（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业10：选择性必修二模块综合检测B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 10选择性必修二模块综合检测 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知点在函数图象上，若满足的 的最小值为 ，则的取值范围是（ ） (,)( ) = = 1 + 2 + + 5 A.B.C.D. (10,15(,15(15,21(,21 2.已知等比数列满足是数列的前 项积，则对任意的，总有（ ） 1+ 3= 10 3 27 ,5= 272, A.B.C.D. 3 3 4 4 3.定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为，若对任意实数，x 有，且为奇函数，则不等式 ()() ()() + 2018 的解集是（ ） () + 2018 0 A.B.C.D. (，0)(0， + ) (， 1 ) (1 ， + ) 4.已知函数（ 为自然对数的底数） ，若关于 的不等式解集中恰含有一个整数，则实数 的取值范 ()= , 0 42+ 1, 0 () | 围为（ ） A.B.C.D. (, 2 2 ( 2 2,5(,4(,5 二、多选题(共 10 分) 5.已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ） () = + 2 0 () A.B.C.D. 0 0 1 (0) + 20 0 6.已知等差数列的首项为 1，公差，前 n 项和为，则下列结论成立的有( ) = 4 A.数列的前 10 项和为 100 B.若 成等比数列，则 1, 3, = 21 C.若，则 n 的最小值为 6 = 1 1 + 1 6 25 D.若，则的最小值为 + = 2+ 10 1 + 16 25 12 三、填空题(共 10 分) 7.已知数列满足，令，则数列的通项公式为 , 1= 1.1,1= 0.2, + 1= + 1+ 2 , + 1= 1 3 + 2 3, = _. 8.已知函数，（e 是自然对数的底数） ，若对，使得成立，则 ()= 2 + 1 ()= + 4 1(0,1)21,3(1) (2) 正整数 k 的最小值为_. 四、解答题(共 36 分) 9.已知数列的前 项和为，且时，数列满足，对任意，都有 1= 1 2 1=(1) 1= 1 2 2= 1 4 . 2 + 1= + 2 （1）求数列，的通项公式； （2）令若对任意的，不等式恒成立，试求实数 的取值范围. = 11+ 22+ + . 2( ) 6 10.已知函数. ()= + （1）讨论函数的单调性 () （2）若函数有一个大于 的零点，求实数 的取值范围； () 1 （3）若，且，求证：. (0)= 00 1 0+ 1 2 11.已知函数，(其中 e 为自然对数的底数). ()= ( + )+ （1）当时，讨论函数的单调性； = 1 () （2）当时，若不等式恒成立，求实数 的取值范围. 0 () 暑假作业 10选择性必修二模块综合检测 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知点在函数图象上，若满足的 的最小值为 ，则的取值范围是（ ） (,)( ) = = 1 + 2 + + 5 A.B.C.D. (10,15(,15(15,21(,21 【答案】A 【解析】 【分析】 求得，进而可得出，由题意可得出，由此可得实数的取值范围. = = 1 + 2 + + = ( + 1) 2 4 5 【详解】 由于点在函数图象上，则，则， (,)( ) = = = 所以， = 1 + 2 + + = 1 + 2 + + = ( + 1) 2 由于满足的 的最小值为 ，则，所以，. = 1 + 2 + + 5 4 5 10 15 因此，实数的取值范围是. (10,15 故选：A. 【点睛】 本题考查参数取值范围的计算，考查了等差数列求和公式的应用，根据题意得出是解答的关键，考查计算能力，属于 4 ()() + 2018 的解集是（ ） () + 2018 0 A.B.C.D. (，0)(0， + ) (， 1 ) (1 ， + ) 【答案】B 【解析】 【分析】 设，根据导数可得在 R 上单调递减，又为奇函数，定义域为 R，可得，则， () = () ()() + 2018(0) = 2018(0) = 2018 依题意，可变形为，即，再根据的单调性即可求出结果. () + 2018 0 () 2018 () ()() 0() + 2018 0 即求的解集，即求的解集， () 2018 () (0) 因为在R上单调递减，所以的解集为， ()() 0 所以不等式的解集为. () + 2018 0(0， + ) 故选：B 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及根据函数单调性求解不等式问题，当导数和原函数进行四则运算时往往需要构造新 函数进行解答，属中档题. 4.