1、1 4.2.3二项分布与超几何分布二项分布与超几何分布 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(2019 湖南高二月考)一工厂生产的 100 个产品中有 90 个一等品,10 个二等品,现从这批产品中抽取 4 个,则其中恰好有一个二等品的概率为() A.1- C90 4 C100 4 B. C10 0 C90 4 +C10 1 C90 3 C100 4 C. C10 1 C100 4 D. C10 1 C90 3 C100 4 解析由超几何分布概率公式可知,所求概率为 C90 3 C10 1 C100 4 . 故选 D. 答案 D 2.(2020 湖北高三月考)某学校成立了 A,B,C 三个课外学习
2、小组,每位学生只能申请进入其中一个学习 小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意 4 位学生中,恰有 2 人申请 A 学习小 组的概率是() A. 3 64 B. 3 32 C. 4 27 D. 8 27 解析设每位学生申请课外学习小组为一次试验,这是 4 次独立重复试验,记“申请 A 学习小组”为事件 A,则 P(A)=1 3,由独立重复试验中事件 A恰好发生 k 次的概率计算公式可知,恰有 2 人申请 A 学习小组 的概率是C4 2 1 3 2 2 3 2=8 27,故选 D. 答案 D 2 3.(多选)某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且
3、他各次射击是否击中目标相互之 间没有影响.则下列四个选项中,正确的是() A.他第 3 次击中目标的概率是 0.9 B.他恰好击中目标 3 次的概率是 0.930.1 C.他至少击中目标 1 次的概率是 1-0.14 D.他恰好有连续 2 次击中目标的概率为 30.930.1 解析射击一次击中目标的概率是 0.9,第 3 次击中目标的概率是 0.9,A 正确; 连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,本题是一个独立重复试验, 根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标 3 次的概率是C4 30.930.1,B不正确; 至少击中目标 1 次的概率是 1-0.14,C 正确; 恰好有
4、连续 2 次击中目标的概率为 30.920.12,D 不正确.故选 AC. 答案 AC 4.(2020 山东济宁高二月考)在 10 个排球中有 6 个正品,4 个次品.从中抽取 4 个,则正品数比次品数少 的概率为() A. 5 42 B. 4 35 C.19 42 D. 8 21 解析正品数比次品数少,有两种情况:0 个正品 4 个次品,1 个正品 3 个次品,由超几何分布的概率可知, 当 0 个正品 4 个次品时 P1= C4 4 C10 4 ? 1 210. 当 1 个正品 3 个次品时 P2= C6 1C 4 3 C10 4 ? 24 210 ? 4 35. 所以正品数比次品数少的概率
5、为 P1+P2= 5 42. 故选 A. 答案 A 3 5.将一枚硬币连掷三次,出现“2 个正面,1 个反面”的概率是;出现“1 个正面,2 个反面”的概 率是. 解析设正面向上为事件 A,则 P(A)=1 2, “2 个正面,1 个反面”的概率为C3 2P(A)2(1-P(A)=3 1 2 2 1-1 2 =3 8, “1 个正面,2 个反面”的概率为C3 1P(A)(1-P(A)2=31 2 1- 1 2 2=3 8. 答案3 8 3 8 能力提升练 1.有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若从零件中任取 3 个,那么至少有 1 个是一等品的概率 是() A. C16 1
6、 C4 2 C20 3 B. C16 2 C4 2 C20 3 C. C16 2 C4 1+C 16 3 C20 3 D.1- C4 3 C20 3 解析全部都是二等品的概率为 C4 3 C20 3 ,故至少有 1 个是一等品的概率为 1- C4 3 C20 3 ,故选 D. 答案 D 2.(2020 辽宁高一期末)某射击运动员射击一次命中目标的概率为 p,已知他独立地连续射击三次,至少 有一次命中的概率为37 64,则 p 为( ) A.1 4 B.3 4 C.3 3 8 D. 37 8 解析因为射击一次命中目标的概率为 p,所以射击一次未命中目标的概率为 1-p. 因为每次射击结果相互独立
7、,所以三次都未命中的概率为(1-p)3. 4 因为连续射击三次,至少有一次命中的对立事件为三次都未射中,所以连续射击三次,至少有一次 命中的概率为 1-(1-p)3=37 64,解得 p= 1 4. 故选 A. 答案 A 3.(多选)若随机变量B 5,1 3 ,则 P(=k)最大时,k的值可以为() A.1B.2C.4D.5 解析依题意 P(=k)=C5 ? 1 3 k 2 3 5-k,k=0,1,2,3,4,5. 可以求得 P(=0)= 32 243,P(=1)= 80 243,P(=2)= 80 243,P(=3)= 40 243,P(=4)= 10 243,P(=5)= 1 243.故当
8、 k=2 或 1 时,P(=k)最大.故选 AB. 答案 AB 4.(2019 内蒙古高三月考)连续投掷 2 枚大小相同,质地均匀的骰子 3 次,则恰有 2 次点数之和不小于 10 的概率为() A. 1 12 B. 5 72 C. 1 15 D. 5 216 解析连续投掷 2 枚大小相同,质地均匀的骰子 1 次,基本事件总数 n=66=36,出现向上的点数之和不 小于 10 包含的基本事件有:(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共有 6 个,所以每次投掷,两骰子点数之和 不小于 10 的概率为1 6,又投掷 3 次,相当于 3 次独立重复试验,故恰有两次点
