1、4 4.2 2.3 3二项分布与超几何分布二项分布与超几何分布 课标阐释思维脉络 1.理解n次独立重复试验的模型, 掌握二项分布,并能利用它们解 决一些简单的实际问题. 2.理解超几何分布的意义,能够 利用超几何分布的概率公式解 决实际问题. 3.通过本节的学习,体会模型化 思想在解决问题中的作用,感受 概率在生活中的作用,提高数学 应用能力. 激趣诱思知识点拨 解放军部队打仗前总要召开“诸葛亮”会,战役指挥共同研究作战方 案,力争百战百胜. 不少企业成立智囊团,帮助企业发展.日本松下公司鼓励员工提出 合理化建议,谁提得多而有成效的建议,就给予谁奖励.这大大调动 了职工的积极性,充分发挥员工的
2、聪明才智,助力公司飞跃发展. “三个臭皮匠顶个诸葛亮”是中国民间广为流传的一句谚语,从上面 的事实来看,这句谚语是很有道理的,下面我们从概率的角度来探 讨一下这个问题. 假如刘备手下有诸葛亮和9名谋士组成的智囊团,假定对某事进行 决策时,每名谋士决策正确的概率为0.7,诸葛亮决策正确的概率为 0.85.现在为某事能否可行而征求每位谋士的意见,并按多数人的意 见做出决策.试比较诸葛亮和智囊团决策正确的概率. 激趣诱思知识点拨 一、n次独立重复试验与二项分布 1.n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相 互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
3、 2.二项分布 一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n 次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是 0,1,k,n,而且P(X=k)= pkqn-k,k=0,1,n. 因此X的分布列如下表所示 X01kn Pp0qnp1qn-1pkqn-kpnq0 激趣诱思知识点拨 此称X服从参数n,p的二项分布,记作XB(n,p). 名师点析 (1)二项分布是n次独立重复试验在k取遍0,1,2,n各种 情况下的一个分布列. (2)在XB(n,p)中,X可以取0,1,2,n中的任意值,而在n次独立重复 试验中,X却是一个具体结果;注意掌握表示符号n,p的具体含义
4、,并 习惯用符号表示具体的分布列. 激趣诱思知识点拨 微思考1 独立重复试验满足什么条件? 提示:(1)每次试验是在相同的条件下进行的; (2)各次试验的结果互不影响,即每次试验是相互独立的; (3)每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生. 激趣诱思知识点拨 微思考2 二项分布与两点分布有什么关系? 提示:(1)两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件A 发生(X=1)或不发生(X=0);二项分布是指在n次独立重复试验中事 件A发生的次数X的分布列,试验次数为n次,每次试验的结果也只有 两种:事件A发生或不发生,试验结果有n+1种:事件A恰好发生0次,1 次,2次,n次.
5、 (2)二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分 布,即n=1的二项分布. 激趣诱思知识点拨 二、超几何分布 1.定义:一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件 (MN),从所有物品中随机取出n件(nN),则这n件中所含甲类物品 数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数, 其中s是M与n中的较小者,t在n不大于乙类物品件数(即nN-M)时 取0,否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M),而且 激趣诱思知识点拨 2.超几何分布列 如果XH(N,n,M)且n+M-N0,则X能取所有不大于s的自然数,此时 X的分布列如下表: 名师点析 求
6、超几何分布列的步骤 (1)验证随机变量是否服从超几何分布,并确定参数N,M,n; (2)确定X的所有可能取值; (3)利用超几何分布公式计算P(X=k); (4)写出分布列(用表格或式子表示). X01ks P 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 n次独立重复试验概率的求法次独立重复试验概率的求法 例1现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参 加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子 决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷 出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率; (2)求这4个人中去参加甲游
7、戏的人数大于去参加乙游戏的人数的 概率. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 n次独立重复试验概率求法的三个步骤 (1)判断:依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重 复试验; (2)分拆:判断所求事件是否需要拆分; (3)计算:就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利 用互斥事件概率加法公式计算. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练1某气象站天气预报的准确率为70%,计算(结果保留到小 数点后面第2位): (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率. 探究一探究二
8、探究三探究四素养形成当堂检测 二项分布二项分布 例2某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则 视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通 过初审不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进 行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得 每位初审专家通过的概率均为 ,复审能通过的概率为 ,各专家评 审的结果相互独立. (1)求某应聘人员被录用的概率; (2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列. 分析解答本题可根据二项分布的概率计算方法解答,同时注意互斥 事件概率公式的应用. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探
9、究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟 1.本例属于二项分布,当X服从二项分布时,应弄清 XB(n,p)中的试验次数n与成功概率p. 2.解决二项分布问题的关键 对于公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)必须在满足“独立重复 试验”时才能运用,否则不能应用该公式. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练2在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位 考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性 均为 . (1)求其中甲、乙两名考生选做同一道题的概率; (2)设这4名考生中选做第15题
10、的考生数为,求的分布列. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 超几何分布超几何分布 例3在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可 获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其 余6张没有奖品. (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列; (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张, 求顾客乙中奖的概率; 设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列. 分析(1)从10张奖券中抽取1张,其结果有中奖和不中奖两种,故X服 从两点分布.(2)从10张奖券中任意抽取2张,其中含有中奖的奖券的 张数服
11、从超几何分布. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 因此随机变量Y的分布列为 反思感悟 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范 围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记 忆. (2)超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的 概率P(X=k),从而求出X的分布列. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练3老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要 背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的
12、6篇,试求: (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列; (2)该同学能及格的概率. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 概率的综合应用概率的综合应用 (1)求随机变量的分布列; (2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示 “甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB). 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 延伸探究 在本例条件下,试若求事件“甲、乙两队总得分之和大于 4”的概率. 解:用E表
13、示“甲、乙两队总得分之和大于4”这一事件,包括“总得分 之和等于5”与“总得分之和等于6”. 用F表示“甲、乙两队总得分之和等于5”这一事件,包括“甲队3 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 判断随机变量服从二项分布的方法判断随机变量服从二项分布的方法 典例 1下面三个随机变量: 随机变量X表示重复投掷一枚硬币n次,正面向上的次数; 有一批产品共有N件,其中M件是次品,采用有放回抽取的方法,X 表示n次抽取中出现次品的件数; 随机变量X表示n次射击命中目标的次数. 其中,服从二项分布的是. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 答案: 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 典例
14、2气温的变化已引起人们的关注,据某地气象部门统计,该地区 每年最低气温在-2 以下的概率是 .设X为该地区从2020年到 2025年最低气温在-2 以下的年数,求X的分布列. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 方法点睛 判断随机变量是否服从二项分布的方法,关键是看它是 否服从二项分布的三个特点: (1)独立性:即试验之间互不影响且一次试验中,事件发生与否二者 必居其一. (2)重复性:即试验在相同条件下独立重复地进行了n次. (3)稳定性:每次试验,事件发生与否的概率是不变的. 满足上述三个特点,该随机
15、变量就服从二项分布. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 1.有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件 数,则P(X1)=() 答案:B 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 3.某处有水龙头3个,调查表明每个水龙头被打开的可能性是0.1,随 机变量X表示同时被打开的水龙头的个数,则P(X=2)= (用数字作答). 解析:由于每个龙头被打开的概率为0.1,根据二项分布概率计算公 式有P(X=2)= (0.1)20.9=0.027. 答案:0.027 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量表示 所选3人中女生的人数. (1)求的分布列; (2)求“所选3人中女生人数1”的概率. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测
