（2021新人教B版）高中数学必修第二册第6章 平面向量初步 （课件+课时知识对点练）.zip

第六章平面向量初步 6.1.1向量的概念 课时 25向量的概念 知识点一 位移与向量 1.下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度；路程；密 度；功其中不是向量的有() A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案D 解析一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和 方向由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而 质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量 2下列结论中正确的是() A对任一向量 a，|a|0 总是成立的 B模为 0 的向量的方向是不确定的 C向量就是有向线段 D任意两个单位向量的方向相同 答案B 解析若向量 a 为零向量，则|0|0，故 A 错误；模为 0 的向量为零向量， 零向量的方向是不确定的，B 正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形，而 向量是带方向的量，不是有向线段，C 错误；任意两个单位向量的长度相等，但 方向不一定相同，D 错误 3一个人从 A 点出发向西走了 5 米到 C，又向南走了 5 米到达 B 点，求此 人从 A 到 B 的位移 解如下图，位移为向西南方向走了 5米 2 知识点二 向量的相等与平行 4.下列关于向量的说法正确的个数是 () 始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；始点相同，相等的两 个非零向量的终点相同；两个平行的非零向量的方向相同；两个共线的非零 向量的始点与终点一定共线 A3 B2 C1 D0 答案C 解析始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同， 故不正确；始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故正确；两个平行 的非零向量的方向相同或相反，故不正确；两个共线的非零向量的始点与终点 不一定共线，所对应的直线可能平行，故不正确 5下列四个命题： 模为 0 的向量与任意向量平行；单位向量与任一向量平行；两个方向 相反的向量必是共线向量；两个非零向量平行，则这两个向量相等 其中为真命题的是_ 答案 解析模为 0 的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，与任意向量平行， 故正确；单位向量的方向不确定，故不正确；两个方向相反的向量必是共线 向量，正确；两个非零向量平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量 不一定相等故不正确 6如图，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，O 为其中心，分别写出： (1)向量的起点、终点和长度； OA (2)与向量共线的向量； OA (3)与向量相等的向量 OA 解(1)向量的起点为 O，终点为 A，长度为 2. OA (2)与共线的向量有， ，. OA CB FE DO (3)与 O相等的向量有，. A CB DO 易错点 对相等向量的概念把握不准致误 7.在ABCD 中，O 是两对角线 AC，BD 的交点，设点集 SA，B，C，D，O，向量集合 T|M，NS，且 M，N 不重合，试求 MN 集合 T 中元素的个数 易错分析求解本题时，若不能准确把握“方向相同且长度相等的有向线段 表示同一向量” ，就会误认为 T 中元素的个数为 20. 正解SA，B，C，D，O，S 中任意两点连成的有向线段有：， ， AB AC ，；， ，；， ，；，；， AD AO BA BC BD BO CA CB CD CO DA DB DC DO OA OB OC . OD 由平行四边形的性质可知(如图)，共有 8 对向量相等，即 ， AB DC BA CD AD BC DA CB AO OC OA CO DO OB OD ，又集合中元素具有互异性，所以集合 T 中的元素共有 12 个 BO 一、选择题 1在O 中，以 O 点为始点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以 确定的要素是() A方向 B大小 C大小和方向 D以上均不对 答案B 解析由于O 