9、数之和不小于 10 的概率 为C3 2 1 6 25 6 ? 5 72.故选 B. 答案 B 5.(2019 天津静海大邱庄中学高三月考)已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是 0.8,则该射击运 动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率为() A.0.85B.0.819 2C.0.8D.0.75 5 解析因为某射击运动员,每次击中目标的概率都是 0.8,则该射击运动员射击 4 次看作 4 次独立重复 试验,则至少击中 3 次的概率C4 3(0.8)3(1-0.8)+0.84=0.819 2. 答案 B 6.数学老师从 6 道习题中随机抽 3 道让同学检测,规定至少要解答正确 2 道题才能及
10、格.某同学只能 求解其中的 4 道题,则他能及格的概率是. 解析由超几何分布的概率公式可得,他能及格的概率是 P(X2)=P(X=2)+P(X=3)= C4 2C 2 1 C6 3 + C4 3C 2 0 C6 3 ? 4 5. 答案4 5 7.(2019 江苏泰州中学高二期中)如图,在小地图中,一机器人从点 A(0,0)出发,每秒向上或向右移动 1 格到达相应点,已知每次向上移动 1 格的概率是2 3,向右移动 1 格的概率是 1 3,则该机器人 6 秒后到达点 B(4,2)的概率为. 解析由题意,可得 6 秒内向右移动 4 次,向上移动 2 次,则所求概率为C6 4 1 3 4 2 3 2
11、=20 243. 答案 20 243 8.(2019 天津南开中学高三月考)甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏,每队 3 人.随机播放一首歌曲,参赛 者开始抢答,每人只有一次抢答机会,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概 率均为2 3,乙队中 3 人答对的概率分别为 2 3, 1 3, 1 2,且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)若比赛前随机从两队的 6 个选手中抽取两名选手进行示范,求抽到的两名选手在同一个队的概率; (2)用表示甲队的总得分,求随机变量的分布列和数学期望; (3)求两队得分之和大于 4 的概率. 6 解(1)6 个选手中抽取两名选手共有C6 2=15
12、种结果,抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队, 共有 2C3 2=6 种结果. 用 A 表示事件:“从两队的 6 个选手中抽取两名选手,抽到的两名选手在同一个队.” P(A)= 6 15 ? 2 5. 故从两队的 6 个选手中抽取两名选手进行示范,抽到的两名选手在同一个队的概率为2 5. (2)由题意知,的可能取值为 0,1,2,3,且B 3,2 3 , P(=0)=C3 0 1 3 3=1 27, P(=1)=C3 1 2 3 1 3 2=2 9, P(=2)=C3 2 2 3 2 1 3 =4 9, P(=3)=C3 3 2 3 3=8 27. 所以的分布列为 0 123 P 1 2
13、7 2 9 4 9 8 27 (3)用 B 表示事件:“两队得分之和大于 4”,包括:两队得分之和为 5,两队得分之和为 6,用 A1表示事 件:“两队得分之和为 5”,包括甲队 3 分乙队 2 分和乙队 3 分甲队 2 分. P(A1)= 2 3 3 2 3 ? 1 3 ? 1 2 + 2 3 ? 2 3 ? 1 2 + 1 3 ? 1 3 ? 1 2 +4 9 2 3 ? 1 3 ? 1 2 = 40 243. 7 用 A2表示事件:“两队得分之和为 6”,甲队 3 分乙队 3 分,P(A2)= 2 3 32 3 ? 1 3 ? 1 2 ? 8 243. P(B)=P(A1)+P(A2)=
14、 40 243 + 8 243 ? 48 243 ? 16 81. 素养培优练 1.(2019 广东高二期末)某同学通过英语听力测试的概率为1 2,他连续测试 n 次,要保证他至少有一次通 过的概率大于 0.9,那么 n 的最小值是() A.3B.4C.5D.6 解析由题意可得,1-C? 0 1-1 2 n0.9, 即 1 2 n0.1,所以 n4,故选 B. 答案 B 2.(2020 浙江高三专题练习)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先 胜 4 局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求乙以 4 比 1 获胜的概率; (2)
15、求甲获胜且比赛局数多于 5 局的概率. 解(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是1 2,记“乙以 4 比 1 获胜”为事件 A,则 A 表示前 4 局乙赢了 3 局甲赢了一局,且第五局乙赢,所以 P(A)=C4 3 1 2 31 2 ? 1 2 ? 1 8. (2)记“甲获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B,则 B 表示甲以 4 比 2 获胜,或甲以 4 比 3 获胜. 因为甲以 4 比 2 获胜,表示前 5 局比赛中甲赢了 3 局且第六局比赛中甲赢了,这时,无需进行第 7 局比赛,故甲以 4 比 2 获胜的概率为C5 3 1 2 3 1 2 21 2 ? 5 32. 8 甲以 4 比 3 获胜,表示前 6 局比赛中甲赢了 3 局且第七局比赛中甲赢了,故甲以 4 比 3 获胜的概 率为C6 3 1 2 3 1 2 31 2 ? 5 32,所以 P(B)= 5 32 + 5 32 ? 5 16.
