1、人教人教 B 版（版（2019）第八章向量的数量积与三角恒等变换）第八章向量的数量积与三角恒等变换综合综合 检测题检测题 一、单选题一、单选题 1sin75 cos15sin15 cos75 （） A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 2已知向量(1, )ax ，( 2,4)b ， / /ab ，则a b （） A10B 4C6D2 3已知 tan，tan是一元二次方程 x2+2x50 的两实根，则 tan(+)（） A 1 3 B 1 2 C 1 2 D 1 3 4已知向量a ，b 满足：2 3,4,12aba b ，则向量a ，b 的夹角为（） A 6 B 3 C 2 3 D 5
2、 6 5设向量,1am ，1,2b ，且 22 2 abab ，则m（） A1B2 C1D2 6已知1a ，2b ，且aab ，则向量a 与向量b 的夹角为（） A 6 B 4 C 3 D 2 3 7已知sin2sin 2 ，则cos2（） A 3 5 B7C 3 5 - -D3 8平面向量1,2a ，4,2b ，c mab （mR） ，且c 与a 的夹角与c 与b 的夹角互补，则m（） A2B1C1D2 9在ABC中， 2 26,ABACBA BCBA ，点P是ABC所在平面内一点， 则当 222 PAPBPC 取得最小值时， AP BC () A9B9 C 27 2 D 27 2 10如图
3、所示，等边ABC的边长为2，/AM BC，且6AM .若N为线段CM的 中点，则AN BM （） A24B23C22D18 11若sin3cos0，则 2 cossin2 的值（） A2B2C 1 2 D 1 2 12函数 2 3sin22sinf xxx，若 12 3f xf x ，则 12 xx的最小值是 （ ） A 6 B 4 C 3 D 2 3 二、填空题二、填空题 13已知向量(2,),(1,2)amb ，且a b ，则实数m_. 14已知1,2a ，2,bm r ，若 /a b r r ，则3a b _. 15若 1 tan2 4 ，则tantan 44 _ 16设函数 3sinc
4、osf xxx的图像为C，有如下结论： 图象C关于直线 2 3 x 对称； fx的值域为2 2 ,； 函数 fx的单调递减区间是 2 2 ,2 33 kk kZ； 图象C向右平移 3 个单位所得图象表示的函数是偶函数. 其中正确的结论序号是_.（写出所有正确结论的序号）. 三、解答题三、解答题 17已知函数( )3sin 2cos 21 66 f xxxxR . (1)求函数 fx的最小正周期； (2)求使函数 fx取得最大值的 x 的集合. 18已知,1ax r ，4, 2b （1）当 / /ab 时，求 x 的值； （2）当a b rr 时，求2ab . 19已知向量a 与b 的夹角为12
5、0，2a ，1b . （1）若2ab ； （2）若2atbab ，求实数 t 的值. 20已知 1 sin 3 x ，, 2 x . （1）求cosx，sin2x的值； （2）求 cos() 4 x的值. 21已知函数 2 ( )2sin2sin cos1f xxxx （1）求 ( )f x的最小正周期； （2）若0, 2 ， 4 2 2245 f ，求cos的值 22已知O内接ABC，点D为边BC上一点，点E为边AC中点，AD与BE交 于点P，且 4BPPE （）若ADxAByAC （x，yR） ，求y x 的值； （）若2ABAC，则AO AD 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请 说
6、明理由 参考答案参考答案 1C 【分析】 利用两角和差正弦公式化简求得结果. 【详解】 3 cos15sin15 cos75sin 75sin7515sin60 2 . 故选：C. 【点睛】 本题考查利用两角和差正弦公式求值的问题，属于基础题. 2A 【分析】 先由 / /ab ，列方程求出x的值，再由向量的数量积坐标运算公式求解a b 【详解】 解：因为向量(1, )ax ，( 2,4)b ， / /ab ， 所以21 4x ，解得2x ， 所以(1, 2) a， 所以1 ( 2)( 2) 410a b ， 故选：A 【点睛】 此题考查了平行向量和向量的数量积，属于基础题. 3D 【分析】
