1、10.3 频率与概率频率与概率 知识梳理知识梳理 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 A 发生的频率具有随机性。一般地，随着试验次数 n 的增大，频率偏高 概率的幅度会缩小，即事件 A 发生的频率)(Afn会逐渐稳定与事件 A 发生的概率 P(A)，我们称频率的这个性质为频率 的稳定性。因此，我们可以用频率)(Afn估计概率 P(A) 知识典例知识典例 题型一 频率与概率 例 1下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( ) A频率就是概率B频率是随机的，与试验次数无关 C概率是稳定的，与试验次数无关D概率是随机的，与试验次数有关 【答案】C 【分析】 根据频率、概率的概念，可
2、得结果. 【详解】 频率指的是：在相同条件下重复试验下， 事件 A 出现的次数除以总数，是变化的 概率指的是： 在大量重复进行同一个实验时， 事件 A 发生的频率总接近于某个常数， 这个常数就是事件 A 的概率，是不变的 故选：C 巩固练习巩固练习 下列关于概率的说法正确的是（） A频率就是概率 B任何事件的概率都是在(0，1)之间 C概率是客观存在的，与试验次数无关 D概率是随机的，与试验次数有关 【答案】C 【分析】 根据频率与概率的定义一一进行判断可得答案. 【详解】 解：事件 A 的频率是指事件 A 发生的频数与 n 次事件中事件 A 出现的次数比， 一般来说，随机事件 A 在每次实验
3、中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随着实验次数的增加，事件 A 发生的频率会逐渐稳定在区间0,1的某个常数上，这个常数就是事件 A 的概率，故可得：概率是客观存在的，与试验 次数无关， 故选：C. 题型二 用频率估计概率 例 2一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了 20000 辆汽车的信息,时间是从某年的 5 月 1 日到 下一年的 4 月 30 日,发现共有 600 辆汽车的挡风玻璃破碎,则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似为_. 【答案】0.03 【分析】 因为实验次数较大,可用频率估计概率,根据频率的计算公式,即可求得答案. 【详解】 实验次数较大,可用
4、频率估计概率 概率 600 0.03 20000 P . 故答案为:0.03. 巩固练习巩固练习 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示 投篮次数 n/次8101520304050 进球次数 m/次681217253238 进球频率 m n (1)填写上表中的进球频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率大约是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）0.8 【解析】 试题分析：（1）由题意可得：频率= 频数 总数 ，即 m n ，算出数据（2）在同一条件是进行大量试验，频率会稳定在一 个常数附近，我们就用这个常数做为概率的估计值 试题解析;(1)表中从左到右依次填：0750.80.
5、80.850.830.80.76. (2)由于进球频率都在 0.8 左右摆动，故这位运动员投篮一次，进球的概率约是 0.8. 题型三 随机模拟 例 3用随机模拟方法得到的频率() A大于概率B小于概率C等于概率D是概率的近似值 【答案】D 【分析】 根据频率和概率的定义,当实验数据越多频率就越接近概率,即可求得答案. 【详解】 当实验数据越多频率就越接近概率 用随机模拟方法得到的频率,数据是有限的,是接近概率. 故选:D. 巩固练习巩固练习 用随机模拟方法求得某几何概型的概率为 m,其实际概率的大小为 n,则() AmnBmn Cm=nDm 是 n 的近似值 【答案】D 【解析】随机摸拟法求其
6、概率，只是对概率的估计 题型四 实际应用 例 4某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了 10 个智力题，每个题 10 分，然后做了统计，下表 是统计结果： 贫困地区 参加测试的人数3050100200500800 得 60 分以上的人数162752104256402 得 60 分以上的频率 发达地区 参加测试的人数3050100200500800 得 60 分以上的人数172956111276440 得 60 分以上的频率 （1）利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得 60 分以上的频率（结果精确到 0.001）； （2）求两个地区参加测试的儿童得 60 分以上的概率. 【答案】
7、（1）见解析（2）贫困地区和发达地区参加测试的儿童得 60 分以上的概率分别为 0.5 和 0.55. 【分析】 （1）根据所给表格,依次计算各组对应的频率值即可. （2）随着测试人数的上升,可知频率值趋近于某个值,即为概率值. 【详解】 （1）根据频率计算公式,可得如下表所示: 贫困地区 参加测试的人数3050100200500800 得 60 分以上的人数162752104256402 得 60 分以上的频率0.5330.5400.5200.5200.5120.503 发达地区 参加测试的人数3050100200500800 得 60 分以上的人数172956111276440 得 60
8、分以上的频率0.5670.5800.5600.5550.5520.550 （2）随着测试人数的增加,两个地区参加测试的儿童得 60 分以上的频率逐渐趋近于 0.5 和 0.55. 故贫困地区和发达地区参加测试的儿童得 60 分以上的概率分别为 0.5 和 0.55. 巩固练习巩固练习 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1 000 根，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：h）进行了统计，统计结果 如表所示： 分组500,900900,11001100,13001300,1500 频数48121208223 频率 分组1500,17001700,19001900, 频数19316542 频率 （
9、1）将各组的频率填入表中； （2）根据上述统计结果，估计该种型号灯管的使用寿命不足 1500 h 的概率. 【答案】（1）见解析；（2）0.6. 【分析】 （1）根据公式= 频数 频率 样本容量 ，填写表格； （2）首先计算样本中寿命不足 1500 h 的频数，再用频率估算概率. 【详解】 （1）；（2）0.6. 分组500,900900,11001100,13001300,1500 频数48121208223 频率0.0480.1210.2080.223 分组1500,17001700,19001900, 频数19316542 频率0.1930.1650.042 （2） 样本中寿命不足 15
