1、3.1排列与组合排列与组合 3.1.1基本计数原理基本计数原理 第第 1 课时课时基本计数原理基本计数原理 学 习 目 标核 心 素 养 1通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、 分步乘法计数原理(重点) 2正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具 体问题的特征，选择“分类”或“分步”(易混 点) 3能利用两个原理解决一些简单的实际问题(难 点) 1通过两个计数原理的学 习，培养逻辑推理的素养 2 借助两个计数原理解决一 些简单的实际问题，提升数 学运算的素养. 十三届全国人大三次会议在京召开，某政协委员 5 月 19 日从泉城济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径：一是 乘坐飞机，二是乘坐
2、动车组假如这天适合他乘坐的飞机有 3 个航班，动车组有 4 个班次 问题 1：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？ 问题 2：如果该委员需要在 5 月 19 日先从家乡乘坐汽车到达济南市，再乘 坐飞机前往北京参加会议，其中汽车有 4 班，飞机有 3 个航班，问：此委员想从 家乡到达北京共有多少种途径？ 1分类加法计数原理 完成一件事，如果有 n 类办法 且：第一类办法中有 m1种不同的方法，第二 类办法中有 m2种不同的方法第 n 类办法中有 mn种不同的方法， 那么完成这 件事共有 Nm1m2mn种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，且：做第一步有
3、m1种不同的方法， 做第二步有 m2种不同的方法做第 n 步有 mn种不同的方法， 那么完成这件事 共有 Nm1m2mn种不同的方法 思考：在分步乘法计数原理中，第 1 步采用的方法与第 2 步采用的方法之间 有影响吗？ 提示无论第 1 步采用哪种方法，都不影响第 2 步方法的选取 拓展：两个计数原理的区别与联系： 分类加法计数原理分步乘法计数原理 区别一 每类办法都能独立地完成这 件事，它是独立的、一次的， 且每次得到的是最后结果，只 需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果(最后一 步除外)， 任何一步都不能独立完成这 件事，缺少任何一步也不能完成这件 事，只有各步都完成了，才能
4、完成这 件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列 的、独立的 各步之间是关联的、 独立的， “关联” 确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系这两个原理都是用来计算做一件事情的不同方法数 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同() (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事() (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同 的() (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步 骤都能完成这件事() 答案(1)(2)(3)(4) 2(教材 P4尝试与发现改编)从 A 地到 B 地
5、，可乘汽车、火车、轮船三种交 通工具，如果一天内汽车发 3 次，火车发 4 次，轮船发 2 次，那么一天内乘坐这 三种交通工具的不同走法数为() A1113B3429 C34224D以上都不对 B分三类：第一类，乘汽车，从 3 次中选 1 次有 3 种走法；第二类，乘火 车， 从 4 次中选 1 次有 4 种走法； 第三类， 乘轮船， 从 2 次中选 1 次有 2 种走法 所 以，共有 3429 种不同的走法 3已知 x2,3,7，y1，2,4，则(x，y)可表示不同的点的个数是 () A1B3 C6D9 D这件事可分为两步完成：第一步，在集合2,3,7中任取一个值 x 有 3 种 方法；第二
6、步，在集合1，2,4中任取一个值 y 有 3 种方法根据分步乘法 计数原理知，有 339 个不同的点 4 一个礼堂有 4 个门， 若从任一个门进， 从任一门出， 共有不同走法_ 种 16由分步乘法计数原理得 4416. 分类加法计数原理的应用 【例 1】(1)从高三年级的四个班中共抽出 22 人，其中一、二、三、四班 分别为 4 人，5 人，6 人，7 人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组 长，有多少种不同的选法？ (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 解(1)分四类： 从一班中选一人，有 4 种选法； 从二班中选一人，有 5 种选法； 从三班中选一人，有
7、6 种选法； 从四班中选一人，有 7 种选法 共有不同选法 N456722(种) (2)法一：按十位上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类，在每一类 中满足题目条件的两位数分别是 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有 87654321 36(个) 法二：按个位上的数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成 8 类，在每一类中满足条件的 两位数分别是 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7 个，8 个，所以按分类加 法计数原理知，满足条件的两位数共有 1234567836(个) 1(变结
8、论)本例(2)中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位 数的个数 解当个位数字是 8 时，十位数字取 9，只有 1 个 当个位数字是 6 时，十位数字可取 7,8,9，共 3 个 当个位数字是 4 时，十位数字可取 5,6,7,8,9，共 5 个 同理可知，当个位数字是 2 时，共 7 个 当个位数字是 0 时，共 9 个 由分类加法计数原理知，符合条件的数共有 1357925(个) 2(变条件，变结论)本例(2)换为：用数字 1,2,3 可以组成多少个没有重复数 字的整数？ 解分三类： 第一类为一位整数，有 1,2,3，共 3 个； 第二类为二位整数，有 12,13,21,23,31
9、,32，共 6 个； 第三类为三位整数，有 123,132,213,231,312,321，共 6 个 共组成 36615 个无重复数字的整数 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 提醒：确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事 分步乘法计数原理的应用 【例 2】(教材 P6例 2 改编)一种号码锁有 4 个拨号盘，每个拨号盘上有从 0 到 9 共十个数字， 这 4 个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允 许重复)? 思路点拨根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后， 才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理 解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，