已知函数（ 为自然对数的底数） ，若关于 的不等式解集中恰含有一个整数，则实数 的取值范 ()= , 0 42+ 1, 0 () 0 作出函数和的图象，如图， 只有在时，不等式才可能有解，此时显然是其中一个解，又 = () = | () | = 1 ，点与原点连线斜率为，而，因此当时，不等式只有一个整数解 (2) = 2(2,2) = 2 2 2 2 4 2 2 () | 故选：A 【点睛】 本题考查不等式的整数解问题，考查导数的几何意义，解题方法是利用数形结合思想，即作出函数和的图象，通 = () = | 过图象观察不等式的解的情况得出结论 二、多选题(共 10 分) 5.已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ） () = + 2 0 () A.B.C.D. 0 0 1 (0) + 20 0 【答案】AD 【解析】 【分析】 求导数,利用零点存在定理,可判断 A,B; ,可判断 C，D. (0)+ 20= 00+ 2 0+ 20= 0(0+ 0+ 2)= 0(10) 0 【详解】 函数, () = + 2,( 0) () = + 1 + 2 是函数的极值点，即， 0 () (0)= 0 0+ 1 + 20= 0 ,当时， (1 ) = 2 0 1 () 0 ,即 A 选项正确,B 选项不正确; 0,() 0 0 0 即 D 正确,C 不正确. 故答案为:AD. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题. 6.已知等差数列的首项为 1，公差，前 n 项和为，则下列结论成立的有( ) = 4 A.数列的前 10 项和为 100 B.若 成等比数列，则 1, 3, = 21 C.若，则 n 的最小值为 6 = 1 1 + 1 6 25 D.若，则的最小值为 + = 2+ 10 1 + 16 25 12 【答案】AB 【解析】 【分析】 由已知可得:,则数列为等差数列通过公式即可求得前 10 项和;通过等比中项可验证 B 选项;因 = 43 = 22 = 21 为 ,通过裂项求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项 D 错误. 1 + 1 = 1 4( 1 43 1 4 + 1) = 1 1 + 1 + = 12 【详解】 由已知可得:, = 43 = 22 ,则数列为等差数列,则前 10 项和为.所以 A 正确; = 21 10(1 + 19) 2 = 100 成等比数列,则 ,即,解得故 B 正确; 1, 3, 2 3= 1 , = 81 = = 43 = 81 = 21 因为所以,解得,故 的最小值为 7,故选项 C 错误;等 1 + 1 = 1 4( 1 43 1 4 + 1) = 1 1 + 1 = 1 4(1 1 5 + 1 5 1 9 + + 1 43 1 4 + 1) = 4 + 1 6 25 6 差的性质可知,所以,当且仅当时,即 + = 12 1 + 16 = 1 12( 1 + 16 )( + ) = 1 12(1 + + 16 + 16) 1 12(17 + 2 4) = 25 12 = 16 时取等号,因为,所以不成立,故选项 D 错误. = 4 = 48 5, = 4 = 48 5 故选:AB. 【点睛】 本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 三、填空题(共 10 分) 7.已知数列满足，令，则数列的通项公式为 , 1= 1.1,1= 0.2, + 1= + 1+ 2 , + 1= 1 3 + 2 3, = _. 【答案】 = 0.9 1 31 【解析】 【分析】 根据题设条件，整理化简得，得到，进而利用等比数列的定义，得出是首项为，公比为 的 + 1 + 1= 1 3() + 1 = 1 3 0.9 1 3 等比数列，即求解数列的通项公式，得到答案. 