10、00 h 的频数是48 121 208223600， 所以样本中寿命不足 1500 h 的频率是 600 0.6 1000 ， 即该种型号灯管的使用寿命不足 1500 h 的概率约为 0.6. 巩固提升巩固提升 1、某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表 分数 段 0,8080,9090,100100,110110,120120130,130140,140150, 人数256812642 那么分数在100,110中的频率约是（精确到 0.01）（） A0.18B0.47C0.50D0.38 【答案】A 【分析】 根据成绩分布表,先求得总人数,即可求得分数在100,110中的频率. 【详解】 某
11、班总人数2568 1264245 , 成绩在100,110中的有 8 人,其频率为 8 0.18 45 . 故选:A 2、用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于( ) A产生的随机数的大小B产生的随机数的个数 C随机数对应的结果D产生随机数的方法 【答案】B 【解析】 随机数容量越大，概率越接近实际数 3、（多选）给出下列四个命题,其中正确的命题有() A做 100 次抛硬币的试验,结果 51 次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是 51 100 B随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C抛掷骰子 100 次,得点数是 1 的结果有 18 次,则出现 1 点的频率是 9 50
12、D随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率 【答案】CD 【分析】 根据概率和频率定义,逐项判断,即可求得答案. 【详解】 对于 A,混淆了频率与概率的区别,故 A 错误; 对于 B,混淆了频率与概率的区别,故 B 错误; 对于 C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是 9 50 ,符合频率定义,故 C 正确; 对于 D,频率是概率的估计值,故 D 正确. 故选:CD. 4、下列命题中不正确的是() A根据古典概型概率计算公式( ) A n P A n 求出的值是事件 A 发生的概率的精确值 B根据古典概型试验,用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数 N 和
13、事件 A 发生的次数 1 N,得到的值 1 N N 是( )P A 的近似值 C频率是随机的,在试验前不能确定,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率 D5 张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到有奖奖券的可性相同 【答案】C 【分析】 根据概率的定义以及古典概型概率计算方法逐个选项判断即可. 【详解】 对于 A，即古典概型概率计算公式，很明显正确的； 对于 B，随机模拟中得到的值是概率的近似值，则 B 项命题正确； 对于 C，频率稳定在某个常数上，这个常数叫做概率，但与概率的趋近程度不是试验次数的函数，C 命题不正确； 对于 D，5 张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与
14、甲抽到有奖奖券的可能性都是 1 5 ，D 命题正确； 故选：C. 5、某养鸡厂用鸡蛋孵化小鸡，用 200 个鸡蛋孵化出 170 只小鸡，由此估计，要孵化出 2500 只小鸡，大约需要鸡蛋的 个数为（） A3022B2941C2800D3125 【答案】B 【分析】 根据样本的数据来估计要孵化出 2500 只小鸡，大约需要鸡蛋的个数. 【详解】 解：设大约需要x个鸡蛋，则 1702500 200 x 解得2941x 故选：B 【点睛】 本题古典概型的概率计算以及概率的应用，属于基础题. 6、下列说法： 频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小； 百分率是频率，但不是概率； 频
15、率是不能脱离试验次数n的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值. 其中正确的是_. 【答案】 【分析】 根据频率与概率的概念与区别,依次判断各选项即可. 【详解】 对于,由频率和概率概念: 频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性大小.可知正确; 对于,概率也可以用百分率表示,故错误. 对于,频率与试验次数相关,而概率与试验次数无关,所以正确; 对于,对于不同批次的试验,频率不一定相同,但概率相同,因而频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值,所以正确. 由概率和频率的定义中可知正确. 故答案为: 7、某水产试验厂进行某种鱼
16、卵的人工孵化，6 个试验小组记录了不同的鱼卵数所孵化出的鱼苗数，如下表所示: 鱼卵数200600900120018002400 孵化出的鱼苗数188548817106716142163 孵化成功的频率0.9400.9130.9080.897 （1）表中对应的频率分别为多少（结果保留三位小数）? （2）估计这种鱼卵孵化成功的概率. （3）要孵化 5000 尾鱼苗，大概需要鱼卵多少个（精确到百位）? 【答案】（1）0.889,0.901（2）0.9（3） 5000 5600 0.9 【分析】 （1）计算 1067 2163 , 1200 2400 的值，即可得答案； （2）从表中数据可看出，虽然频
17、率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在 0.9 附近，即可 得答案； （3）利用频率等于频数除以总数计算，即可得答案. 【详解】 （1） 10672163 0.889,0.901 12002400 ，所以对应的频率分别为0.889,0.901. （2）从表中数据可看出，虽然频率都不一样，但随着试验的鱼卵数不断增多，孵化成功的频率稳定在 0.9 附近，由此 可估计该种鱼卵孵化成功的概率为 0.9. （3）大概需要鱼卵 5000 5600 0.9 (个). 8、某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下： 出生婴儿数21840230702009419982 出生男婴数11453120311029710242 （1）试计算这几年男婴出生的频率（精确到 0.001）； （2）估计该男婴出生的概率（精确到 0.1）. 【答案】（1）0.524，0.521，0.512，0.513（2）0.5 【分析】 （1）根据所给数表,可依次计算出这几年男婴出生的频率; （2）由频率估计概率,即可得解. 【详解】 （1）由表格可知,男婴出生的概率分别为 11453 0.524 21840 , 12031 0.521 23070 , 10297 0.512 20094 , 10242 0.513 19982 . （2）由（1）中频率可估计该市男婴出生的概率为 0.5.