7、利用韦达定理求得,tantantan tan，结合正切的和角公式即可求得结果. 【详解】 因为 tan，tan是一元二次方程 x2+2x50 的两实根， 故可得2tantan ；5tan tan ， 故可得 21 tan 11 53 tantan tan tan . 故选：D. 【点睛】 本题考查正切的和角公式，属简单题. 4A 【分析】 直接根据向量的夹角公式计算可得解. 【详解】 设向量a ，b 的夹角为， 因为a b |cosa b ，所以 123 cos 2|2 34 a b a b ， 又0, ，所以 6 . 故选：A. 【点睛】 本题考查了利用向量的夹角公式求夹角，属于基础题. 5
8、D 【分析】 先由 22 2 abab 得到 0a b ，再由向量数量积的坐标表示列出方程，即可得出结 果. 【详解】 因为 22 2 abab ，所以 22 22 2aba bab ，因此 0a b ， 又向量,1am ，1,2b ， 所以 20a bm ，解得2m . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查由向量数量积求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型. 6B 【分析】 由aab ，可得 2 10aabaa ba b ，根据cos , a b a b ab ，即可 求得答案. 【详解】 设向量a 与向量b 的夹角为，aab ， 2 10aabaa ba b ， 得 1a b ，
9、 又1a ，2b ， 2 cos 2 a b ab r r rr ，又0， 4 . 故选：B 【点睛】 本题主要考查了根据向量的数量积求向量夹角， 解题关键是掌握向量数量积公式， 考查了分 析能力和计算能力，属于基础题. 7C 【分析】 利用诱导公式和弦化切可得tan2， 再把cos2化成关于tan的代数式， 从而可求其值. 【详解】 由题设可得2sin 2 sin2cos ，而cos0， tan2， 222 222 cossin1tan3 cos2 cossin1tan5 ， 故选：C. 【点睛】 本题考查诱导公式、同角的三角函数的基本关系式、二倍角的余弦，注意根据角的差异、函 数名的差异、
10、代数式结构上的差异合理变形化简求值，本题属于基础题. 8A 【分析】 由c 与a 的夹角与c 与b 的夹角的余弦值相加为 0 求解 【详解】 由已知(4,22)cmm ， 44458 cos, 55 c ammm c a c acc ， 41644410 cos, 205 c bmmm c b c bcc ， c 与a 的夹角与c 与b 的夹角互补， 58 5 m c 410 0 5 m c ，解得2m 故选：A 【点睛】 本题考查平面向量的夹角，考查平面向量的数量积定义，属于基础题 9B 【分析】 2 BA BCBA 等价于0BABCBA 等价于 0BA AC 等价于ABAC,以A为 坐标原
11、点，直线 AB，AC 分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系，则 0,06,00,3ABC，设,P x y， 则 222 2222 2222 63323130PAPBPCxyxyxyxy ， 所以 222 21xyPAPBPC ，时， 最小，此时21P，时，2,1AP ， 6,3BC ， 9AP BC ;故选 B. 【详解】 请在此输入详解！ 10B 【分析】 根据题意，得到2 ACAB，AC 与AB 的夹角为60， 3AMBC ，推出 3 2 2 ANACAB ， 34BMACAB ，根据向量数量积的运算法则，即可求出结果. 【详解】 依题意知2 ACAB，AC 与AB 的夹角为60， 且 3A
12、MBC ， 又N为线段CM的中点， 所以 11313 32 22222 ANAMACBCACACABACACAB ， 3334BMAMABBCABACABABACAB ， 因此 22 325 23466 22 AN BMACABACABACAB ACAB 25 482 2 cos6023 2 . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查求平面向量的数量积， 熟记向量数量积的运算法则，以及平面向量基本定理即 可，属于常考题型. 11D 【分析】 先根据题意得tan3 ，再根据正弦的二倍角公式化简得 2 2 12tan1 cossin2 1tan2 . 【详解】 解：由sin3cos0得tan3 . 所
13、以 22 2 2222 cossin2cos2sincos cossin2 cossincossin 2 22 222 22 cos2sincos 12tan51 coscos cossin1tan102 coscos ， 故选：D. 【点睛】 本题解题的关键是将等式 2 cossin2 变形化简得 2 2 12tan cossin2 1tan ，进而求 解，考查运算求解能力，是中档题. 12A 【分析】 化简得 2sin 21 6 fxx ，由 12 3f xf x 可知 fx在 1 x， 2 x处取到最大 值和最小值， 不妨设在 1 x处有最大值， 2 x处取到最小值， 可得 1212 6
