1、4.2.5正态分布正态分布 学 习 目 标核 心 素 养 1了解二项分布与正态曲线的关系，能借 助正态曲线理解正态曲线的性质(重点) 2掌握正态分布的定义，会利用正态分布 解决实际问题(重点) 3了解正态分布与标准正态分布的转换， 能利用标准正态分布表求得标准正态分布 在某一区间内取值的概率(难点) 1通过学习正态分布和标准正态分 布，体会数学抽象与直观想象的素 养 2借助正态分布中的“3原则”解 题及标准正态分布函数(x)的函数 值计算正态分布 XN(，2)在某一 区间内取值的概率，提升数学运算 的素养. 小概率事件是指发生的概率小于 3%的事件对于这类事件来说，在大量重 复试验中，平均每试
2、验大约 33 次，才发生 1 次，所以认为在一次试验中该事件 是几乎不可能发生的某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸(单位：cm)X N(4,0.25)质检人员从该厂生产的 1 000 件零件中随机抽查一件，测得它的外径 为 5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？ 1正态曲线及其性质 (1)正态曲线的定义 一般地， 函数，(x) 1 2e x 2 22对应的图像称为正态曲线， 其中E(X)， DX. (2)正态曲线的性质 正态曲线关于 x对称(即决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、 两边低的特点； 正态曲线与 x 轴所围成的图形面积为 1； 决定正态曲线的“胖瘦”：越大，说明标准差越大，
3、数据的集中程度越 弱，所以曲线越“胖”；越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以 曲线越“瘦” 2正态分布 (1)一般地，如果随机变量 X 落在区间a，b内的概率，总是等于，(x)对应 的正态曲线与 x 轴在区间a，b内围成的面积，则称 X 服从参数为与的正态分 布，记作 XN(，2)，此时，(x)称为 X 的概率密度函数 (2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 P(X)68.3%. P(2X2)95.4%. P(3X3)99.7%. 思考 1：如果 XN(，2)，那么 P(x)与 P(x)之间存在怎样的等量关 系？ 提示P(x)P(x)1 2. 3标准正态分布 (1)定义：0 且1
4、 的分布称为标准正态分布，记作 XN(0,1) (2)概率计算方法： 如果 XN(0,1)， 那么对于任意 a， 通常记(a)P(xa)， 其中(a)表示 N(0,1) 对应的正态曲线与 x 轴在区间(，a)内所围的面积 特别地，(a)(a)1. 思考 2：正态分布 YN(，2)化为标准正态分布的变换是什么？ 提示借助 XY 实现转换 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)正态曲线是一条钟形曲线() (2)正态曲线可以关于 y 轴对称() (3)正态曲线与 x 轴围成的面积随参数，的变化而变化() 答案(1)(2)(3) 2正态曲线函数 f(x) 1 2e x2 22 ，xR，其中0
5、 的图像是下图中的 () AB CD D因为正态曲线函数 f(x)关于直线 x对称，又0，故选 D. 3(一题两空)如图是三个正态分布 XN(0,0.25)，YN(0，1)，ZN(0,4) 的密度曲线， 则三个随机变量中 X， Y 对应曲线分别是图中的_、 _. 在密度曲线中， 越大， 曲线越“矮胖”； 越小， 曲线越“瘦高” 4若随机变量 XN(0,1)，则 P(x0)_. 1 2 由标准正态曲线关于 y 轴对称可知 P(x0)1 2. 利用正态分布的对称性求概率 【例 1】设 XN(10,1) (1)求证：P(1X2)P(18X19)； (2)若 P(X2)a，求 P(10X18) 解(1
6、)证明：XN(10,1)， 正态曲线，(x)关于直线 x10 对称， 而区间(1,2)和(18,19)关于直线 x10 对称， 即 P(1X2)P(18X19) (2)P(X2)P(2X10)P(10X18)P(X18)1， 10， P(X2)P(X18)a， P(2X10)P(10X18)， 2a2P(10X18)1， 即 P(10X18)12a 2 1 2a. 充分利用正态曲线的对称性及面积为 1 的性质求解. 1熟记正态曲线关于直线 x对称，从而在关于 x对称的区间上概率相 等. 2PXa1PXa；, PXa. 跟进训练 1 (1)已知随机变量服从正态分布 N(0， 2)， 若 P(2)
7、0.023， 则 P(2c)a， 则 P(4c)等于() AaB1a C2aD12a (1)C(2)B(1)P(22)120.0230.954. (2)对称轴 x2，P(4c)1P(c)1a. “3原则”的应用 【例 2】某厂生产的产品，质量要求服从正态分布 N(100,4)，现从产品中 抽取了 10 件，测得质量分别为 102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线 是否要停产检修？ 思路点拨由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间100 2,1002，即98,102内的概率为 68.3%，在区间96,104内的概率为 95.4%，在 区间94,10
8、6内的概率为 99.7%，所以据此可以判断结论 解由题意知产品质量 X 服从正态分布 N(100,22)，产品质量在区间100 32,10032，即94,106内的概率为 99.7%，而在这个区间外的概率仅为 0.3%，在抽测的 10 件产品中有 2 件(分别是 92,108)不在这个区间内，小概率事 件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统 计假设，统计假设里的变量服从正态分布 N，2.确定一次试验中的取值 a 是否落入区间3，3内.作出判断：如果 a3，3，则接受 统计假设.如果 a3，3，则拒绝统计假设. 跟进训练 2
