1、7.4 数学建模活动：周期现象的描述课时练习数学建模活动：周期现象的描述课时练习 A 级级巩固基础巩固基础 一、单选题一、单选题 1已知函数 ( )f x对任意xR，都有(2)( )f xf xk (k为常数)，当0,2x时， 则 2 ( )1f xx，则(5)f（） A1B2C3D5 2干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法、干支是天干和地支的总 称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、 未，申、西、戌、亥为地支.把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对 寅、癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戊、乙对亥、接下来 地支
2、循环，丙对子、丁对丑、.，以此用来纪年，今年 2020 年是庚子年，那么中华人民 共和国建国 100 周年即 2049 年是（） A戊辰年B己巳年C庚午年D庚子年 3奇函数 fx对任意xR都有 1 3f x f x ，且3, 1x 时， 21fxx，则2018f（） A-3B3C-1D1 4如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转4圈，水 轮上的点P到水面距离 y m与时间 x s满足关系式sin2yAx，则有 （） A 5 12 ，3A B 2 15 ，3A C 5 12 ，5A D 2 15 ，5A 5电流强度 I（安培）随时间 t（秒）变化的函数sin()(0)I
3、At的图象 如图所示，则 t 为 7 120 （秒）时的电流强度为（） A0B 5 2 C10 2D 10 2 6下表是某市近 30 年来月平均气温（）的数据统计表： 月份123456789101112 月平 均气 温 5.93.32.29.315.120.322.822.218.211.94.32.4 则适合这组数据的函数模型是（） Acos 6 x ya B (1) cos(0,0) 6 x yak ak C (1) cos(0,0) 6 x yak ak Dcos3 6 x ya B 级级综合应用综合应用 二、填空题二、填空题 7已知定义在R上的函数 fx，满足 1 1 5 f，且对任意
4、的x都有 1 3f x f x ，则2020f_ 8设函数 ( )f x是以 2 为最小正周期的周期函数，且0,2x 时， 2 ( )(1)f xx，则 7 2 f _. 9如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要_往返一次. 10在电流强度(A)I与时间( )t s的关系sin()(0,0)IAxA中，要使 t 在 任意 1 s 100 的时间内电流强度 I 能取得最大值 A 与最小值A，则正整数的最小值为 _. 11 下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度(m)h在某天 024 时的变化情况， 则水面高度 h 关于时间 t 的函数解析式为_. 三、解答题三、解答题 12已知一简谐振动的
5、函数解析式为( )2sin| 42 f xx ，其图像经过点 (0,1)，则该简谐振动的最小正周期T和分别是多少？ 13交流电的电压E（单位：V）与时间t（单位：s）的关系可用 220 2 sin 100 6 Et 来表示，求： （1）开始时的电压； （2）电压值重复出现一次的最短时间间隔； （3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间. C 级级拓展探究拓展探究 14电流强度 I A随时间 s t 变化的关系式是 sin0,0, 2 IAtA . （1）若sinIAt在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出 sinIAt的解析式； （2） 为了使sinIAt中的t在任意一个 1 s 100
6、的时间段内电流强度I能取得最 大值与最小值，那么正整数的最小值是多少？ 15 某海滨浴场一天的海浪高度 y m是时间 024htt 的函数， 记作 yf t， 下表是某天各时的浪高数据： t03691215182124 y 1.51.00.51.01.51.00.50.991.5 （1）选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度 y m与时间 ht的函数 关系； （2）依据规定，当海浪高度不少于1m时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据（1） 的结论，判断一天内的8h至20h之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？ 参考答案参考答案 1B 【分析】 由题设可得函数的周期为 4，从而可得(5