半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的 2下列各命题中，正确命题的个数为() 若|a|b|，则 ab；若D，则 A，B，C，D 是一个平行四边形 AB C 的四个顶点；若 ab，bc，则 ac；若 0a，0b，则 ab. A4 B3 C2 D1 答案D 解析|a|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量同向，故此命题不 正确；由 AD可得|A|且 AD，由于 B C B DC B C ，A，B，C，D 可能在同一条直线上，故此命题不正确；正确；0 AB DC 与任意向量平行，命题不正确 3如图，已知 D，E，F 是正三角形 ABC 三边的中点，由 A，B，C，D，E，F 六点中的两点构成的向量中与(除外)共线的向量个数 DF DF 为() A2 B4 C5 D7 答案D 解析与共线的向量有：， ， ， ， ， ，. DF AE EA EC CE AC CA FD 4两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的 位移向量分别为 a 和 b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中错误 的是() Aa 与 b 为平行向量 Ba 与 b 为模相等的向量 Ca 与 b 为共线向量 Da 与 b 为相等的向量 答案D 解析根据题意，依次分析选项可知 A，B，C 均成立，对于 D，a 与 b 为 反向的共线向量，则 a 和 b 不相等，D 错误 5已知 D 为平行四边形 ABPC 两条对角线的交点，则的值为() |PD | |AD | A. B. C1 D2 1 2 1 3 答案C 解析因为四边形 ABPC 是平行四边形，D 为对角线 BC 与 AP 的交点，所 以 D 为 PA 的中点，所以的值为 1.如图 |PD | |AD | 二、填空题 6把同一平面内所有模不小于 1，不大于 2 的向量的始点，移到同一点 O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于_ 答案3 解析这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为 22123. 7如图，四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交点，从中选取 2 个交点组成向量，则与平行且长度为 2的向量的个数 AC 2 是_ 答案8 解析找出与 AC 平行的直线，确定长度为 2的线段，共有， 2 FH HF MP ， ， ，故共有 8 个 PM AJ JA KC CK 三、解答题 8如图，已知平面上点 C 和向量，作出同时满足下列三个条件的向量 AB (1)以 C 为始点；(2)与的模相等；(3)与平行 AB AB 解如图，向量，即为所求向量 CD CE 9如图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形，若|3，求向量 AB 的模 EC 解在ABCD 和ABDE 中，易知， AB DC AB ED ，E，D，C 三点共线 ED DC |2|6. EC ED DC AB 10如图，O 是正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED，OCFB 都是正 方形，在图中所示的向量中： (1)分别找出与， 相等的向量； AO BO (2)找出与共线的向量； AO (3)找出与的模相等的向量 AO 解(1) ， . AO BF BO AE (2)与共线的向量有：， ， . AO BF CO DE (3)与的模相等的向量有：， ， ， ， ， . AO CO DO BO BF CF AE DE 11如图所示，四边形 ABCD 中，N，M 分别是 AD，BC 上的点， AB DC 且. CN MA 求证： . DN MB 证明由可知，ABCD 且|， AB DC AB CD 故四边形 ABCD 为平行四边形， 且|. CB DA CB DA 又由同理可得，四边形 CNAM 是平行四边形， CN MA 且|. CM NA CM NA |， CM CB MB DA MB |， NA DA DN |，又， DN MB DA CB 与方向相同，即， DN MB DN MB 故. DN MB 12一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行 1 m，逆时针方向转变 度，继续按直线向前行进 1 m，再逆时针方向转变 度，按直线向前行进 1 m，按此方法继续操作下去 (1)按适当的比例作图说明当 45 时，至少需操作几次时赛车的位移为 0； (2)按此法操作使赛车能回到出发点， 应满足什么条件？