1、3.1.23.1.2排列与排列数排列与排列数 课标阐释思维脉络 1.正确理解排列的意义,掌 握写出所有排列的方法,加 深对分类讨论方法的理解, 发展学生的抽象能力和逻 辑思维能力. 2.掌握有关排列综合题的 基本解法,提高分析问题和 解决问题的能力,学会用分 类讨论思想解决问题. 激趣诱思知识点拨 “排列3”和“排列5”是中国体育彩票的两种类型,使用摇奖机、摇奖 球进行摇奖.“排列3”“排列5”共同摇奖,一次摇出5个号码,“排列3”的 中奖号码为当期摇出的全部中奖号码的前3位,“排列5”的中奖号码 为当期摇出的全部中奖号码,每日进行开奖. 你能预测当天的中奖号码吗? 激趣诱思知识点拨 一、排列
2、的定义 一般地,从n个不同对象中,任取m(mn)个对象,按照一定的顺序排 成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别 地,m=n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列. 激趣诱思知识点拨 名师点析 理解排列的定义应注意的问题 (1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定 顺序排列”. (2)只有当对象完全相同,并且对象的排列顺序也完全相同时,两个 排列才是同一个排列. (3)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序. (4)判断一个具体问题是不是排列问题,就看从n个不同对象中取出 m个对象后,在安排这m个对象时是有序还是无序,有序就是排列问 题,无序就
3、不是排列问题. (5)写出一个问题中的所有排列的基本方法有:字典排序法、树形 图法、框图法. 激趣诱思知识点拨 微练习 判断下列问题是否是排列问题: (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成平面直角坐标系内的点 的坐标; (2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会; (3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出 来的不同的出入方式. 解:(1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标, 哪一个数作为纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题. (2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题. (3)因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题
4、. 激趣诱思知识点拨 二、排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同 对象中取出m个对象的排列数,用符号 表示. 名师点析 “排列”和“排列数”是两个不同的概念.排列是指“从n个不 同对象中,任取m个对象,按照一定顺序排成一列”,它不是一个数,而 是具体的一个排列(也就是具体的一件事);排列数是指“从n个不同 的对象中取出m个对象的所有排列的个数”,它是一个数 微练习 写出从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数的所有排列. 解:所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同 的两位数. 激趣诱思知识点
5、拨 三、排列数公式 1.排列数公式 名师点析 (1)这个公式只有在m,nN+,mn的情况下才成立(以后 不再说明). (2)公式右边是m个数的连乘积,它的第一个因数是n,后面的每一个 因数都比它前面的因数少1,最后一个因数为(n-m+1). 2.排列数公式的阶乘表示 激趣诱思知识点拨 微拓展 排列数的性质 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 排列数公式的排列数公式的应用应用 (2)用排列数表示(55-n)(56-n)(69-n)(nN+,且n55). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 排列数的计算方法 1.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连 续正整数的积可以
6、写成某个排列数,其中最大的数是排列元素的总 个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的 逆用. 2.应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公 因式,然后计算,这样往往会减少运算量. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 无限制条件的排列问题无限制条件的排列问题 例2(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少 种不同的送法? (2)有5种不同的书(每种不少于3本),要买3本送给3名同学,每人各1 本,共有多少种不同的送法? 分析(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,每人得到的书 不同,属于求
7、排列数问题;(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任 选1本,每人得到哪本书互相没有联系,要用分步乘法计数原理进行 计算. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,对应于从5个不 同元素中任取3个元素的一个排列,因此不同送法的种数是 =543=60,所以共有60种不同的送法. (2)由于有5种不同的书,送给每个同学的每本书都有5种不同的选购 方法,因此送给3名同学,每人各1本书的不同方法种数是 555=125,所以共有125种不同的送法. 反思感悟 无限制条件的排列问题的求解策略 1.没有限制的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特 别的
8、限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可. 2.对于不属于排列的计数问题,注意利用计数原理求解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练2将3张电影票分给10人中的3人,每人1张,共有 种不同的分法. 解析:问题相当于从10个人中选出3个人,然后进行全排列,这是一个 排列问题.故不同分法的种数为 =1098=720. 答案:720 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题 例3有3名男生、4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总 数. (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边; (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边; (3)
9、全体排成一行,其中男生必须排在一起; (4)全体排成一行,男、女各不相邻; (5)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变; (6)排成前后两排,前排3人,后排4人. 分析分析题意,确定限制条件,先排特殊位置或特殊元素,再排其他 元素. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 1.排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置,可 采用位置分析法或元素分析法进行排列.应记住相邻、相间、定序、 分排等常见问题的解法. 2.元素相邻和不相邻问题的解题策略 限制条件解题策略 元素相邻 通常采用“捆绑”法,即把相邻元
10、素看作一个 整体参与其他元素的排列 元素不相邻 通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元 素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排 列的空中 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练3有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多 少种不同的排法? (1)甲不在中间,乙必在两端; (2)甲不在左端,乙不在右端; (3)男、女生分别排在一起; (4)男女相间; (5)男生不全相邻. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 例4用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位 奇数?(2)个位数字不是5的六位数?(3)不大于4 310的
11、四位偶数? 分析这是一道有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条 件,遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外,还可以用间接 法求解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 排数字问题常见的解题方法 1.“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排 首位. 2.“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法 计数原理进行计算.要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是 分类过程要做到不重不漏. 3.“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列
12、数. 4.“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究 本例条件不变,可以组成多少个能被5整除的五位数? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 分类讨论思想在排列中的应用分类讨论思想在排列中的应用 分类的要求:(1)类与类之间要互斥(保证不重复); (2)总数要完备(保证不遗漏). 典例 从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数作系数,可以组成多少个 不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有几个? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 方法点睛 该题的限制条件较隐蔽,需仔细分析.一元二次方程中 a0需要考虑到,而对于有
13、实根的一元二次方程,需要考虑两点:一是 a不为0;二是b2-4ac0.解决排列问题时,既要搞清哪些是特殊元素、 特殊位置,又要根据问题进行合理地分类、分步,选择合适的解法. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.456(n-1)n等于() 解析:原式可写成n(n-1)654,故选D. 答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.已知下列问题: 从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小 组; 从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; 从a,b,c,d四个字母中取出2个字母; 从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有() A.1个B.
14、2个 C.3个 D.4个 解析:是排列问题,因为两名同学参加的学习小组与顺序有关; 不是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序无关;不是排列 问题,因为取出的两个字母与顺序无关;是排列问题,因为取出的 两个数字还需要按顺序排列. 答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为() A.8B.24C.48 D.120 答案:C 4.甲、乙、丙、丁四人轮流读同一本书,则甲首先读的安排方法有 种. 解析:甲在首位,相当于乙、丙、丁全排列,即有 =6种. 答案:6 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 5.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名 班委进行职务具体分工. (1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少 种不同的分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多 少种不同的分工方案?
