1、1 第二课时二项式系数的性质与杨辉三角 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(多选)满足C? 0 ? C? 2 ? C? 4+C?-2 ? C? ?1 000 的偶数 n 可以为( ) A.8B.10C.12D.14 解析 2n-11 000,解得 n11,nN+.故选 CD. 答案 CD 2.二项展开式(2x-1)10中的奇次幂项的系数之和为() A.1?3 10 2 B.1-3 10 2 C.3 10-1 2 D.-1?3 10 2 解析设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10. 令 x=1 得,1=a0+a1+a2+a10, 再令 x=-1 得,310=a0-a1+a2-a
2、3+-a9+a10, 由-可得 a1+a3+a5+a7+a9=1-3 10 2 . 答案 B 3.将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,便可以得到如图的“01 三角”.在“01 三角”中,从第 1 行 起,设第 n(nN+)次出现全行为 1 时,1 的个数为 an,则 a3等于() 2 A.26B.27C.7D.8 解析第 3 次出现全行为 1,这说明杨辉三角中这一行全是奇数,即C? ?(k=0,1,2,n)是奇数,经验证可知, 第 3 次出现全行为 1 时,1 的个数为 8,即 a3=8. 答案 D 4.(1-ax+by)n展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243,不含 y 的项
3、的系数绝对值的和为 32,则 a,b,n 的值可能为() A.a=2,b=-1,n=5B.a=-1,b=2,n=6 C.a=-1,b=2,n=5D.a=-2,b=-1,n=6 解析令 x=0,得(1+by)n系数绝对值的和为 243. 令 y=0,得(1-ax)n系数绝对值的和为 32. 经验证 a=-1,b=2,n=5 时成立. 答案 C 5.若( ?+2)5的展开式第二项的值大于 1 000,则实数 x 的取值范围为. 解析因为 T2=C5 1( ?)421=10 x21 000,且 x0, 所以 x10. 答案(10,+) 6.a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(
4、x+1)+a0=x4,则 a3-a2+a1=. 解析(x+1)-14=a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0, 所以 a3-a2+a1=(-C4 1)-C 4 2+(-C 4 3)=-14. 答案-14 3 7.(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5,求?1?3?5 ?0?2?4的值. 解令 x=1 得 a0+a2+a4+a1+a3+a5=1; 令 x=-1 得 a0+a2+a4-(a1+a3+a5)=243. 由两式可解得 a0+a2+a4=122,a1+a3+a5=-121,所以?1?3?5 ?0?2?4=- 121 122. 8.(1+2x)n
5、的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 解 T6=C? 5(2x)5,T7=C?6(2x)6, 依题意有C? 525=C?626,解得 n=8. 所以(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=C8 4(2x)4=1 120 x4. 设第 k+1 项系数最大,则有 C8 ?2? C8 ?-12?-1, C8 ?2? C8 ?12?1,解得 5k6. 因为 k0,1,2,8,所以 k=5,或 k=6. 所以系数最大的项为 T6=1 792x5,T7=1 792x6. 能力提升练 1.(2019 重庆南开中学高三月考)二项式 3 ? ?
6、n的展开式的所有项系数和为 64,则展开式中的常数 项为() A.135B.-135C.180D.-240 解析令 x=1 得所有项的系数之和为 2n=64,解得 n=6,所以通项公式为 Tk+1=C6 ? 3 ? 6-k(- ?)k=(-1)k36- kC 6 ?3 2?-6,令3 2k-6=0 得 k=4,所以展开式中常数项为 3 2C 6 4=135.故选 A. 4 答案 A 2.(2019 天津武清区杨村第一中学高二期末)在(x-2)8的二项展开式中,二项式系数的最大值为 a,含 x5 项的系数为 b,则? ?=( ) A. 5 32 B.- 5 32 C.32 5 D.-32 5 解
7、析因为(x-2)8的二项展开式的通项为 Tk+1=C8 ?x8-k(-2)k,因此二项式系数的最大值 为 a=C8 4 ? 8765 432 =70,令 8-k=5 得 k=3,所以,含 x5项的系数为 b=C8 3(-2)3=-448,因此? ? ? 70 -448=- 5 32.故选 B. 答案 B 3.(多选)(2019山东日照实验高级中学高二月考)对于二项式 1 ?+x 3n(nN+),以下判断正确的有( ) A.存在 nN+,展开式中有常数项 B.对任意 nN+,展开式中没有常数项 C.对任意 nN+,展开式中没有 x 的一次项 D.存在 nN+,展开式中有 x 的一次项 解析设二项
8、式 1 ?+x 3n(nN+)展开式的通项公式为 Tk+1,则 Tk+1=C? 1 ? n-k(x3)k=C?x4k-n,不妨令 n=4,则 k=1 时,展开式中有常数项,故答案 A正确,答案 B 错误;令 n=3,则 k=1 时,展开式中有 x 的一次项,故 C 项错误,D 项正确.故选 AD. 答案 AD 4.(2019 上海建平中学高三)设(1-2x)2 019=a0+a1x+a2x2+a2 019x2 019,则?1 2 ? ?2 22+ ?2 019 22 019的值为( ) A.2B.0C.-1D.1 解析(1-2x)2 019=a0+a1x+a2x2+a2 019x2 019.