请写出其中两个 解(1)如右图可知操作 8 次可使赛车的位移为零，此时 45. 360 8 (2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作 图形需是内角为(180)度的正多边形，故 n(180)(n2)180，得 ， 360 n 又 n 是不小于 3 的整数，所以当 n10 即 36 时需操作 10 次可回到出发点； 当 n12 即 30 时需操作 12 次可回到出发点 61.2向量的加法 课时 26向量的加法 知识点一 向量加法的三角形法则 1.已知向量 a，b，c，那么下列结论中正确的是() Aabc Bbca Cacb D|a|b|c| 答案B 解析根据向量加法的三角形法则可得 bca.故选 B. 2当 a，b 满足下列哪种条件时，等式|ab|a|b|成立？() Aa 与 b 同向且|a|b| Ba 与 b 反向且|a|b| Ca 与 b 同向且|a|b| Da 与 b 反向且|a|b| 答案D 解析当 a 与 b 反向且|a|b|时，|ab|a|b|. 知识点二 向量加法的平行四边形法则 3.如图所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则() OP OQ A. B. C. D. OH OG FO EO 答案C 解析设 a，利用平行四边形法则作出向量，再平移即 OP OQ OP OQ 发现 a. FO 4如下图，在正六边形 OABCDE 中，若a，b，试用向量 a，b OA OE 将，表示出来 OB OC OD 解由题意知四边形 ABPO，AOEP 均为平行四边形， 由向量的平行四边形法则，知ab. OP OA OE ，ab. AB OP AB 在AOB 中，根据向量的三角形法则，知 aab2ab， OB OA AB 2abb2a2b. OC OB BC baba2b. OD OE ED OE AB 知识点三 多个向量相加 5.化简下列各式： (1) ； AB MB BO OM (2) ； MB AC BM (3) . OA OC BO CO 解(1)原式()(). AB BO OM MB AO OB AB (2)原式(). MB BM AC AC (3)原式. OA BO BO OA BA 6向量 a，b，c，d，e 如图所示，据图回答下列各题： (1)用 a，d，e 表示； DB (2)用 a，b，e 表示. EC 解由题图知a，b，c，d，e. AB BC CD DE EA (1)dea. DB DE EA AB (2)eab. EC EA AB BC 一、选择题 1已知非零向量 a，b，c，则向量(ac)b，b(ac)，b(ca)， c(ba)，c(ab)中，与向量 abc 相等的个数为 () A2 B3 C4 D5 答案D 解析根据向量加法的运算律解答 2. 如图，正六边形 ABCDEF 中，() BA CD EF A0 B.BE C.AD D.CF 答案D 解析由于，故. BA DE BA CD EF CD DE EF CF 3若 C 是线段 AB 的中点，则等于() AC BC A B AB BA C0 D以上均不正确 答案C 解析与的模相等而方向相反，因此0. AC BC AC BC 4已知正方形 ABCD 的边长为 1，a，b，c，则|abc|等 AB BC AC 于() A0 B3 C. D2 22 答案D 解析A，|abc|2c|， B BC AC |c|，|abc|2.故选 D. 22 5已知向量 a，b 均为非零向量，下列说法不正确的是() A向量 a 与 b 反向，且|a|b|，则向量 ab 与 a 的方向相同 B向量 a 与 b 反向，且|a|b|，则向量 ab 与 a 的方向相同 C向量 a 与 b 同向，则向量 ab 与 a 的方向相同 D向量 a 与 b 同向，则向量 ab 与 b 的方向相同 答案B 解析a 与 b 方向相反，|a|b|，ab 与 a 的方向相反，故 B 不正确 6已知平行四边形 ABCD，设a，且 b 是一非零向量， AB CD BC DA 则下列结论： ab；aba；abb；|ab|a|b|.其中正确的是 () A B C D 答案A 解析a0，正确，错误；|ab|0b|b|a|b|，错误 二、填空题 7设|a|8，|b|12，则|ab|的最大值与最小值分别为_ 答案204 解析当 a，b 共线同向时，|ab|a|b|81220， 当 a，b 共线反向时，|ab|a|b|4. 当 a，b 不共线时，|a|b|ab|a|b|， 即 4|ab|20， 所以最大值为 20，最小值为 4. 