1、第第 2 课时课时基本计数原理的应用基本计数原理的应用 学 习 目 标核 心 素 养 1熟练应用两个计数原理(重点) 2能运用两个计数原理解决一些综合 性的问题(难点) 1借助两个计数原理解题，提升数学 运算的素养 2通过合理分类或分步解决问题，提 升逻辑推理的素养. 组数问题 【例 1】(教材 P6例 2 改编)用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的： (1)银行存折的四位密码？ (2)四位整数？ (3)比 2 000 大的四位偶数？ 思路点拨(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0 不能作首位，优先排首 位，用分步乘法计数原理求解；(3)可以按个位是 0,2,4 分三
2、类，也可以按首位是 2,3,4,5 分四类解决，也可以用间接法求解 解(1)分步解决 第一步：选取左边第一个位置上的数字，有 6 种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有 5 种选取方法； 第三步：选取左边第三个位置上的数字，有 4 种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 3 种选取方法 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有 6543360(个) (2)分步解决 第一步：首位数字有 5 种选取方法； 第二步：百位数字有 5 种选取方法； 第三步：十位数字有 4 种选取方法； 第四步：个位数字有 3 种选取方法 由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有 5543
3、300(个) (3)法一：按末位是 0,2,4 分为三类： 第一类：末位是 0 的有 44348 个； 第二类：末位是 2 的有 34336 个； 第三类：末位是 4 的有 34336 个 则由分类加法计数原理有 N483636120(个) 法二：按千位是 2,3,4,5 分四类： 第一类：千位是 2 的有 24324(个)； 第二类：千位是 3 的有 34336(个)； 第三类：千位是 4 的有 24324(个)； 第四类：千位是 5 的有 34336(个) 则由分类加法计数原理有 N24362436120(个) 法三：用 0,1,2,3,4,5 可以组成的无重复数字的四位偶数分两类： 第一
4、类：末位是 0 的有 54360(个)； 第二类：末位是 2 或 4 的有 244396(个) 共有 6096156(个) 其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 34336(个)， 所以符合条件的四位偶数共有 15636120(个) 1对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分 类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可 采用间接法从反面求解 2解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖 掘排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则 跟进训练 1四张卡片上分别标有数字“2”、“0”、“1”、“1”，则由这四张卡
5、片可组成不同的四位数的个数为() A6B9 C12D24 B法一：(列举法)根据 0 的位置分类： 第一类：0 在个位有：2110,1210,1120，共 3 个 第二类：0 在十位有：2101,1201,1102，共 3 个 第三类：0 在百位有：2011,1021,1012，共 3 个 故共有 3339 个不同的四位数，故选 B. 法二：(树形图法)如图，可知这样的数共有 9 个，故选 B. 抽取(分配)问题 【例 2】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践， 其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有 () A16 种B18 种 C37 种D4
6、8 种 (2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的 贺卡，则不同取法的种数有_种 思路点拨(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考 虑间接法求解 (2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽 (1)C(2)9(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践 有 43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有 33种不同的分配方案则 满足条件的不同的分配方案有 433337(种)故选 C. (2)不妨由甲先来取，共 3 种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来 取，共 3 种取法，余下来的人，都只有 1 种选择，所以不同取法共有 331
7、1 9(种) 求解抽取(分配)问题的方法 1当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表 法 2当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接法：直接使用分类加 法计数原理或分步乘法计数原理间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方 法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可 跟进训练 23 个不同的小球放入 5 个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有 多少种方法？ 解法一：(以小球为研究对象)分三步来完成： 第一步：放第一个小球有 5 种选择； 第二步：放第二个小球有 4 种选择； 第三步：放第三个小球有 3 种选择 根据分步乘法计数原理得： 共有方法数 N54360(种)
8、法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号 1,2,3,4,5，分成以下 10 类： 第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有 3216(种)； 第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有 3216(种)； 第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有 3216(种)； 分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)， (3,5)，(4,5)，共 10 类，每一类都有 6 种方法 根据分类加法计数原理得，共有方法数 N66660(种) 涂色(种植)问题 探究问题 1用 3 种不同颜色填涂图中 A，B，C，D 四个区域， 且使相邻区域不同色， 若按从左到右依次涂
