1、第第 2 课时课时离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 学 习 目 标核 心 素 养 1理解离散型随机变量的方差及标准 差的概念(重点) 2掌握方差的性质以及两点分布、二 项分布的方差(重点) 3会用方差解决一些实际问题(难点) 1通过学习离散型随机变量的方差、 标准差，体会数学抽象的素养 2借助方差的性质及两点分布、二项 分布的方差解题， 提高数学运算的素养. 山东省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加第十四届全运会，根据以 往数据，这两名运动员射击环数分布列如下所示 甲的环数8910 P0.20.60.2 乙的环数8910 P0.30.40.3 问题：如果从平均水平和发挥稳定性角度分
2、析，你认为派谁参加全运会更好 一些？ 1离散型随机变量的方差与标准差 (1)定义：如果离散型随机变量 X 的分布列如下表所示 Xx1x2xkxn Pp1p2pkpn 则 D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn n i1xiE(X) 2pi， 称为离散型随机变量 X 的方差； DX称为离散型随机变量 X 的标准差 (2)意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大 小) (3)性质：若 X 与 Y 都是随机变量，且 YaXb(a0)，则 D(Y)a2D(X) 2两点分布及二项分布的方差 (1)若随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布，则 D(X)p(1
3、p) (2)若随机变量 XB(n，p)，则 D(X)np(1p) 思考：两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系 提示由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关 系即若 XB(n，p)，则 D(X)np(1p)，取 n1，则 D(X)p(1p)就是两点 分布的方差 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)离散型随机变量 X 的期望 E(X)反映了 X 取值的概率的平均值() (2)离散型随机变量 X 的方差 D(X)反映了 X 取值的平均水平() (3)离散型随机变量 X 的期望 E(X)反映了 X 取值的波动水平() (4)离散型随机变量 X 的方差 D(X)反映了 X
4、 取值的波动水平() 答案(1)(2)(3)(4) 2设随机变量的方差 D()1，则 D(21)的值为() A2B3 C4D5 C因为 D(21)4D()414，故选 C. 3若随机变量B 4，1 2 ，则 D()_. 1B 4，1 2 ，D()41 2 11 2 1. 4已知随机变量 X 的分布列为 X135 P0.40.10.5 则 X 的标准差为_ 89 5 E(X)10.430.150.53.2， D(X)(13.2)20.4(33.2)20.1 (53.2)20.53.56. X 的标准差为 DX 3.56 89 5 . 离散型随机变量的方差 【例 1】袋中有 20 个大小相同的球，
5、其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号 的有 n 个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号 (1)求 X 的分布列、均值和方差； (2)若 YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求 a，b 的值 思路点拨(1)根据题意， 由古典概型的概率公式求出分布列， 再利用均值、 方差的公式求解 (2)运用 E(Y)aE(X)b，D(Y)a2D(X)，求 a，b. 解(1)X 的分布列为 X01234 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 E(X)01 21 1 202 1 103 3 204 1 51.5. D(X)(01.5)21 2(11.5) 21 20(21
6、.5) 2 1 10(31.5) 23 20(4 1.5)21 52.75. (2)由 D(Y)a2D(X)，得 a22.7511，即 a2. 又 E(Y)aE(X)b，所以当 a2 时，由 121.5b，得 b2；当 a 2 时，由 121.5b，得 b4， a2， b2 或 a2， b4 即为所求 1求离散型随机变量 X 的方差的基本步骤 理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值 写出 X 取每个值的概率 写出 X 的分布列 由均值的定义求出 EX 利用公式 DX n i1 xiEX2pi求值 2对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如 D(ab)a2D()，这样处
7、理既避免了求随机变量ab 的分布列，又避免了 繁杂的计算，简化了计算过程 跟进训练 1(1)已知随机变量 X 的分布列为 X123 P0.5xy 若 E(X)15 8 ，则 D(X)等于() A.33 64 B.55 64 C. 7 32 D. 9 32 (2)已知 X 的分布列如下 X101 P 1 2 1 4 a 求 X2的分布列； 计算 X 的方差； 若 Y4X3，求 Y 的均值和方差 (1)B由分布列的性质得 xy0.5，又 E(X)15 8 ，所以 2x3y11 8 ，解得 x1 8，y 3 8，所以 D(X) 115 8 2 1 2 215 8 2 1 8 315 8 2 3 8
8、55 64. (2)解由分布列的性质，知1 2 1 4a1，故 a 1 4，从而 X 2的分布列为 X201 P 1 4 3 4 由知 a1 4， 所以 X 的均值 E(X)(1) 1 20 1 41 1 4 1 4.故 X 的方 差 D(X) 11 4 2 1 2 01 4 2 1 4 11 4 2 1 4 11 16. E(Y)4E(X)34 1 4 32， D(Y)16D(X)11. 两点分布、二项分布的方差 【例 2】某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他 在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是1 3. (1)求这位司机遇到红灯次数 X 的均值与方差；