8小李从家里出发，先到小卖部买了一瓶矿泉水，再到小区门口，这样走 的路程_(填“大于” “小于” “不大于” “不小于”或“等于”)他从家里 直接到小区门口的距离(假设这几条路都是直的) 答案不小于 解析由性质|ab|a|b|，小李从家里出发先到小卖部再到小区门口走 的路程不小于他从家里直接到小区门口的距离 9在菱形 ABCD 中，DAB60，|2，则|_. AB BC DC 答案2 3 解析如图所示，设菱形对角线交点为 O. BC DC AD DC AC DAB60， ABD 为等边三角形 又|2，|1. AB OB 在 RtAOB 中，| ， AO |AB |2|OB |2 3 |2|2. AC AO 3 三、解答题 10. 如图，已知向量 a，b. (1)用平行四边形法则作出向量 ab； (2)用三角形法则作出向量 ab. 解(1)如图，在平面内任取一点 O，作a，b，以 OA，OB 为邻边 OA OB 作平行四边形 OACB，连接 OC，则ab. OC OA OB (2)如图，在平面内任取一点 O，作a，b，连接 OE，则 OD DE ab. OE OD DE 11如图，AOBBOC120，|，求. OA OB OC OA OB OC 解如图所示，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OADB，由向量加法的平 行四边形法则，易知. OA OB OD AOB120，| | |， OA OB BOD60，|. OB OD BOC120，|， OB OC 0，故0. OD OC OA OB OC 12. 已知 D，E，F 分别为ABC 的边 BC，AC，AB 的中点求证： AD 0. BE CF 证明连接 EF，由题意知，. AD AC CD BE BC CE CF CB BF 由 D，E，F 分别为ABC 的边 BC，AC，AB 的中点可知， EF CD BF . FA ()()()() AD BE CF AC CD BC CE CB BF AC CD CE BF ()() BC CB AE EC CD CE BF 00. AE CD BF AE EF FA AF FA 6.1.3向量的减法 课时 27向量的减法 知识点一 向量的减法运算 1.下列各式中不能化简为 A的是() D A() AB DC CB B () AD CD DC C()() CD MC DA DM D BM DA MB 答案D 解析因为()A；( AB DC CB AB CD BC C CD A D A D CD )0；()()()() DC AD AD CD MC DA DM CD CM DA DM ； M D DA DM DM AD DM AD MB AD MB MB AD MB AD 2.故选 D. MB 2._，_. AB AC DB AB BC AD 答案 CD DC 解析； AB AC DB CB DB CB BD CD AB BC AD AC AD . DC 知识点二 用已知向量表示其他向量 3.若平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且a， OA b，用 a，b 表示向量为() OB BC Aab Bab Cab Dab 答案B 解析由平行四边形对角线互相平分的性质知，即 Oa， OA OC C ab. BC OC OB 4已知从点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 的向量分别为 a，b，c，则向量等于_ DO 答案bac 解析如图，a，b，c， OA OB OC 则A()a(cb)acb.故 OD OA D OA BC OA OC OB bac. DO OD 知识点三 向量减法几何意义的应用 5. 如图，已知正方形 ABCD 的边长等于 1， a， b， c，试 AB BC AC 作向量并分别求模： (1)abc； (2)abc. 解(1)如图，由已知得，ab， AB BC AC 又c，延长 AC 到 E， AC 使| |. CE AC 则 abc，且| |2. AE AE 2 (2)如图，作A， BF C 则， DB BF DF 而aab， DB AB AD BC abc且|2. DB BF DF DF 6如图所示，已知在矩形 ABCD 中，|4，|8.设 AD 3 AB a，b，c，求|abc|. AB BC BD 解如图，bc，abca(bc)a BD BD BB BD ， DB 则|abc| DB 8. 2 4 322 827 易错点 不能运用向量加减法的几何意义作图致误 7.