1、课时分层作业课时分层作业(十二十二)独立性与条件概率的独立性与条件概率的 关系关系 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1下列事件中，A，B 是相互独立事件的是() A一枚硬币掷两次，A“第一次为正面”，B“第二次为反面” B袋中有 2 白、2 黑的小球，不放回地摸两球，A“第一次摸到白球”， B“第二次摸到白球” C掷一枚骰子，A“出现点数为奇数”，B“出现点数为偶数” DA“人能活到 20 岁”，B“人能活到 50 岁” A把一枚硬币掷两次， 对于每次而言是相互独立的， 其结果不受先后影响， 故 A 项是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然 A 事件与 B 事件不相互独 立；对于 C
2、，A，B 应为互斥事件，不相互独立；D 是条件概率，事件 B 受事件 A 的影响故选 A. 2若 0P(A)1，且 P(B|A)P(B)若 P(A )0.6，P(B|A)0.2，则 P(AB) 等于() A0.12B0.8 C0.32D0.08 D由 P(B|A)P(B)可知事件 A，B 相互独立， P(B|A )P(B)0.2， 又 P(A )0.6，P(A)0.4， 所以 P(AB)P(A)P(B)0.40.20.08.故选 D. 3从甲袋中摸出一个红球的概率是1 3，从乙袋中摸出一个红球的概率是 1 2， 从两袋各摸出一个球，则2 3表示( ) A2 个球不都是红球的概率 B2 个球都是
3、红球的概率 C至少有 1 个红球的概率 D2 个球中恰有 1 个红球的概率 C分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件 A，B，则 P(A)1 3，P(B) 1 2， 由于 A，B 相互独立，所以 1P( A )P( B )12 3 1 2 2 3.根据互斥事件可知 C 正确 4甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军， 乙队需要再赢两局才能得冠军若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概 率为() A.3 4 B.2 3 C.3 5 D.1 2 A问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率 P11 2；第二类，需比 赛 2 局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率 P21 2 1
4、2 1 4.故甲队获得冠军的概率 为 P1P23 4. 5如图所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等， 那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是() A.4 9 B.2 9 C.2 3 D.1 3 A“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件 A， 则 P(A)4 6 2 3， “右边圆 盘指针落在奇数区域”记为事件 B，则 P(B)2 3，事件 A，B 相互独立，所以两 个指针同时落在奇数区域的概率为2 3 2 3 4 9，故选 A. 二、填空题 6在甲盒内的 200 个螺杆中有 160 个是 A 型，在乙盒内的 240 个螺母中有 180个是A型 若从甲、 乙两盒内各取一个，
5、则能配成A型螺栓的概率为_ 3 5 “从 200 个螺杆中， 任取一个是 A 型”记为事件 B.“从 240 个螺母中任 取一个是 A 型”记为事件 C，则 P(B)C 1 160 C1200，P(C) C1180 C1240. P(BC)P(B)P(C)C 1 160 C1200 C1180 C1240 3 5. 7甲、乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相 同，其中甲袋装有 4 个红球、2 个白球，乙袋装有 1 个红球、5 个白球，现分别 从甲、乙两袋中各抽取 1 个球，则取出的两个球都是红球的概率为_ 1 9 由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事
6、件相 互独立，且从甲袋中取出红球的概率为4 6 2 3，从乙袋中取出红球的概率为 1 6，所 以所求事件的概率为2 3 1 6 1 9. 8台风在危害人类的同时，也在保护人类台风给人类送来了淡水资源， 大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡甲、乙、丙三颗卫 星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是 _ 0.902设甲、乙、丙预报准确依次记为事件 A，B，C，不准确记为 A ，B， C ， 则 P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，P( A )0.2， P( B )
7、0.3，P( C )0.1， 至少两颗预报准确的事件有 AB C ，A B C，ABC，ABC，这四个事件两两 互斥且独立 所以至少两颗预报准确的概率为 PP(AB C )P(A B C)P( A BC)P(ABC) 0.80.70.10.80.30.90.20.70.90.80.70.9 0.0560.2160.1260.5040.902. 三、解答题 9.三个元件 T1，T2，T3正常工作的概率分别为1 2， 3 4， 3 4，且是互相独立的将 它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图所示的电路中， 求电路不发生故障的概率 解记“三个元件 T1，T2，T3正常工作”分别为事