【详解】 由题意，数列满足， , + 1= + 1+ 2 , + 1= 1 3 + 2 3, 可得， + 1 + 1= + 1+ 2 + 1= 1 2 + 1 + 1 2 = 1 2( 1 3 + 2 3) + 1 2 = 1 3() 即，即， + 1 + 1 = 1 3 + 1 = 1 3 又由，可得， 1= 1.11= 0.21= 11= 0.9 故是首项为，公比为 的等比数列， 0.9 1 3 所以数列的通项公式为. = 0.9 1 31 故答案为：. = 0.9 1 31 【点睛】 本题主要考查了等比数的定义，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中根据数列的递推关系式，利用等比数列的定义，得 到数列为等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 8.已知函数，（e 是自然对数的底数） ，若对，使得成立，则 ()= 2 + 1 ()= + 4 1(0,1)21,3(1) (2) 正整数 k 的最小值为_. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据题意只需对，根据函数单调性求出，分离参数 (0,1) () ()()= 4 ()= 2 + 1 4, (0,1) 根据勾型函数性质求解. (42 )(1) = 642 , (0,1) 【详解】 若对，使得成立， 1(0,1)21,3(1) (2) 只需对， (0,1) () () ，在单调递增， ()= + 4, 1,3 ()= 1 1,3 所以，所以单调递增， () (1)= 1 0()= + 4, 1,3 ，即， ()= + 4 (1)= 4 ()= 4 所以原题即恒成立， ()= 2 + 1 4, (0,1) ， (42 )(1) = 642 , (0,1) 记， ()= 642 , (0,1) 根据勾型函数性质可得：在单调递增，在单调递减，所以 ()= 642 , (0,1) (0, 2 2) ( 2 2,1) ()= ( 2 2) = 64 2 所以，故正整数 k 的最小值为 1. 64 2 故答案为：1 【点睛】 此题考查根据不等式求参数取值范围，关键在于熟练掌握利用函数单调性求解最值方法，涉及等价转化思想. 四、解答题(共 36 分) 9.已知数列的前 项和为，且时，数列满足，对任意，都有 1= 1 2 1=(1) 1= 1 2 2= 1 4 . 2 + 1= + 2 （1）求数列，的通项公式； （2）令若对任意的，不等式恒成立，试求实数 的取值范围. = 11+ 22+ + . 2( ) 6 【答案】 （1），.（2） = =(1 2) 1, + ) 【解析】 【分析】 （1）根据，变形为 ，用累乘法求解，根据，且，利用等比中项得到数 1=(1) 1 = 1( 2) 2 + 1= + 2 1 0 列是等比数列，求得通项. （2）用等差数列的前 n 项和公式求得，用错位相减法求得， 再根据不等式，对任意的恒成 2( ) 6 立，转化为恒成立，令求其最大值即可. 2+ 6 2+ 2 ( ) ()= 2+ 6 2+ 2 【详解】 （1）当时，即 . 2 1=(1) 1 = 1( 2) ， = 1 1 2 3 2 2 1 1= 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 = ( 2) 又，也满足上式，故数列的通项公式. 1= 1= ( ) 由，且，知数列是等比数列，其首项公比均为 ， 2 + 1= + 2 1 0 1 2 数列的通项公式， =(1 2) （2）. = 1 + 2 + 3 + + = ( + 1) 2 ， = 1 2 + 2 (1 2) 2+ + (1)( 1 2) 1+ ( 1 2) ， 1 2 =(1 2) 2+ 2 ( 1 2) 3+ + (1)( 1 2) + (1 2) + 1 由-，得， 1 2 =1 2 +(1 2) 2+ ( 1 2) 3+ + ( 1 2) ( 1 2) + 1 ， = 1 2(1 1 2) 11 2 (1 2) + 1 ， = 2 + 2 2 因为不等式，对任意的恒成立， 2( ) 6 即，对任意的恒成立， 2(1 2) ( ( + 1) 2 ) (2 + 2 2 )6(1 2) 即恒成立. (1)2+(12)6 2+ 6 2+ 2 ( ) 令. ()= 2+ 6 2+ 2 则， ()= 1 + 6 2+ 2 = 1 1 2+ 2 + 6 = 1 1 ( + 6)+ 24 + 610 因为，所以单调递增且大于 0， + 6 7 =( + 6)+ 24 + 610 所以 单调递增， () 当时，且，故， + ()1() 1 0+ 1 2 【答案】 （1）答案见解析.（2）.（3）证明见解析 (0,1) 【解析】 【分析】 （1）求导后，分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调性； 0 0 （2）当和时，根据函数的单调性和，可知不满足题意；当时，得到函数单调性；由， 0 1 (1)= 0 0 (1)= 0 利用导数证得，根据零点存在定理可知有一个大于 的零点，满足题意，由此得到结果； ( 1 ) 2(01) 0+ 1 ()= 2(1) + 1 () (1)= 0 此证得结论. 