已知非零向量 a，b 满足|a|b|ab|，则_. |ab| |ab| 易错分析不能利用向量加减法的几何意义作图，并且不能根据线段长度之 间的关系得到图形的几何性质是造成问题难解、错解的主要原因 答案 3 正解如图，设a，b，ab，则ab， OA OB OC BA OA OB |a|b|ab|， BAOAOB. OAB 为正三角形，设其边长为 1， 则|ab|1，|ab|2. BA 3 23 . |ab| |ab| 3 13 一、选择题 1如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，则 BCB等于() C D A AB B C D C DA BA AC 答案A 解析0. BC CD BA BC DC BA BC BC 2如图，已知 ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中a， OA b， c，则等于() OB OC EF Aab Bba Ccb Dbc 答案D 解析bc. EF OA CB OB OC 3若非零向量 a，b 互为相反向量，则下列说法中错误的是() Aab Bab C|a|b| Dba 答案C 解析由相反向量定义知，a 与 b 方向相反，长度相等故选 C. 4在平面上有 A，B，C 三点，设 m，n，若 m 与 n 的 AB BC AB BC 长度恰好相等，则有() AA，B，C 三点必在一条直线上 BABC 必为等腰三角形且B 为顶角 CABC 必为直角三角形且B 为直角 DABC 必为等腰直角三角形 答案C 解析以，为邻边作平行四边形 ABCD，则 BA BC m，n.由 m，n 的长度相等，可知两对 AB BC AC AB BC AB AD DB 角线相等，因此平行四边形是矩形故选 C. 5设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，|216，| BC AB AC |，则|() AB AC AM A2 B4 C16 D8 答案A 解析因为|，又点 A 在直线 BC 外，故四边形 ABDC 是 AB AC AB AC 以 AB，AC 为邻边的平行四边形且对角线相等，故 ABDC 为矩形， |A| |B|2. M 1 2 C 二、填空题 6(1)( )()_； AB MB OB MO (2) _. AB AD DC 答案(1) (2) AB CB 解析(1)原式()B0. AB MB O OM AB AB (2)原式. DB DC CB 7已知a，b，若|12，|5，且AOB90，则|ab|的 OA OB OA OB 值为_ 答案13 解析a，b，ab 构成了一个直角三角形， 则|ab|13. |a|2|b|252122 8已知如图，在正六边形 ABCDEF 中，与相等的向量有 OA OC CD _(填序号) ； CF AD BE DE FE CD CE BC CA CD AB . AE 答案 解析，正确中 OA OC CD CA CD CF DE FE CD DE ，故正确，错误 EF CD DF CD CF CE BC BC CE BE ，错误，错误 CA CD DA AB AE AD 三、解答题 9. 如图所示，已知a，b，c，e，d，f，试 OA OB OC OE OD OF 用 a，b，c，d，e，f 表示，. AC AD AD AB AB CF BF BD 解ca， AC OC OA da， AD OD OA db， AD AB BD OD OB bafc， AB CF OB OA OF OC fd. BF BD DF OF OD 10已知非零向量 a，b 满足|a|1，|b|1，且|ab|4，求|ab| 77 的值 解设a，b，则|ab|.以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OA OB BA OACB，则|ab|. OC (1)2(1)242， 77 |2|2|2，OAOB. OA OB BA 平行四边形 OACB 是矩形 矩形的对角线相等， |4，即|ab|4. OC BA 11在平行四边形 ABCD 中，a，b，先用 a，b 表示向量和， AB AD AC DB 并回答：当 a，b 分别满足什么条件时，四边形 ABCD 为矩形、菱形、正方形？ 解由向量加法的平行四边形法则，得ab，同样，由向量的减法知 AC ab. DB AB AD 当 a，b 满足|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形 ABCD 为矩形； 当 a，b 满足|a|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形 ABCD 为菱形； 当 a，b 满足|ab|ab|且|a|b|时，四边形 ABCD 为正方形 61.4数乘向量 课时 28数乘向量 知识点一 数乘向量的概念 1.