14、 xxkk , 1 k， 2 kZ,即可求出 12 xx的最小值. 【详解】 2 3sin22sin2sin 21 6 xxxfx ， 函数 fx的最大值为 3，最小值为1， 又 12 3f xf x ， fx在 1 x， 2 x处取到最大值和最小值， 不妨设在 1 x处有最大值，则 111 22() 62 xkkZ ，即 111 )( 3 xZkk ， 2 x处取到最小值，则 222 22() 62 xkkZ ，即 222 )( 6 xZkk ， 所以 1212 6 xxkk ， 1 k, 2 kZ， 所以当 12 0kk时， 12 xx的最小值为 6 . 【点睛】 结论点睛：正弦型函数 s
15、in00yAxh A， 最值： max yAh，当2 2 xk ， 22 , k xkZ 时取最大值； min yAh ，当2 2 xk ， 22 , k xkZ 时取最小值. 131 【分析】 根据a b ，由 0a b 利用坐标运算求解. 【详解】 因为向量(2,),(1,2)amb ，且a b ， 所以2 120m ， 解得1m ， 故答案为：-1 14 5 【分析】 由向量平行可得4m ，再求出3a b ，即可求出模. 【详解】 /a b r r Q ，4m，即4m ， 331,2 + 2, 41,2ab ， 2 2 31+25ab . 故答案为： 5. 15 1 2 【分析】 将ta
16、ntan 44 展开代入 1 tan2 4 即可. 【详解】 tantantantan 44 tantan 44 1tantan1tantan 44 22 22 tan1tan1tan1tan14tan2tan 22tan2 1tan1tan1tan1tan1tan1tan 因为 1 tan2 4 ，所以 1 tantan 442 . 故答案为： 1 2 16. 【分析】 化简函数 2sin 6 fxx 代入 2 3 x 求最值可判断；求出 fx的最值可判断； 求出函数 fx的单调递减区间可判断；求出 fx向右平移 3 个单位的解析式化简后可 判断. 【详解】 31 3sincos2sinco
17、s 22 fxxxxx 2 cossinsincos2sin 666 xxx ， 当 2 3 x 时， 22 2sin2 336 f ，取得最大值 2，故正确； 因为 2sin 6 fxx 的最大值为 2，最小值为2，所以 fx的值域为2 2 ,，故 正确； 令 3 22 262 kxk kZ，得 25 22 33 kxk ， 即 fx的单调递减区间是 25 2 ,2 33 kk kZ，故错误； 图象C向右平移 3 个单位得 2sin2sin2cos 362 yxxx 是偶函数， 故 正确. 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查了三角恒等变换， 以及三角函数的图象与性质的应用， 其中解答中利用
18、三角恒 等变换的公式，化简 fx的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着 重考查了推理与计算能力，属于基础题. 17(1)；(2) 5 , 12 x xkk Z 【分析】 （1）变形后，逆用两角差的正弦公式可得( )2sin 21 3 f xx ，再用周期公式可得 答案； （2）正弦函数的最大值可得答案. 【详解】 (1) 3sin 2cos 21 66 f xxx 31 2sin 2cos 21 2626 xx 2sin21 66 x 2sin 21 3 x ， f x的最小正周期为 2 2 T . (2)当 fx取得最大值时， sin 21 3 x ， 则22 32 xkk
19、Z ， 即 5 12 xkkZ ， 所求 x 的集合为 5 , 12 x xkkZ . 【点睛】 本题考查了逆用两角差的正弦公式，考查了周期公式，考查了正弦函数的最大值，属于基础 题. 18 （1）2（2）5 【分析】 （1）根据共线向量的坐标公式，即可求解； （2）由已知求出x，求出2a b 的坐标，根据模长公式，即可求解. 【详解】 解： （1）由 / /ab ，得 1 42 x 解得2x （2）当a b 时，有420 x，解得 1 2 x 23,4ab ， 2 2 2345ab 【点睛】 本题考查向量的坐标运算，涉及到共线向量、垂直、模长运算，属于基础题. 19 （1）2 3； （2）3