9、(2)若遇上红灯，则需等待 30 秒，求司机总共等待时间 Y 的均值与方差 解(1)由题意知司机遇上红灯次数 X 服从二项分布，且 XB 6，1 3 ， E(X)61 32，D(X)6 1 3 11 3 4 3. (2)由已知得 Y30X， E(Y)30E(X)60，D(Y)900D(X)1 200. 1 如果随机变量X服从两点分布， 那么其方差D(X)p(1p)(p为成功概率) 2如果随机变量 C 服从二项分布，即 XB(n，p)，那么方差 D(X)np(1 p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程 跟进训练 2(1)设一随机试验的结果只有 A 和 A ，且 P(A)m，令随机变量
10、 1，A 发生， 0，A 不发生， 则的方差 D()等于() AmB2m(1m) Cm(m1)Dm(1m) (2)若随机变量 XB(3，p)，D(X)2 3，则 p_. (1)D(2)1 3或 2 3 (1)随机变量的分布列为 01 P1mm E()0(1m)1mm. D()(0m)2(1m)(1m)2mm(1m) (2)XB(3，p)， D(X)3p(1p)， 由 3p(1p)2 3，得 p 1 3或 p 2 3. 期望、方差的综合应用 探究问题 1A，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的 概率如下表 A 机床 次品数 X10123 P0.70.20.060.04
11、B 机床 次品数 X20123 P0.80.060.040.10 试求 E(X1)，E(X2) 提示E(X1)00.710.220.0630.040.44. E(X2)00.810.0620.0430.100.44. 2在探究 1 中，由 E(X1)和 E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什 么？ 提示不能因为 E(X1)E(X2) 3在探究 1 中，试想利用什么指标可以比较 A，B 两台机床加工质量？ 提示利用样本的方差方差越小，加工的质量越稳定 【例 3】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量， ，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环，且甲射中 10
12、,9,8,7 环的概率分别为 0.5,3a，a,0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2. (1)求，的分布列； (2)求，的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术 思路点拨(1)由分布列的性质先求出 a 和乙射中 7 环的概率，再列出， 的分布列 (2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望， 然后再看其方差值 解(1)由题意得：0.53aa0.11，解得 a0.1. 因为乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2，所以乙射中 7 环的概率为 1 (0.30.30.2)0.2. 所以，的分布列如下表所示 10987 P
13、0.50.30.10.1 10987 P0.30.30.20.2 (2)由(1)得： E()100.590.380.170.19.2； E()100.390.380.270.28.7； D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.1 0.96； D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.2 1.21. 由于 E()E()，D()D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次 数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事 件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高. 1求离散型随机变量
14、的方差的类型及解决方法 (1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下， 求均值；求方差 (2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下， 若 X 服从两点分布，则 D(X)p(1p) 若 XB(n，p)，则 D(X)np(1p) (3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后 求方差 (4)对于已知 D(X)求 D(aXb)型，利用方差的性质求解，即利用 D(aXb) a2D(X)求解 2解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点 (1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取 值及其实际意义 (2)弄清实
15、际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值， 看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定因 此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析 1有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10 株的分蘖数据，计算出样本方差 分别为 D(X甲)11，D(X乙)3.4.由此可以估计() A甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较 BD(X甲)D(X乙)， 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 2设二项分布 B(n，p)的随机变量 X 的均值与方差分别是 2.4 和 1.44，则二 项分布
16、的参数 n，p 的值为() An4，p0.6Bn6，p0.4 Cn8，p0.3Dn24，p0.1 B由题意得，np2.4，np(1p)1.44， 1p0.6，p0.4，n6. 3已知随机变量 X，且 D(10X)100 9 ，则 X 的标准差为_ 1 3 由题意可知 D(10X)100 9 ， 即 100D(X)100 9 ，D(X)1 9， DX1 3.即 X 的标准差为 1 3. 4一批产品中，次品率为1 3，现连续抽取 4 次，其次品数记为 X，则 D(X) 的值为_ 8 9 由题意知 XB 4，1 3 ，所以 D(X)41 3 11 3 8 9. 5已知离散型随机变量 X 的分布列如下表 X1012 Pabc 1 12 若 E(X)0，D(X)1，求 a，b，c 的值 解由题意， abc 1 121， 1a0b1c2 1 120， 102a002b102c202 1 121， 解得 a 5 12，bc 1 4.