已知 R，则下列结论正确的是() A|a|a| B|a|a C|a|a| D|a|0 答案C 解析当 0，则 a 与 b 同向 解(1)错误a0，则 0 或 a0. (2)错误由|ab|a|b|知 a 与 b 反向 由 0 知 与 同号，所以 a 与 b 反向 知识点二 数乘运算的运算律 3.化简下列各式： (1) 6a；(2)(3) 8a； 1 3 1 4 (3)7a. ( 1 3) 解(1) 6aa2a. 1 3 ( 1 3 6) (2)(3) 8a8aa6a. 1 4 ( 3 4) ( 3 4 8) (3)7aa a. ( 1 3) 7 ( 1 3) 7 3 4把下列向量 a 表示为数乘向量 b 的形式： (1)a3e，b6e； (2)a8e，b16e； (3)a e，b e； 2 3 1 3 (4)a e，b e. 3 4 2 3 解(1)a3e(6)e，故 a b. ( 1 2) 1 2 (2)a8e 16e，故 a b. 1 2 1 2 (3)a e(2)e，故 a2b. 2 3 ( 1 3) (4)a ee，故 a b. 3 4 ( 9 8) ( 2 3) 9 8 知识点三 数乘向量的应用 5.如果 c 是非零向量，且 a2c,3bc，那么 a，b 的关系是() A相等 B共线 C不共线 D不能确定 答案B 解析a2c,3bc 且 c 为非零向量，a6b， a 与 b 共线且方向相反 6已知2e，3e，判断 A，B，C 三点是否共线，如果共线，求 AB AC 出 ABAC. 解由2e，得 e， AB 1 2AB 由3e，得 e， AC 1 3AC 故，. 1 2AB 1 3AC AC 3 2AB 即与平行，又 AB 与 AC 有公共点 A， AB AC A，B，C 三点共线，又| |， AC 3 2 AB ABAC23. 一、选择题 1下列说法中，正确的是() A0a0 B0，a0 时，a 与 a 的方向一定相反 C若 ba(a0)，则 b a D若|b|a|(a0)，则 |b| |a| 答案B 解析A 错误，0a 应该等于 0；B 正确，当 0 时， 异号，又 a0， 则 a 与 a 方向一定相反；C 错误，向量没有除法；D 错误，应等于|.故选 B. |b| |a| 238a() ( 1 4) A2a B8a C6a D4a 答案C 解析38a24a6a，故选 C. ( 1 4) ( 1 4) 3已知 a e，b e，设 ba(R)，则 等于() 3 4 2 3 A B C D2 1 2 9 8 8 9 答案C 解析由 a e，得 e a，故 b e a a，所以 . 3 4 4 3 2 3 2 3 ( 4 3) 8 9 8 9 故选 C. 4已知向量 a 与 b 反向，且|a|r，|b|R，ba，则 的值等于() A. B C D. r R r R R r R r 答案C 解析ba，|b|a|.又 a 与 b 反向， . R r 5若3e1，5e1，且|，则四边形 ABCD 是() AB CD AD BC A平行四边形 B菱形 C等腰梯形 D不等腰的梯形 答案C 解析3e1，5e1，与平行，且| AB CD CD 5 3AB AB CD CD |，又|，故四边形 ABCD 是等腰梯形故选 C. 5 3 AB AD BC 二、填空题 6下列说法正确的个数为_ 任意两个单位向量都相等； 与 a 同向的单位向量是； a |a| 2020 cm 长的有向线段不可能表示单位向量； 所有单位向量的始点移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为 1 的 圆 答案1 解析错误，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同；错误， 若 a0，则没有相应的单位向量；错误，一个单位长度取 2020 cm 时，2020 cm 长的有向线段恰好表示单位向量；显然正确 7若，则实数 的值为_ AP 1 3AB AB BP 答案 3 2 解析，如图 AP 1 3AB 结合图形可知. AB 3 2BP 故 . 3 2 8已知点 C 在线段 AB 上，且 ，则_. AC CB 1 2 AC AB 答案 1 3 解析如图，因为 ，且点 C 在线段 AB 上， AC CB 1 2 则与同向，且| |，故. AC CB AC 1 2 CB AC 1 3AB 9设 P 是ABC 所在平面内的一点，且2，则PAB 与PBC 的面 CP PA 积之比是_ 答案12 解析画出图形如图所示 2，P 为边 AC 上靠近 A 点的三等分点 CP PA 又PAB 与PBC 的底边长之比为|12，且高相等，PAB PA CP 与PBC 的面积之比为 12. 