1、第第 2 课时课时组合数的性质及应用组合数的性质及应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.学会运用组合的概念，分析简单的实 际问题(重点) 2.能解决无限制条件的组合问题 (难点) 通过组合解决实际问题，提升逻辑推理 和数学运算的素养. 某国际会议中心有 A、B、C、D 和 E 共 5 种不同功能的会议室，且每种功 能的会议室又有大、中、小和特小 4 种型号，总共 20 个会议室现在有一个国 际学术会议需要选择 3 种不同功能的 6 个会议室， 并且每种功能的会议室选 2 个 型号 问题：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？ 组合数的性质 (1)CmnCn m n； (2)Cm 1 nC
2、mnCm 1 n1. 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)C1mC2mC3m1(m2 且 mN*)() (2)从 4 名男生 3 名女生中任选 2 人，至少有 1 名女生的选法共有 C12C 1 6 种() (3)把 4 本书分成 3 堆，每堆至少一本共有 C 2 4种不同分法() 答案(1)(2)(3) 2若 Cx6C26，则 x 的值为() A2B4 C0D2 或 4 D由 Cx6C 2 6可知 x2 或 x624.故选 D. 3C58C 6 8的值为_ 84C58C68C69 9！ 6！3！ 987 32184. 4甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门
3、，乙、丙各 选修 3 门，则不同的选修方案共有_种 96甲选修 2 门，有 C246(种)不同方案 乙选修 3 门，有 C344(种)不同选修方案 丙选修 3 门，有 C344(种)不同选修方案 由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有 64496(种) 组合数的性质 【例 1】计算：(1)C58C98100C77； (2)C05C15C25C35C45C55； (3)Cnn1Cn 1 n(n0，nN) 解(1)原式C38C21001876 321 10099 21 564 9505 006. (2)原式2(C05C15C25)2(C16C25)2 654 21 32. (3)原式C1n1C1n
4、(n1)nn2n. 性质“CmnCn m n”的意义及作用 跟进训练 1(1)化简：C9mC9m1C8m_； (2)已知 C7n1C7nC8n，求 n 的值 (1)0原式(C9mC8m)C9m1C9m1C9m10. (2)解根据题意，C7n1C7nC8n， 变形可得 C7n1C8nC7n， 由组合数的性质，可得 C7n1C8n1，故 87n1， 解得 n14. 有限制条件的组合问题 【例 2】高二(1)班共有 35 名同学，其中男生 20 名，女生 15 名，今从中 选出 3 名同学参加活动 (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (
5、3)恰有 2 名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有 2 名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有 2 名女生在内，不同的选法有多少种？ 思路点拨可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至 少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决 解(1)从余下的 34 名学生中选取 2 名， 有 C234561(种) 不同的选法有 561 种 (2)从 34 名可选学生中选取 3 名，有 C 3 34种 或者 C335C234C3345 984 种 不同的选法有 5 984 种 (3)从 20 名男生中选取 1 名，从 15 名女生中选取 2 名，有 C120C2152 100 种
6、不同的选法有 2 100 种 (4)选取 2 名女生有 C120C 2 15种，选取 3 名女生有 C 3 15种，共有选取方法 N C120C215C3152 1004552 555 种 不同的选法有 2 555 种 (5)选取 3 名的总数有 C335， 至多有 2 名女生在内的选取方式共有 NC335C315 6 5454556 090 种 不同的选法有 6 090 种 常见的限制条件及解题方法 1特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊 元素的多少作为分类依据 2含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况， 可以此作为分类依据，或采用间接法求解
7、3分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分 类表达，逐类求解 跟进训练 2“抗击疫情，众志成城”，某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴抗击 疫情前线，其中这 10 名医疗专家中有 4 名是内科专家问： (1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是内科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有 2 名内科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有 2 名内科专家的抽调方法有多少种？ 解(1)分步：首先从 4 名内科专家中任选 2 名，有 C 2 4种选法，再从除内 科专家的 6 人中选取 4 人，有 C 4 6种选法，所以共有 C24C4690(种)抽调方法 (2)“至少”的含