20、 【分析】 （1）先求出a b ，再求出 2 2ab ，即可得出结果； （2）由题可得 20atbab ，由此可求出t. 【详解】 （1）向量a 与b 的夹角为120，2a ，1b ， 1 =cos120 =2 11 2 a ba b ， 2 22 244441412abaa bb ， 22 3ab ； （2）2atbab ， 20atbab ， 即 22 220aa bta btb ， 2 4 120tt ，解得3t . 20 （1） 2 2 cos 3 x ， 4 2 sin2 9 x ； （2） 24 6 . 【分析】 (1)由 1 sin 3 x 及x的范围求得cosx，再利用二倍角的
21、正弦公式即可求得sin2x； (2)利用两角差的余弦公式直接代值求解即可. 【详解】 解： （1） 1 sin 3 x ， 2 x （ ， ）， 2 2 2 cos1 sin 3 xx 12 24 2 sin2 =2sin cos2() 339 xxx （2）cos()cos cossin sin 444 xxx 2 221224 32326 21 （1）； （2） 3 34 cos 10 【分析】 （1）由二倍角公式和两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正 弦函数性质得出结论； （2）已知条件即为 4 sin() 65 ，由平方关系求得cos() 6 ，然后由两角和的余
22、弦公 式计算 【详解】 解： （1） 2 ( )2sin2sin cos1f xxxx sin2cos2xx 22 2(sin2cos2 ) 22 xx 2sin(2) 4 x 所以( )f x的最小正周期为 （2）()2sin()2sin() 2241246 f 因为(0,),(,) 266 3 ， 所以 4 2 2sin() 65 ，即 4 sin() 65 所以 3 cos() 65 因为coscos () 66 cos()cossin()sin 6666 3341 = 5252 3 34 10 ， 所以 3 34 cos 10 【点睛】 思路点睛：本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦、
23、余弦公式，求三角函数的周期解题 思路是利用二倍角公式和两角和与差的正弦 （余弦）公式把函数式变形为一个角的一个三角 函数形式，即( )sin()f xAxk形式，然后结合正弦函数性质求解在求三角函数 值时， 要注意已知角和未知角的关系， 通过分析已知角和未知角的关系选用恰当的公式计算， 同时注意角的范围的判断 22 （） 1 3 ； （）是定值，定值为2. 【分析】 （）根据平面向量基本定理，由向量的运算法则，先得到 22 55 BPBCBA uuruuu ruur ，设 BCtBD uuu ruuu r ，根据三点共线的充要条件，得到 3 2 t ，再由向量运算法则，用AB 和AC 表 示出
24、AD ，结合题中条件，即可得出结果； （）根据向量数量积的几何意义，得到 2 1 2 AO ABAB ， 2 1 2 AO ACAC ，即可根 据（）的结果，求出AO AD 的值. 【详解】 （）因为点E为边AC中点，AD与BE交于点P，且 4BPPE ， 所以 44122 55255 BPBEBCBABCBA uuruuruuu ruuruuu ruur ， 又点D为边BC上一点，所以存在实数t，使得BC tBD uuu ruuu r ， 因此 2222 5555 BPBCBAtBDBA uuruuu ruuruuu ruur ， 因为A，P，D三点共线，所以 22 1 55 t ，则 3
25、2 t ， 即 3 2 BCBD uuu ruuu r ，所以 3 2 ACABADAB uuu ruuu ruuu ruuu r ，整理得： 12 33 ADABAC ， 又ADxAByAC ，所以 1 3 2 3 x y ，因此 1 3 yx； （）分别取AB，AC的中点M，N，连接OM，ON，则OMAB，ONAC， 所以 2 1 2 AO ABAB ， 2 1 2 AO ACAC ， 又2ABAC， 所以 22 121211 333363 AO ADAOABACAO ABAO ACABAC uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r 44 2 63 . 【点睛】 关键点点睛： 求解本题的关键在于利用平面向量基本定理，以及三点共线的充要条件，确定点D的具体 位置，即由 4BPPE ，结合题中条件，由A，P，D三点共线，求得 3 2 BCBD uuu ruuu r ，即可 求解.