8、件 A1，A2，A3，则 P(A1) 1 2，P(A 2)3 4，P(A 3)3 4. 不发生故障的事件为(A2A3)A1， 不发生故障的概率为 PP(A2A3)A1 1P( A 2)P( A 3)P(A1) 11 4 1 4 1 2 15 32. 10 从 1100 共 100 个正整数中，任取一数， 已知取出的一个数不大于 50， 求此数是 2 或 3 的倍数的概率 解设事件 C 为“取出的数不大于 50”，事件 A 为“取出的数是 2 的倍 数”，事件 B 为“取出的数是 3 的倍数” 则 P(C)1 2，且所求概率为 P(AB|C)P(A|C)P(B|C)P(AB|C) PAC PC
9、PBC PC PABC PC 2 25 100 16 100 8 100 33 50. 11(多选题)设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为1 9，A 发生 B 不发生 的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同，则下列说法正确的是() A事件 A 与 B 发生的概率相同 BP(A)1 3 CP(B)2 3 DP(A B)2 9 ACD因为事件 A，B 相互独立，由 P(A B)P(AB)可得1P(A)P(B) P(A)1P(B)，即 P(A)P(B) 又 P(A B)P(A)P(B)1 9， P(A )1 3，即 1P(A) 1 3，P(A) 2 3. P(A B)P(A)P(B) 12
10、 3 2 3 2 9. 结合选项可知 ACD 正确，故选 ACD. 12甲、乙两人独立解某道数学竞赛题，已知该题被甲单独解出的概率为 0.6，被甲、乙至少一人解出的概率为 0.92，则该题被乙单独解出的概率是() A0.32B0.2 C0.68D0.8 D设该题被乙单独解出的概率为 P，由题意可知甲、乙都没有解出该题的 概率为 10.92(10.6)(1P)，解得 P0.8，故选 D. 13 (一题两空)已知 A， B 是相互独立事件， 且 P(A)1 4， P(B) 2 3， 则 P(A |B) _，P(AB )_. 3 4 1 12 A，B 是相互独立事件，A 与B也是相互独立事件， P(
11、A |B)P(A)1P(A)11 4 3 4. P(AB )P(A)P(B)P(A)1P(B)1 4 12 3 1 12. 14本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租 车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费， 超过两小时的部分每小 时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车 点租车骑游(各租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为1 4， 1 2，两 小时以上且不超过三小时还车的概率分别是1 2， 1 4，两人租车时间都不会超过四小 时则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为_ 5 16 由题意可知，甲、乙在三小时
12、以上且不超过四个小时还车的概率分别 为1 4， 1 4， 设甲、 乙两人所付的租车费用相同为事件 A， 则 P(A) 1 4 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 5 16. 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 5 16. 15红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A，B，C 进行围棋比赛，甲对 A、乙 对 B、丙对 C 各一盘已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5. 假设各盘比赛结果相互独立求： (1)红队中有且只有一名队员获胜的概率； (2)求红队至少两名队员获胜的概率 解设甲胜 A 的事件为 D，乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C 的事件为 F， 则 D ，
13、E， F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件 因为 P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5， 由对立事件的概率公式知 P( D )0.4，P( E )0.5，P( F )0.5. (1)红队有且只有一名队员获胜的事件有 D E F ， D E F ， D E F，以上 3 个事件彼此互斥且独立 红队有且只有一名队员获胜的概率 P1P(D E F )( D E F )( D E F)P(D E F ) P( D E F ) P( D E F) 0.60.50.5 0.40.50.5 0.40.50.50.35. (2)法一： 红队至少两人获胜的事件有： DE F ， D E F，DEF， DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为 PP(DE F )P(D E F)P( D EF)P(DEF) 0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55. 法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队 都不获胜为事件 D E F ，且 P( D E F )0.40.50.50.1. 红队至少两人获胜的概率为 P21P1P( D E F )10.350.10.55.