【详解】 （1）由题意知：的定义域为， ()(0, + ) ()= 1 = 1 当时，恒成立，在上单调递增； 0 () 0 ()(0, + ) 当时，令，解得：， 0 ()= 0 = 1 当时，；当时，； (0,1 ) () 0 (1 , + ) () 0 ()(0, 1 ) ( 1 , + ) （2）由（1）知：当时，且单调递增，不存在大于 的零点. 0 (1)= 0() 1 当，即时，在上单调递减，又， 0 1 1 1 ()(1, + )(1)= 0 在上恒成立，无零点，不符合题意. () 1 0 (1)= 0 ( 1 )=1 1 + = (1 2 + 1 1 ) 令，设，则， = 1 1 ()= 2+ 1()= 2 ，在上单调递减， ()= 2 0 ()(1, + ) ，在上单调递减， () (1)= 2 0 ()(1, + ) ，即， () (1)= 2 0 ( 1 ) 0 在上无零点，在上有唯一零点，即有一个大于 的零点； ()(1, 1 ) ( 1 , + )1 综上所述：满足条件的实数 的取值范围是. (0,1) （3）证明：由（2）得：且， 0(1 , + )0 2 (0+ 1)0 01 2 即证， 0 2(01) 0+ 1 令，则， ()= 2(1) + 1 ()= 1 4 ( + 1)2 = (1)2 ( + 1)2 0 在上单调递增， ()(1, + ) () (1)= 0 ，由此证得：. 0 2(01) 0+ 1 0+ 1 2 【点睛】 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数解决函数零点的问题、不等式的证明问 题；本题证明问题的关键是能够通过分析法将所证不等式转化为仅有一个变量的形式，通过构造函数的方式，将问题转化为函数 最值的求解问题，属于较难题. 11.已知函数，(其中 e 为自然对数的底数). ()= ( + )+ （1）当时，讨论函数的单调性； = 1 () （2）当时，若不等式恒成立，求实数 的取值范围. 0 () 【答案】 （1）函数在 上单调递增；（2）. () 1 【解析】 【分析】 （1）将代入解析式，并求得，令并求得；由的符号可判断的单调性，进而求得 = 1 ()()= + 1()()() ，即可由符号判断函数的单调性； () 0 ()() （2）根据不等式及函数的解析式，代入后化简变形，并令，转化为关于 的不等式，分离常数后构造函数， () = ()= + 求得后，再构造函数，求得；由的符号可判断的单调性，进而可知存在使得 ()()= 1 + ()()() 0( 1 2,1) ，从而判断出的单调性与极值点，结合函数解析式求得，即可由恒成立问题求得 的取值范围. (0)= 0 () ()= (0)= 1 【详解】 （1）当时，函数， = 1 ()= + 则， ()= ()2 + 1 = + 1 令， ()= + 1 则，令，解得， ()= 1()= 0 = 0 所以当时，在时单调递减， 0 ()= 1 0()= + 1 0 ()= 1 0()= + 1 0 即， ()= (0)= + 1 = 2 0 所以， ()= + 1 0 即函数在 上单调递增. () （2）当时，不等式恒成立， 0 () 代入可得， ( + )+ 因为，化简可得，即， 0 + + + 0 令，所以 = , 0 = , 则不等式可化为， + 0 变形可得， + 令， ()= + 则， ()= ( 1 1) ( + )() ()2 = (1)(1 + ) 2 令，则， ()= 1 + ()= 11 = 1 令，解得， ()= 0 = 1 当时，则在内单调递减， 0 1 () 0() 0 1 当时，则在内单调递增， 1 0() 1 而， (1)= 1 + 11 = 2 0 ()= 0 所以存在使得， 0( 1 2,1) (0)= 0 从而当时，则在时单调递增； (0,0) () 0 ()= + (0,0) 当时，则在时单调递减； (0,1) () 0 ()= + (1,) 当时，则在时单调递减. (1, + )() 0 ()= + (1, + ) 则在或处取得最大值， ()= + = 0 = 而， ()= 1 = 1 (0)= 00+ 0 0 因为，即 (0)= 01 + 00 = 0 则， (0)= 00+ 0 0 = 0 0 = 01 + 0 = 0 1 + 0 = 1 综上可知， 的取值范围为. 1 【点睛】 本题考查了导函数与函数单调性的关系，函数单调性、极值、最值的综合应用，由导函数研究不等式恒成立问题，分离参数与构 造函数法的综合应用，是高考的常考点，属于难题.