1、3. .1.2排列与排列数排列与排列数 第第 1 课时课时排列与排列数排列与排列数 学 习 目 标核 心 素 养 1理解排列的概念，能正确写出一些 简单问题的所有排列(重点) 2 会用排列数公式进行求值和证明 (难 点) 1通过学习排列的概念，培养数学抽 象的素养 2借助排列数公式进行计算，培养数 学运算的素养. 教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课后与老师们座谈，有 12 位 教师参加，面对市委领导坐成一排 问题：这 12 位老师的坐法共有多少种？ 1排列的概念 (1)一般地，从 n 个不同对象中，任取 m(mn)个对象，按照一定的顺序排成 一列，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对
2、象的一个排列 (2)特别地，mn 时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列 思考：两个排列相同的条件是什么？ 提示两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同 2排列数及排列数公式 排列数的定义 从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有排列的个数， 称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的排列数 排列数的表示Amn(n，mN，mn) 排列 数公 式 乘积式Amnn(n1)(n2)(nm1) 阶乘式Amn n！ nm！ 阶乘Annn(n1)(n2)21n！ 规定0！1，A0n1 性质AmnmAm 1 nAmn1 拓展：排列与排列数的区别 “排列”与“排列数”是两个不同的概念， “排列”
3、是指“从 n 个不同对象 中取出 m(mn)个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件 事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)a，b，c 与 b，a，c 是同一个排列() (2)从 1,2,3,4 中任选两个元素，就组成一个排列() (3)同一个排列中，同一个元素不能重复出现() (4)在同一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化 () 答案(1)(2)(3)(4) 289909192100 可表示为() AA 10 100BA 11 100 CA 12 100DA 13 100 CA 12 1
4、001009998(100121)100999889. 3甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有() A3 种B4 种 C6 种D12 种 C由排列的定义可知，共有 A333216 种排列方法 4(教材 P14A 组 T2改编) A34 5！_. 1 5 A34 5！ 432 54321 1 5. 排列的概念 【例 1】判断下列问题是否为排列问题 (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回 的票价相同)； (2)选 2 个小组分别去植树和种菜； (3)选 2 个小组去种菜； (4)选 10 人组成一个学习小组； (5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委
5、员； (6)某班 40 名学生在假期相互通信 思路点拨判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺 序有关若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题 解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺 序问题，所以不是排列问题 (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题 (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题 (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序 问题，属于排列问题 (6)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问 题 所以在上述各题中，(2)(5)(6)属于排列问题 1 解决本题的关
6、键有两点： 一是“取出元素不重复”， 二是“与顺序有关” 2判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是 无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应 视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题， 无变化就不是排列问题 跟进训练 1判断下列问题是否是排列问题 (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可 得多少个不同的点的坐标？ (2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方 法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来， 不同的出入方
7、式共有多少种？ 解(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵 坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题 (2)因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺 序，所以这不是排列问题 (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题 综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题 排列的列举问题 【例 2】(教材 P10例 1 改编)写出下列问题的所有排列 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位 数？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列 思路点拨(1)直接列举数字 (2
8、)先画树形图，再结合树形图写出 解(1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有 12 个不同 的两位数 (2)由题意作树形图，如图 故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd， bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb， 共有 24 个 在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先 将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类 中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个
9、元素，再按此元素分类， 依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列. 跟进训练 2(1)北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航，应该有_种机票 (2)A，B，C，D 四名同学排成一排照相，要求自左向右，A 不排第一，B 不 排第四，共有_种不同的排列方法 (1)12(2)14(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示 故符合题意的机票种类有： 北京广州，北京南京，北京天津，广州南京、广州天津、广州 北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津 南京，共 12 种 (2)因为 A 不排第一，排第一位的情况有 3 类(可从 B，C，D 中任选一人排)， 而此
10、时兼顾分析 B 的排法，列树形图如图 所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA， CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA 共 14 种 排列数公式的推导及应用 探究问题 1排列数 A m n中，n，m 满足什么条件？ 提示n，mN 且 mn. 2等式 AmnnA m1 n1成立吗？ 提示Amn n！ nm！，A m1 n1 n1！ nm！， Amnnn1！ nm！ nAm1n1. 【例 3】(1)计算： A59A49 A610A510； (2)求 3Ax84A x1 9中的 x. 思路点拨(1)可直接运算，也
11、可采用阶乘式；(2)借助阶乘式求解，注意 x 的范围 解(1)法一： A59A49 A610A510 5A49A49 50A4910A49 51 5010 3 20. 法二： A59A49 A610A510 9！ 4！ 9！ 5！ 10！ 4！ 10！ 5！ 59！9！ 510！10！ 69！ 410！ 3 20. (2)原方程 3Ax84A x1 9可化为 38！ 8x！ 49！ 10 x！， 即 38！ 8x！ 498！ 10 x9x8x！，化简， 得 x219x780，解得 x16，x213. 由题意知 x8， x19， 解得 x8. 所以原方程的解为 x6. 1排列数的计算主要是利用排
12、列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正 整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因 式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用 2应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式， 然后计算，这样往往会减少运算量 跟进训练 3 (1)(55n)(56n)(69n)(nN*， 且 n55)用排列数可表示为_； (2)不等式 Ax96A x2 9的解集为_ (1)A1569n(2)2,3,4,5,6,7(1)由(69n)(55n)115 可知，(55n)(56 n)(69n)A1569n. (2)原不等式可化为 9！ 9x！ 69！ 11x！， 化简
13、得 x221x1040，解得 x8 或 x13. 又 0 x9 0 x29 xN x2N 得 2x9 且 xN， 原不等式的解集为2,3,4,5,6,7 1判断一个问题是否是排列问题的关键是看该问题中的元素是否与顺序有 关，有关为排列问题，否则，不是排列问题 2排列数公式 Amnn(n1)(n2)(nm1)适合已知 m 的排列数计算， 而 Amn n！ nm！常用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等求解时务 必注意隐含条件：n，mN，mn. 1从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它 们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题() A1B2 C3D
14、4 B因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与 两数字位置无关，故不是排列问题而减法、除法与两数字的位置有关，故是排 列问题 2456(n1)n 等于() AA4nBAn 4 n Cn！4!DAn 3 n D456(n1)n 中共有 n41n3 个因式，最大数为 n， 最小数为 4， 故 456(n1)nAn 3 n. 35 本不同的课外读物分给 5 位同学，每人一本，则不同的分配方法有 _种 120利用排列的概念可知不同的分配方法有 A55120 种 4A666A555A44_. 120原式A66A66A55A5554321120. 5从 0,1,2,3 这四个数中，每次取 3 个不同的数字排成一个三位数，写出其 中大于 200 的所有三位数 解大于 200 的三位数的首位是 2 或 3，所以共有： 201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.