7、)(1)ff，再根据已知的解析式可求(5)f的值. 【详解】 因为 01,25ff，故(02)(0)5ffk， 所以(2)( )5f xf x，所以(4)(2)5f xf x，故(4)( )f xf x， 所以函数的周期为 4，故 2 (5)(1)112ff ， 故选：B. 【点睛】 本题考查函数的周期性以及函数值的计算， 一般地， 如果()( )0,0f xaf xk ka， 那么函数 fx为周期函数且一个周期为2Ta，本题属于基础题. 2B 【分析】 由题意 2020 年是干支纪年法中的庚子年，则 2049 的天干为己,地支为 巳，即可求出答案. 【详解】 天干是以 10 为一周期，地支是
8、以 12 为一周期， 2020 年是干支纪年法中的庚子年，而20492020292 10+92 12+5 ，所以 2049 的天干为己,地支为 已， 故选：B. 【点睛】 本题考查数学文化， 实际生活中的数学应用， 关键在于运用阅读理解能力将生活中的数据和 用语转化为数学中的概念和数据，属于中档题. 3B 【分析】 由 1 3f x f x 得到 fx的周期为6，利用周期性、奇函数和3, 1x 时的解析 式求得2018f的值. 【详解】 由题意， 1 3f x f x ， 1 (3) f x f x ， 所以(3)(3)f xf x， fx的周期为6， 所以2018(336 62)(2)fff
9、 ， 又 fx为奇函数，所以(2)( 2)2213ff ， 即20183f. 故选：B 【点睛】 本题主要考查函数值的求法、周期性和奇偶性的应用，属于基础题. 4B 【分析】 根据题意可得出A的值，以及该函数的最小正周期，利用周期公式可求得的值，进而得 出结论. 【详解】 由题意可知 max 25yA，可得3A ，该函数的周期为 60 15 4 Ts， 22 15T . 故选：B. 【点睛】 本题考查三角函数解析式中参数的计算，考查计算能力，属于基础题. 5A 【分析】 根据最大值求出A，相邻图像最高点与最低点的横坐标求出周期进而求出，特殊点 1 ,10 300 代入函数解析式可求得 6 ，即
10、可求得函数解析式，再将 7 120 t 代入函数解 析式即可得解. 【详解】 由题图知10A，函数的周期 411 2 30030050 T ， 所以 22 100 1 50 T ，将点 1 ,10 300 代入10sin(100)It得 6 ，故函数 解析式为10sin 100 6 It ，再将 7 120 t 代入函数解析式得0I . 故选：A 【点睛】 本题考查根据三家函数图像求正弦型函数的解析式，观察图像，根据最值求得A，b，根据 周期求得，代入特殊点求出，属于基础题. 6C 【分析】 利用函数的最大值与最小值排除选项 A，D，再利用函数的单调性排除选项 B，从而得出符 合题意的函数.
11、【详解】 根据题意， 当7x 时， 函数取得最大值22.8y ， 当1x 时， 函数取得最小值5.9y 因 此排除选项 A，D； 又当1,7x时，函数 y 是单调递增的，当(7,12x时，函数 y 是单调递减的，由此排除 选项 B； 故选：C 【点睛】 本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，属于基础题. 75 【分析】 根据题意 1 (6)( ) (3) f xf x f x ， 1 (3) ( ) f x f x ， 转化 1 20204 1 ff f 求 解 【详解】 解：定义在R上的函数 ( )f x，对任意的x都有 1 (3) ( ) f x f x ， 1 (6)( ) (3)
12、f xf x f x ， ( )f x是周期为 6 的函数， 5 1 1f 11 20206336445 1 1 5 fff f 故答案为：5 【点睛】 本题考查了函数的性质，运用周期性求函数值，属于中档题 8 1 4 【分析】 根据 ( )f x是以 2 为最小正周期的周期函数,将 7 2 f 整理成 33 2 22 ff ,又因为 3 0,2 2 ,则根据 2 ( )(1)f xx求解即可. 【详解】 解：因为 ( )f x是以 2 为最小正周期的周期函数, 733 2 222 fff , 又因为0,2x时, 2 ( )(1)f xx 2 7331 1 2224 ff 故答案为： 1 4
13、【点睛】 本意考查函数的周期性,是基础题. 90.8s 【分析】 观察图像求出周期即可得解. 【详解】 由图象知周期0.800.8T ，则这简谐运动需要 0.8s 往返一次. 故答案为：0.8s 【点睛】 本题考查简谐运动的周期，属于基础题. 10629 【分析】 由题意得 1 100 T，代入正弦型函数的周期计算公式可求得200，即可得解. 【详解】 由题意得 1 100 T，即 21 100 ， 200， 正整数的最小值为 629. 故答案为：629 【点睛】 本题考查正弦型函数的周期性，属于基础题. 116sin,0,24 6 ht t 【分析】 根据函数图像求出6,12AT，再求出，将
