知，根据等差数列的性质可知，a1+a2+a3+a4+a55a315，所以，所以a333、已知数列已知数列an为等差数列，且为等差数列，且a2+a8+a142，则，则a4+a12 解：解：因为数列因为数列an为等差数列，且为等差数列，且a2+a8+a143a82，所以所以a8 ，则，则a4+a122a83234随堂练习随堂练习4、在等差数列在等差数列an中，若中，若a1+a2+a3+a4+a5120，则，则2a5a7
13、 解：解：根据题意，因为在等差数列根据题意，因为在等差数列an中，有中，有a1+a5a2+a42a3，则有，则有a1+a2+a3+a4+a55a3120，变形可得，变形可得a324，又，又a3+a72a5，所以，所以2a5a7a324故答案为：故答案为：245、等差数列等差数列an中，中，a13a8a15120，则，则2a9a10_ 随堂练习随堂练习6、已知已知an是等差数列，且满足是等差数列，且满足amn，anm(mn)，则，则am+n等于等于 解：解：设等差数列的首项为设等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，由已知，得，由已知，得am+na1+(m+n1)d(m+n1)(m+n1)0故答
14、案为：故答案为：0 mdnandma)1()1(11 111dnma解得解得1、等差数列的性质、等差数列的性质探究新知探究新知等差数列通项公式的推广：等差数列通项公式的推广：已知数列已知数列an是等差数列，公差为是等差数列，公差为d，且，且n，mN*，则，则an=am+(n-m)d.解：解：an=a1+(n-1)d am=a1+(m-1)d 令令-，可得，可得an-am=(n-m)d移项可得：移项可得：an=am+(n-m)d推广：推广：由由an=am+(n-m)d，得到公差，得到公差 (n，mN*，nm).mnaadmn 随堂练习随堂练习7、已知等差数列已知等差数列an的首项为的首项为a1，
15、公差为，公差为d，且，且a158，a6020，求，求a75课后练习课后练习1、如果、如果数列数列an满足满足a1=2，a2=1，且数列，且数列 是等差数列，则数列是等差数列，则数列an的第的第2021项等于项等于_.1na解：解：数列数列 是等差数列，是等差数列，1na其公差其公差212111112 aad220212202021)12021(1112021 daa202122021 a2、数列数列an中，中，a3=2，a7=1，若数列，若数列 是等差数列，则是等差数列，则a8=_.11 na解：设数列解：设数列 的公差为的公差为d.11 na611111437 aad则则因为因为a32，a7
16、1，241 d24524331)3(11113 nndnaan所以所以课后练习课后练习5191524 nnnan所以所以13118 a所以所以3、数列数列an中，中，a1=2，则，则an=_.)2(131311 naann解：依题意可知数列解：依题意可知数列 是等差数列，其公差是等差数列，其公差d=1.31na32311 a首项首项3n-131)1(32)1(31311 nndnaan所以所以课后练习课后练习an=3n-14、若、若mn，数列数列m，a1，a2，n和数列和数列m，b1，b2，b3，n都是等差数列，那么都是等差数列，那么 =()1212bbaa 34.1.43.32.DCBA课后练习课后练习D5、在在数列数列an中，中，a1=1，an=an+1+4，则，则a10=_课后练习课后练习-356、在在数列数列an中，中，a1=2，求，求a4及及 an.nnnaaa311 1924 a562 nan7、在在数列数列an中，中，a1=2，an=2an-1+2n+1.课后练习课后练习(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式an.2)1(是等差数列是等差数列求证求证nnaan=(2n-1)2n