9、设 XN(1,22)，试求： (1)P(1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5) 解因为 XN(1,22)，所以1，2. (1)P(1X3)P(12X12) P(X)68.3%. (2)因为 P(3X5)P(3X1)， 所以 P(3X5)1 2P(3X5)P(1X3) 1 2P(14X14)P(12X12) 1 2P(2X2)P(X) 1 2(95.4%68.3%)13.55%. (3)P(X5)P(X3) 1 21P(3X5) 1 21P(14X14)2.3%. 标准正态分布及其应用 探究问题 1若随机变量N(0,1)，且(a)m，则(a)等于多少？ 提示由(a)(a)1，得(a)1(
10、a)1m. 2如果 YN(，2)，令 XY ，试证明 XN(0,1) 提示E(X)EY EY 0， D(X)DY 2 DY 2 2 21， XY N(0,1) 【例 3】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正 态分布 N(70,100)已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 名 (1)试问此次参赛学生总数约为多少人？ (2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多 少分？ 可供查阅的(部分)标准正态分布表(x0)P(xx0) x00123456789 1. 2 0.8849 0.886 9 0.888 0.8907 7 0.892
11、5 0.894 4 0.896 2 0.898 0 0.899 7 0.901 5 1. 3 0.9032 0.904 9 0.906 6 0.9082 0.909 9 0.911 5 0.913 1 0.914 7 0.916 2 0.917 7 1. 4 0.9192 0.920 7 0.922 2 0.9236 0.925 1 0.926 5 0.927 8 0.929 2 0.930 6 0.931 6 1. 9 0.9771 3 0.971 9 0.972 6 0.9732 0.973 8 0.974 4 0.975 0 0.975 6 0.976 2 0.976 7 2. 0 0.
12、9772 0.977 8 0.978 3 0.9788 0.979 3 0.979 8 0.980 3 0.980 8 0.981 2 0.981 7 2. 1 0.9821 0.982 6 0.983 0 0.9834 0.983 8 0.984 2 0.984 6 0.985 0 0.985 4 0.985 7 思路点拨(1)先求出 90 分以上(含 90 分)的学生所占的百分比，再计算参 赛学生的总数 A； (2)利用 P(x)50 A ，结合 P(x) x70 10求解 解(1)设参赛学生的分数为，因为N(70,100)，所以70 10 N(0,1) 由条件知，P(90)1P(90)
13、1 9070 101(2)10.977 20.022 8. 这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28%， 参赛总人数约为 12 0.022 8526(人) (2)假定设奖的分数线为 x 分，则 XN(70,100)，故x70 10 N(0,1) 又 P(x)1P(x) 1 x70 10 50 5260.095 1. 即 x70 100.904 9，查表得x70 10 1.31， 解得 x83.1.故设奖的分数线约为 83 分 1任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 即：如果 XN(，2)，则 ZX N(0,1) 2(a)P(xa)即
14、标准正态曲线与 x 轴在区间(，a)上的概率，解题时 要熟记该要点 跟进训练 3已知某地农村务工人员年平均收入服从8 000，500 的正态分布 (1)求此地农村务工人员年平均收入在 8 0008 500 元之间的人数所占的百 分比； (2)如果要使此地农村务工人员年平均收入在(a，a)内的概率不少于 0.95，则 a 至少有多大？ 解设 X 表示此地农村务工人员年平均收入， 则 XN(8 000,5002) (1)P(8 000X8 500) 8 5008 000 500 8 0008 000 500 (1)(0)0.841 30.50.341 3. 即此地农村务工人员年平均收入在 8 00
15、08 500 元之间的人数所占的百分 比为 34.13%. (2)P(aXa) a 500 a 500 2 a 500 10.95， a 500 0.975，查表得 a 5001.96. a980， 即 a 的值至少为 980. 1 熟记 P(x)， P(2x2)， P(3x3)的值； 2借助正态曲线的对称性及与 x 轴之间的面积为 1 两个特点； 3借助线性变换使一般正态分布转化为标准正态分布，然后查表求得变 换方式为：ZX N(0,1)，其中 XN(，2) 1设两个正态分布 N(1，21)(10)和 N(2，22)(20)的密度函数图像如图所 示，则有() A12，12B12 C12，12，12 A根据正态分布的性质：对称轴方程 x，表示正态曲线的形状由题 图可得，选 A. 2 已知随机变量服从正态分布 N(2， 2)， 且 P(4)0.8， 则 P(02)() A0.6B0.4 C0.3D0.2 C随机变量服从正态分布 N(2，2)， 2，对称轴是 x2. P(4)0.8， P(4)P(0)0.2， P(04)0.6，P(0c1)P(Xc1) (1)求 c 的值； (2)求 P(4xc1)P(Xc1)，故有 2(c1)(c1)2，所以 c2. (2)P(4x8)P(223x223)95.4%.