三、解答题 10如图，已知非零向量 a，求作向量 2a， a，3a， a. 1 2 1 3 解将向量 a 依次同向伸长到原来的 2 倍，同向缩短为原来的 ，反向伸长 1 2 到原来的 3 倍，反向缩短为原来的 ，就分别得到向量 2a， a，3a， a，如 1 3 1 2 1 3 图所示 11如图所示，已知在梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB3CD，若a， AB b，试用 a，b 表示向量. AD AC 解因为 ABCD，且 AB3CD，所以3， a，所以 AB DC DC 1 3AB 1 3 b a. AC AD DC 1 3 61.5向量的线性运算 课时 29向量的线性运算 知识点一 向量的加法与数乘向量的混合运算 1.化简： (1)2_； ( 1 2a3b) (2)2(ab)3(ab)_； (3)(ab)(ab)_. ( 1 3) ( 1 2) 答案(1)a6b(2)5a5b(3)(ab) ( 3 2 4 3) 解析(1)原式2 a23ba6b. 1 2 (2)原式2a2b3a3b5a5b. (3)原式(ab) (ab) (ab)(ab)(ab) 1 3 1 2 ( 1 2) (ab) (ab)(ab) ( 1 3) 3 2 (ab) 4 3 ( 3 2 4 3) 知识点二 向量的线性运算 2.化简下列各式： (1)(2a3bc)(3a2bc)2(c3b)_； (2)_. 2 34a3b 1 3a 1 42a3b 答案(1)ab(2)a b 23 9 3 2 解析(1)原式2a3bc3a2bc2c6b(23)a(326) b(112)cab. (2)原式 2 34a3b 1 3a 1 2a 3 4b 2 3(4 1 3 1 2)a(3 3 4)b 2 3( 23 6 a9 4b) a b. 23 9 3 2 3(1)已知 3(xa)3(x2a)4(xab)0(其中 a，b 为已知向量)，求 x； (2)已知Error!其中 a，b 为已知向量，求 x，y. 解(1)原方程化为 3x3a3x6a4x4a4b0. 得 2xa4b0，即 2x4ba. x2b a. 1 2 (2)Error! 由得 y x b，代入， 2 3 1 3 得 3x4a，3x x ba， ( 2 3x 1 3b) 8 3 4 3 xab. 3 17 4 17 y bab b 2 3( 3 17a 4 17b) 1 3 2 17 8 51 1 3 ab. 2 17 3 17 综上可得Error! 知识点三 向量的线性运算的应用 4.如图所示，D 是ABC 的边 AB 上的中点，则向量() CD A BC 1 2BA B BC 1 2BA C BC 1 2BA D BC 1 2 BA 答案B 解析解法一：D 是 AB 的中点， ， BD 1 2BA B. CD CB D BC 1 2BA 解法二： ( ) (). CD 1 2 CB CA 1 2 CB CB BA CB 1 2BA BC 1 2BA 5已知a5b，2a8b，3(ab)，则() AB BC CD AA，B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线 DB，C，D 三点共线 答案B 解析2a8b3(ab)a5b，与平行， BD BC CD AB AB BD 又 AB 与 BD 有公共点 B，则 A，B，D 三点共线 6D，E，F 分别为ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且a， BC b，给出下列命题： CA ab； a b； AD 1 2 BE 1 2 a b； 0. CF 1 2 1 2 AD BE CF 其中正确命题的序号为_ 答案 解析如图，b b a. AD AC CD 1 2 CB 1 2 a b. BE BC CE 1 2 CF CA 1 2 AB () CA 1 2 AC CB b (ba) b a. 1 2 1 2 1 2 AD BE CF b aa b b a0. 1 2 1 2 1 2 1 2 7设 x，y 是未知向量 (1)解方程 5(xa)3(xb)0； (2)解方程组Error! 解(1)原方程可变为 5x5a3x3b0， 即 8x5a3b， x a b. 5 8 3 8 (2)Error! 2，得 y2ab， 3 2 y a b. 4 3 2 3 代入，得 x a b. 2 3 4 3 Error! 8在ABC 中，已知点 D，E 分别在边 AC，AB 上，且 ，设 CD DA AE EB 1 2 a，b. BC CA 求证： (ba) DE 1 3 证明 ， b， () (ba) CD DA AE EB 1 2 DA 2 3CA 2 3 AE 1 3AB 1 3 AC CB 1 3 b a. 1 3 1 3 b b a b a (ba). DE DA AE 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 易错点 用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误 9.