14、特殊点(6,0)代入函数解析式求出，即可 求得函数解析式. 【详解】 解析根据题图设sin()hAt，则6,12AT， 2 12 ， 6 . 将点(6,0)作为“五点法”作图中的第一点， 60 6 ， ， 6sin6sin 66 htt ，0,24t. 故答案为：6sin,0,24 6 ht t 【点睛】 本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，根据最值求出 A，根据周期求出，再代入 特殊点求出，即可求得函数解析式，属于基础题. 12最小正周期 8， 6 . 【分析】 利用周期公式计算最小正周期T,代入点(0,1)求得 1 sin 2 ,再根据| 2 求解即可. 【详解】 该简谐振动的函数解
15、析式为( )2sin| 42 f xx , 最小正周期 2 8 4 T . 又函数的图像过点(0,1), 将点(0,1)代入函数解析式,得2sin1,即 1 sin 2 . 又| 2 , 6 . 【点睛】 本题主要考查了三角函数最小正周期与解析式的求法,属于基础题. 13 （1）110 2V（2）0.02s.（3） 1 300 s 【解析】 【分析】 (1)代入0t 求解即可. (2)电压值重复出现一次的最短时间间隔即为求解最小正周期. (3)由题意令100 62 t 再求解即可. 【详解】 （1）当0t 时, 110 2E ,即开始时的电压为110 2V. （2）最小正周期 21 10050
16、 T ,即时间间隔为0.02s. （3） 电压的最大值为220 2V,当100 62 t 时, 1 300 t ,即第一次取得最大值的时间 为第 1 300 s. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的实际运用,属于基础题. 14 （1）300sin 100 3 It ； （2）629. 【分析】 （1）根据最值求A， 211 60300 T 求，最后代入五点中的 1 ,0 300 求； （2）根据已知可知 1 100 T ，根据不等式求的范围和最小值. 【详解】 （1）由图，可知300A . 111 6030050 T ， 2 100 T ，300sin 100It . 将点 1 ,0 300
17、代入解析式，得2 3 k ，kZ， 2 3 k ，kZ. 2 ， 3 ，300sin 100 3 It . （2）由题意，知 21 100 ，200， 正整数的最小值为 629. 【点睛】 本题考查根据三角函数的图象求函数解析式，以及根据函数周期求参数的取值范围，根据 sinyAxb0,0A的图象求函数的解析式，一般求解方法是根据最大值 和最小值列方程组， max min yAb yAb ，求,A b，根据图象零点或极值点之间的长度得到函 数的周期，求，最后代入五点中的一个点求. 15 （1） 1 cos1 024 26 ytt ； （2）9h至15h 【分析】 （1）首先画出散点图，根据散点
18、图的形式可设 sin0,0, 2 yAth A ，根据图象的最高点和最低点可知 30 10 Ah Ah ，求,A h，再根据半周期求，最后代入0 x 函数取得最大值，代入求； （2）根据1y ，可求t的取值范围. 【详解】 （1）以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示： 依据散点图， 可以选用函数sin0,0, 2 yAth A 来近似描述这个海 滨浴场的海浪高度 y m与时间 ht的函数关系.从表中数据和散点图，可知 1.50.51 22 A ，12T ， 所以 2 12 ，得 6 . 又 1.50.5 1 2 h ，于是 1 sin1 26 yt . 由图
19、，知02 62 k ，kZ， 又 2 ，所以 2 ，从而 1 sin1 262 yt ，即 1 cos1 024 26 ytt . （2）由题意，可知1y ，所以 1 cos11 26 t ，即cos0 6 t ， 所以22 262 ktkk Z，即123123ktkk Z. 又024t ，所以03t 或915t 或2124t . 故一天内的8h至20h之间有6h可供冲浪爱好者进行冲浪，即9h至15h. 【点睛】 本题考查sinyAx的解析式的求法，以及三角函数的简单应用，根据 sinyAxb0,0A的图象求函数的解析式，一般求解方法是根据最大值 和最小值列方程组， max min yAb yAb ，求,A b，根据图象的零点和极值点之间的长度求函 数的周期，求，最后代入五点中的一个点求.