9、令 x=0,可得 a0=1. 令 x=1 2,可得 0=1+ ?1 2 ? ?2 22+ ?2 019 22 019, 5 ?1 2 ? ?2 22+ ?2 019 22 019=-1.故选 C. 答案 C 5.(2020 浙江高三专题练习)1.957的计算结果精确到个位的近似值为() A.106B.107C.108D.109 解析1.957=(2-0.05)7=27-C7 1260.05+C 7 2250.052-C 7 720(0.05)7.经计算可知 T1=128,T2=- 22.4,T3=1.68,T4=-0.07,从第 4 项开始,此后每项都影响不到最终结果,1.957T1+T2+T
10、3=107.28, 1.957107.故选 B. 答案 B 6.(2019 云南高三月考)若 1717+a(aZ,0a4)能被 3 整除,则 a=() A.0B.1C.2D.3 解析因为 1717+a=(18-1)17+a=1817-C17 1 1816+C17 1618-1+a,由已知可得 a=1.故选 B. 答案 B 7.(2020 安徽高三模拟)(x2+2) 2x-1 ? 6的展开式中所有项的系数和为 ,常数项为. 解析将 x=1 代入(x2+2) 2x-1 ? 6,得所有项的系数和为 3. 因为 2x-1 ? 6的展开式中含1 ?2的项为C6 4(2x)2 -1 ? 4=60 ?2,
11、2x- 1 ? 6的展开式中含常数项C 6 3(2x)3 - 1 ? 3=-160, 所以(x2+2) 2x-1 ? 6的展开式中的常数项为 60-320=-260. 答案 3-260 8.(2019 江苏高二期末)在如图三角形数阵中,从第 3 行开始,每一行除 1 以外,其他每一个数字是它上 一行的左右两个数字之和.已知这个三角形数阵开头几行如图所示,若在此数阵中存在某一行,满足该 行中有三个相邻的数字之比为 456,则这一行是第行(填行数). 6 解析三角形数阵中,每一行的数由二项式系数C? ?,k=0,1,2,n 组成.设在第 n 行中有C? ?-1 C? ? ? ? ?-?1 ? 4
12、5, C? ? C? ?1 ? ?1 ?-? ? 5 6,那么 9?-4? ? 4, 5?-11? ? 6,解得 ? ? 98, ? ? 44.因此答案为 98. 答案 98 9.(2019 山西高二月考)已知二项式(x+3x2)n. (1)若它的二项式系数之和为 128,求展开式中二项式系数最大的项; (2)若 x=3,n=2 016,求二项式的值被 7 除的余数. 解(1)2n=128,n=7. 展开式中二项式系数最大的项为第 4,5 项, T4=C7 3x4(3x2)3=945x10,T5=C 7 4x3(3x2)4=2 835x11. (2)302 016=(28+2)2 016=28
13、2 016+C2 016 1 282 0152+C2 016 2 0152822 015+22 016=28K+22 016, 转化为 22 016被 7 除的余数,22 016=8672=(7+1)672=7k+1,即余数为 1. 素养培优练 1.(2019 上海奉贤中学高三月考)如图,我们在第一行填写整数 0 到 n(n1),在第二行计算第一行相邻 两数的和,像在杨辉三角中那样,如此进行下去,在最后一行我们会得到的整数是. 0123n-1n 1352n-1 48 7 解析将数阵倒置,记第 m行第 a(1amn+1)个数为? ? ,则倒置后的数阵为: ?1 1 ?2 1 ?2 2 ?3 1
14、?3 2 ?3 3 ?1 1 ?1 2 ?1 3 ?1 ?1 则有? ? ? ?1 ? ? ?1 ?1 ,且有?1 ? =a-1. ?1 1 ? ?2 1 ? ?2 2 ? C1 0? 2 1 ? C1 1? 2 2, ?1 1 ? ?2 1 ? ?2 2=(? 3 1 ? ?3 2)+(? 3 2 ? ?3 3)=C 2 0? 3 1 ? C2 1? 3 2 ? C2 2? 3 3, ?1 1 ? ?3 1+2? 3 2 ? ?3 3=(? 4 1 ? ?4 2)+2(? 4 2 ? ?4 3)+(? 4 3 ? ?4 4)=C 3 0? 4 1 ? C3 1? 4 2 ? C3 2? 4
15、3 ? C3 3? 4 4. 依此类推?1 1 ? C? 0? ?1 1 ? C? 1? ?1 2 +C? ? ?1 ?1 ? ?0 ? ?n kk, k?n k=k n! (n-k)!k! ? n! (n-k)!(k-1)!=n (n-1)! (n-k)!(k-1)!=n?n-1 k-1, 因此,T1 1 ? k?0 n C? ?k=n ?1 ? C?-1 ?-1=n(1+1)n-1=n2n-1. 答案 n2n-1 2.(2019 上海位育中学高二期末)已知 3 x ? 2 x n的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大 255. (1)求展开式所有的有理项; (2)求展开式中系数最大的项
16、. 解令 x=1 可得,展开式中各项系数之和为(-1)n,而展开式中的二项式系数之和为 2n, 2n-(-1)n=255, n=8, 8 Tk+1=?8 kx8-k 3(-2)k?- ? 2=(-2)kC8 ?8 3- 5? 6, (1)当8 3 ? 5? 6 为整数时,Tk+1为有理项,则 k=2,8, 所以展开式所有的有理项为 112x,256x-4. (2)设第 k+1 项最大,且 k为偶数, 则 (-2)?C8 ? (-2)?2C8 ?2, (-2)?C8 ? (-2)?-2C8 ?-2, 解得 k=6, 所以展开式中系数最大的项为(-2)6C8 6?8 3- 5 66=1 792?- 7 3.