在三角形 ABC 中，点 D 为 BC 的三等分点，设向量 a，b，用向 AB AC 量 a，b 表示 _. AD 易错分析本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有 BD 或.解题时条件转化要全面准确 1 3BC BD 2 3BC 答案 a b 或 a b 1 3 2 3 2 3 1 3 正解因为 D 为 BC 的三等分点， 当 BD BC 时，如图 1， 1 3 ， BD 1 3BC 所以 AD AB BD AB 1 3BC () AB 1 3 AC AB 2 3AB 1 3AC a b. 2 3 1 3 当 BD BC 时，如图 2， 2 3 ， BD 2 3BC 所以 () AD AB BD AB 2 3 AC AB a b. 1 3AB 2 3AC 1 3 2 3 一、选择题 1化简：3(2ab)2(4a2b)() A7a4b B14a4b C7a14b D14a7b 答案D 解析原式6a3b8a4b14a7b.故选 D. 2已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b， 则 xy 的值为() A3 B3 C0 D2 答案A 解析(3x4y)a(2x3y)b6a3b， Error!解得Error!xy3. 3平面上有一个ABC 和一点 O，设a， b， c.又 OA OB O C OA，BC 的中点分别为 D，E，则向量等于() DE A. (abc) B. (abc) 1 2 1 2 C. (abc) D. (abc) 1 2 1 2 答案B 解析 () (abc) DE OE OD 1 2 OB OC 1 2OA 1 2 4设 D 为ABC 所在平面内一点，则等于() BD 1 3BC AD A. B. 1 3AB 2 3AC 2 3AB 1 3AC C. D. 1 3AB 2 3AC 2 3AB 1 3AC 答案B 解析， (), BD 1 3BC AD AB 1 3 AC AB .故选 B. AD 2 3AB 1 3AC 5以下选项中，a 与 b 不一定共线的是() Aa5e1e2，b2e210e1 Ba4e1 e2，be1e2 2 5 1 10 Cae12e2，be22e1 Da3e13e2，b2e12e2. 答案C 解析找出一个非零实数 使得 ab 即可判断 ab.A 项中 a b；B 1 2 项中 a4b；D 项中 a b，故 A，B，D 三项中 ab，而 C 项中 3 2 ae12e2，b2e1e2，所以 C 项 a 与 b 不一定共线，故选 C. 二、填空题 6已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 满足向量等式 5xa(8y) b4xb3(y9)a，则 x_，y_. 答案34 解析因为 a 与 b 不共线，则Error!解得Error! 7已知点 P，Q 是ABC 所在平面上的两个定点，且满足 PP0,2Q A C QQB，若|P|B|，则正实数 _. A B C C Q C 答案 1 2 解析PP0，点 P 是线段 AC 的中点， A C 2， QA QB QC BC 2Q2， QA BC QC QB C QB QC QB BQ 点 Q 是线段 AB 的中点， | |， . PQ BC 1 2 8设 O 是ABC 内部一点，且3，则AOB 与AOC 的面 OA OC OB 积之比为_ 答案13 解析如图，由平行四边形法则，知，其中 E 为 AC 的中 OA OC OD 点 所以23. OA OC OE OB 所以， OB 2 3OE | |. OB 2 3 OE 设点 A 到 BD 的距离为 h，则 SAOB |h，SAOC2SAOE|h. 1 2 OB OE 所以 . S AOB S AOC 1 2|OB |h |OE |h 1 2|OB | |OE | 1 2 2 3 1 3 三、解答题 9计算：(1)6(3a2b)9(2ab)； (2)； 1 23a2b 2 3ab 7 6 1 2a 3 7(b 7 6a) (3)6(abc)4(a2bc)2(2ac) 解(1)原式18a12b18a9b3b. (2)原式 1 2(3a 2 3a2bb) 7 6( 1 2a 1 2a 3 7b) 1 2( 7 3ab) 7 6(a 3 7b) a b a b0. 7 6 1 2 7 6 1 2 (3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c (6a4a4a)(8b6b)(6c4c2