10、有 10 种拨号方式，所以 m110； 第二步，有 10 种拨号方式，所以 m210； 第三步，有 10 种拨号方式，所以 m310； 第四步，有 10 种拨号方式，所以 m410. 根据分步乘法计数原理，共可以组成 N1010101010 000 个四位数的 号码 (变条件)若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位 数的号码？ 解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有 10 种拨号方式，即 m110； 第二步，有 9 种拨号方式，即 m29； 第三步，有 8 种拨号方式，即 m38； 第四步，有 7 种拨号方式，即 m47. 根据分步乘法计数原理，共可以组成 N1
11、09875 040(个)四位数的号码 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事 辨析两个计数原理 探究问题 如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？ 提示如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都可 以完成任务，则是分类；而从其中任何一种情况中任取一种方法只能完成一部分 任务，且只有依次完成各种情况，才完成这件事，则是分步 【例 3】现有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画 (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选
12、出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 思路点拨 解(1)分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选，有 2 种 不同的选法；从水彩画中选，有 7 种不同的选法根据分类加法计数原理，共有 52714(种)不同的选法 (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有 5 种，2 种，7 种不同的选法，根据 分步乘法计数原理，共有 52770(种)不同的选法 (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原 理知，有 5210(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5735(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2714(种
13、)不同的选法 所以共有 10351459(种)不同的选法 1当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成 这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方 法 2分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图， 使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律 3混合问题一般是先分类再分步 跟进训练 一个袋子里有 10 张不同的中国移动手机卡， 另一个袋子里有 12 张不同的中 国联通手机卡 (1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取 法？ (2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己使用， 问一共有多少种
14、不同的取法？ 解(1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有 10 种取法； 第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有 12 种取法 根据分类加法计数原理，共有 101222 种取法 (2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有 10 种取法； 第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有 12 种取法根据分步乘法计数 原理，共有 1012120 种取法 1使用两个原理解题的本质 分类 将问题分成互相排斥 的几类，逐类解决 分类加法 计数原理 分步 把问题分化为几个互相 关联的步骤，逐步解决 分步乘法计数原理 2利用两个计数原理解决实际问题的常用方法 列举法 种数较少 将各种情况一一列举 间接法 正面
15、复杂 用总数减去不满足条件的种数 1某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，若要求从两类课程中选一 门，则不同的选法共有() A3 种B4 种 C7 种D12 种 C选择课程的方法有 2 类：从 A 类课程中选一门有 3 种不同方法，从 B 类课程中选 1 门有 4 种不同方法，共有不同选法 347 种 2现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件 上衣配成一套，则不同的配法种数为() A7B12 C64D81 B先从 4 件上衣中任取一件共 4 种选法， 再从 3 条长裤中任选一条共 3 种 选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共 4312(
16、种)不同配法故 选 B. 3某学生去书店，发现 2 本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有 () A1 种B2 种 C3 种D4 种 C分两类：买 1 本或买 2 本书，各类购买方式依次有 2 种、1 种，故购买 方式共有 213 种故选 C. 4十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有_条 12经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有 4 种选法；第二 步确定出口，从剩余 3 个路口任选一个共 3 种，由分步乘法计数原理知不同的路 线有 4312 条 5有不同的红球 8 个，不同的白球 7 个 (1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？ (2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？ 解(1)由分类加法计数原理，从中任取一个球共有 8715(种) (2)由分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球共有 8756(种)