9、色， 有多少种不 同的涂色方案？ 提示涂 A 区有 3 种涂法，B，C，D 区域各有 2 种不同的涂法，由分步乘 法计数原理将 A，B，C，D 四个区域涂色共有 322224(种)不同方案 2在探究 1 中，若恰好用 3 种不同颜色涂 A，B，C，D 四个区域，那么哪 些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？ 提示恰用 3 种不同颜色涂四个区域，则 A， C 区域，或 A， D 区域，或 B， D 区域必同色由分类加法计数原理可得恰用 3 种不同颜色涂四个区域共 32132132118(种)不同的方案 3 在探究 1 中， 若恰好用 2 种不同颜色涂完四个区域， 则哪些区域必同
10、色？ 共有多少种不同的涂色方案？ 提示若恰好用 2 种不同颜色涂四个区域，则 A，C 区域必同色，且 B，D 区域必同色先从 3 种不同颜色中任取两种颜色，共 3 种不同的取法，然后用所 取的 2 种颜色涂四个区域共 2 种不同的涂法由分步乘法计数原理可得恰好用 2 种不同颜色涂四个区域共有 326(种)不同的涂色方案 【例 3】将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的 4 个 小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用， 共有多少种不同的涂色方法？ 思路点拨注意小方格中第 2 个和第 3 个所涂颜色可能相同， 也可能不同， 故应分两类：所涂颜色相同和不同
11、，分别求解 解第 1 个小方格可以从 5 种颜色中任取一种颜色涂上，有 5 种不同的涂 法 当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时，有 4312(种)不同的涂法，第 4 个小方格有 3 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有 5123180(种)不 同的涂法 当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时，有 4 种涂法，由于相邻两格不同 色， 因此， 第 4 个小方格也有 4 种不同的涂法， 由分步乘法计数原理可知有 544 80(种)不同的涂法 由分类加法计数原理可得共有 18080260(种)不同的涂法 (变条件)本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有 多少种？ 解依
12、题意，可分两类情况：不同色；同色 第一类：不同色，则所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情 分成 4 步来完成 第一步涂，从 5 种颜色中任选一种，有 5 种涂法； 第二步涂，从余下的 4 种颜色中任选一种，有 4 种涂法； 第三步涂与第四步涂时，分别有 3 种涂法和 2 种涂法 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为 5432120(种) 第二类：同色，则不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成 第一步涂，有 5 种涂法；第二步涂，有 4 种涂法；第三步涂，有 3 种涂法 于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有 54360(种) 综上可知，所求的涂色方法共有 12060180(种) 求解涂色种植
13、问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有： 1按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析； 2以颜色种植作物为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分 类加法计数原理分析； 3对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题. 解决较为复杂的计数问题综合应用 1合理分类，准确分步： (1)处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类” 还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准 (2)分类时要满足两个条件：类与类之间要互斥(保证不重复)；总数要完 备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准 (3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，
14、必须做到步与步之间互相独 立，互不干扰，并确保连续性 2特殊优先，一般在后： 解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定 特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想 1某年级要从 3 名男生，2 名女生中选派 3 人参加某次社区服务，如果要 求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案有() A6 种B7 种 C8 种D9 种 D可按女生人数分类： 若选派一名女生， 有 236 种； 若选派 2 名女生， 则有 3 种由分类加法计数原理，共有 9 种不同的选派方法 2从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的 不同取法
15、的种数为() A30B20 C10D6 D从 0,1,2,3,4,5 六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为 两类，取出的两数都是偶数，共有 3 种取法；取出的两数都是奇数，共有 3 种取法故由分类加法计数原理得，共有 N336 种取法 3如图，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A，B，C，D 中，要求相邻的 矩形涂色不同，则不同的涂法有_种. 108A 有 4 种涂法，B 有 3 种涂法，C 有 3 种涂法，D 有 3 种涂法，共有 4333108(种)涂法 45 名班委进行分工，其中 A 不适合当班长，B 只适合当学习委员，则不 同的分工方案种数为_ 18根据题意，B 只适合
16、当学习委员，有 1 种情况，A 不适合当班长，也不 能当学习委员，有 3 种安排方法，剩余的 3 人担任剩余的工作，有 3216 种情况，由分步乘法计数原理，可得共有 13618 种分工方案 5从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土 质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？ 解法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有 3216 种不同的 种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有 3216 种不同的种 植方法故不同的种植方法共有 6318(种) 法二：(间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种种在三块地上，有 43224 种方 法， 其中不种黄瓜有 3216 种方法， 故共有不同的种植方法 24618(种)