8、义是不低于，有两种解答方法 法一：按选取的内科专家的人数分类： 选 2 名内科专家，共有 C24C 4 6种选法； 选 3 名内科专家，共有 C34C 3 6种选法； 选 4 名内科专家，共有 C44C 2 6种选法 根据分类加法计数原理，共有 C24C46C34C36C44C26185(种)抽调方法 法二：不考虑是否有内科专家，共有 C 6 10种选法，考虑选取 1 名内科专家参 加，有 C14C 5 6种选法；没有内科专家参加，有 C 6 6种选法，所以共有：C610C14C56 C66185(种)抽调方法 (3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况，分类解答
9、没有内科专家参加，有 C 6 6种选法； 有 1 名内科专家参加，有 C14C 5 6种选法； 有 2 名内科专家参加，有 C24C 4 6种选法 所以共有 C66C14C56C24C46115(种)抽调方法. 分组分配问题 探究问题 1把 3 个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？ 提示共 1 种分法因为三堆无差异 2若把 3 个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？ 提示共有 A333216 种分法 【例 3】(教材 P20例 5 改编)6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的 选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，
10、一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本 思路点拨(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于 6 本不同的书平均分 给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”， (3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、 2、2 型”、“1、2、3 型”、“1、1、4 型” 解(1)根据分步乘法计数原理得到：C26C24C2290 种 (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C26C24C 2 2种方法，这个过程可以分两步 完成：第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；第二
11、步再将这三份分给甲、 乙、丙三名同学有 A 3 3种方法根据分步乘法计数原理可得：C26C24C22xA33，所以 xC 2 6C24C22 A33 15.因此分为三份，每份两本一共有 15 种方法 (3)这是“不均匀分组”问题，一共有 C16C25C3360 种方法 (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有 C16C25C33A33360 种方法 (5)可以分为三类情况：“2、2、2 型”即(1)中的分配情况，有 C26C24C22 90 种方法；“1、2、3 型”即(4)中的分配情况，有 C16C25C33A33360 种方法； “1、1、4 型”，有 C46A3390 种方法所以一
12、共有 9036090540 种方法 分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种 1完全均匀分组，每组的元素个数均相等 2部分均匀分组，应注意不要重复，有 n 组均匀，最后必须除以 n！. 3完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象 跟进训练 3将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的 分配方案有_种(用数字作答) 36分两步完成： 第一步， 将4名大学生按2,1,1分成三组， 其分法有C 2 4C12C11 A22 种；第二步，将分好的三组分配到 3 个乡镇，其分法有 A 3 3种所以满足条件的 分配方案有C 2 4C12C11 A22 A3336(种) 1在组
13、合数的计数中，恰当利用组合数的性质解题可以使问题简化 2对于含有限制条件的组合问题，要合理分类，必要时可用间接法 3对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关键 是要搞清楚事件是否与顺序有关 1某研究性学习小组有 4 名男生和 4 名女生，一次问卷调查活动需要挑选 3 名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为() A120 种B84 种 C52 种D48 种 C间接法：C38C3452 种 25 个代表分 4 张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分 法一共有() AA 4 5种B45种 C54种DC 4 5种 D由于 4 张同样的参观券分给 5 个代表，
14、每人最多分一张， 从 5 个代表中 选 4 个即可满足，故有 C 4 5种 3方程 Cx14C 2x4 14的解为_ 4 或 6由题意知 x2x4， 2x414， x14 或 x142x4， 2x414， x14， 解得 x4 或 6. 4C03C14C25C 18 21的值等于_ 7 315原式C04C14C25C1821C15C25C1821C1721C1821C1822 C4227 315. 5有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表，求 分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学 课代表 解(1)先选后排，先选可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，共有 C35C23 C45C 1 3种，后排有 A 5 5种， 共(C35C23C45C13)A555 400 种 (2)除去该女生后，先选后排，有 C47A44840 种 (3)先选后排，但先安排该男生，有 C47C14A443 360 种 (4)先从除去该男生、 该女生的 6 人中选 3 人有 C 3 6种， 再安排该男生有 C 1 3种， 其余 3 人全排有 A 3 3种，共 C36C13A33360 种
