1、2021 全国中考真题分类汇编（三角形） -三角形中的计算与证明（压轴题） 一、选择题 1. (2021安徽省安徽省)在中，分别过点 B，C 作平分线的垂线， 垂足分别为点 D，E，BC 的中点是 M，连接 CD，MD，ME则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设 AD、BC 交于点 H，作于点 F，连接 EF延长 AC 与 BD 并交于点 G由题意易证，从而证明 ME 为中位线，即，故 判断 B 正确；又易证，从而证明 D 为 BG 中点即利用直角三角形 斜边中线等于斜边一半即可求出，故判断 C 正确；由、 和可证明再由 、和可推出 ，即推出，即，故
2、判断 D 正确；假设 ，可推出，即可推出由于无法确定的大 小，故不一定成立，故可判断 A 错误 【详解】 如图，设 AD、BC 交于点 H，作于点 F，连接 EF延长 AC 与 BD 并交 于点 G ABCV90ACBBAC 2CDME/MEABBDCDMEMD HFAB ()CAEFAE SASVVCBFV/MEAB ()AGDABD ASAVV CDBD90HDMDHM 90HCECHEDHMCHE HDMHCE 90HEMEHFEHCEHF 90EHCHCE HCEHEM HDMHEM MDME 2CDME2CDMD30DCMDCM 2CDME HFAB AD 是的平分线， HC=HF，
3、 AF=AC 在和中， ， ，AEC=AEF=90， C、E、F 三点共线， 点 E 为 CF 中点 MBC 中点， ME 为中位线， ，故 B 正确，不符合题意； 在和中， ， ，即 D 为 BG 中点 在中， ， ，故 C 正确，不符合题意； ， BACHFABHCAC CAEVFAEV AFAC CAEFAE AEAE ()CAEFAE SASVV CEFE 为 CBFV /MEAB AGDABD 90 GADBAD ADAD ADGADB ()AGDABD ASAVV 1 2 GDBDBG BCGV90BCG 1 2 CDBG CDBD 90HDMDHM90HCECHEDHMCHE ，
4、 ， AD 是的平分线， ， ， ， ，故 D 正确，不符合题意； 假设， ， 在中， 无法确定的大小，故原假设不一定成立，故 A 错误，符合题意 故选 A 二填空题 1. （2021江苏省苏州市）江苏省苏州市）如图，射线 OM，ON 互相垂直，点 B 位于射线 OM 的上方，且 在线段 OA 的垂直平分线 l 上，AB5将线段 AB 绕点 O 按逆时针方向旋转得到对应线 段 AB，若点 B恰好落在射线 ON 上，则点 A到射线 ON 的距离为 【分析】设 OA 的垂直平分线与 OA 交于 C,将线段 AB 绕点 O 按逆时针方向旋转得到对 应线段 AB，C 随之旋转到 C，过 A作 AHON
5、 于 H，过 C作 CDON 于 D，过 A 作 AEDC于 E，由 OA8，AB5，BC 是 OA 的垂直平分线，可得 OB5，OCAC 4，BC3，cosBOC,sinBOC,证明BOCBCDCAE,从 HDMHCE HFAB/MEAB HFME 90HEMEHF BAC EHCEHF 90EHCHCE HCEHEM HDMHEM MDME 2CDME 2CDMD Rt CDMV30DCM DCM 而在 RtBCD 中求出 CD，在 RtACE 中，求出 CE，得 DECD+CE ，即可得到 A到 ON 的距离是 【解答】解：设 OA 的垂直平分线与 OA 交于 C,将线段 AB 绕点 O
6、 按逆时针方向旋转得 到对应线段 AB， 过 A作 AHON 于 H，过 C作 CDON 于 D，如图： OA8，AB5， OB4，OCAC4，cosBOC, 线段 AB 绕点 O 按逆时针方向旋转得到对应线段 AB，C 随之旋转到 C， BCBC3，ACAC4, BCDBCODCO90DCOBOC, cosBCD, RtBCD 中，即， CD， AEON, BOCCAE, sinCAEsinBOCsinBOC, RtACE 中，即， CE， DECD+CE， 而 AHON，CDON， 四边形 AEDH 是矩形， AHDE,即 A到 ON 的距离是 故答案为： 三、解答题 1. (2021安徽
7、省安徽省)如图 1，在四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，且 ，作交线段 AE 于点 F，连接 BF （1）求证：； （2）如图 2，若，求 BE 的长； （3）如图 3，若 BF 的延长线经过 AD 的中点 M，求的值 【答案】 （1）见解析；（2）6；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据平行线的性质及已知条件易证，即 可得，；再证四边形 AFCD 是平行四边形即可得，所以 ，根据 SAS 即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长 BM、ED 交于点 G易证，可得；设， ，由此可得，；再证明 ， 根据全等三角形的性质可得 证明， 根据相似三角形的性质可得
8、，即，解方程求得 x 的值，继而 求得的值 ABCBCD /AECD/ /DEABCF/ /AD ABFEAD 9AB 5CD ECFAED BE EC 12 ABEAEB DCEDEC ABAEDEDCAFCD AFDEABFEAD EBFEAB ABEDCEVV ABAEBE DCDECE 1CE BExDCDEaABAEaxAFCDa MABMDGDGABaxFABFEG FAAB FEEG (1)(1) aax a xa x BE EC 【详解】 （1）证明：， ； ， ， ， ， ， ， 四边形 AFCD 是平行四边形 在与中 ， （2）， ， 在中， ， ， 又， ， 在与中 /
9、/AECD AEBDCE / /DEAB ABEDEC 12 ABCBCD ABEAEB DCEDEC ABAEDEDC / /AFCD/ /ADCF AFCD AFDE ABFVEADV 12 ABEA AFED ()ABFEAD SAS ABFEAD BFAD AFCDADCF BFCF FBCFCB 2FCB 21 1FBC EBFEABV ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍） ； （3）延长 BM、ED 交于点 G 与均为等腰三角形， ， ， 设， 则， ， ， 1EBF BEFAEB EBFEAB EBEF EAEB 9AB 9AE 5CD 5AF 4EF 4 9 EB EB
10、 6BE6 ABEVDCEVABCDCE ABEDCE ABAEBE DCDECE 1CE BExDCDEa ABAEaxAFCDa (1)EFa x /ABDG ； 在与中， ， ； ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍） ， 2. （2021湖北省武汉市）湖北省武汉市）问题提出 如图（1） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，ECDC，点 E 在ABC 内 部，BF，CF 之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2） ，当点 D，F 重合时，表示 AF，BF； （2）再探究一般情形如图（1） ，当点 D，F 不重合时（1）中的结论仍然成立 问题拓展 3G
11、MABMDGV 3 45 G MAMD ()MABMDG AAS DGABax (1)EGa x / /ABEG FABFEG FAAB FEEG (1)(1) aax a xa x (1)1x xx 2 210 xx 2 (1)2x 12x 1 12x 2 12x 12 BE EC 如图（3） ，在ABC 和DEC 中，ACBDCE90，ECkDC（k 是常数） ，点 E 在ABC 内部，表示线段 AF，BF 【分析】 （1）证明ACDBCE（SAS） ，则CDE 为等腰直角三角形，故 DEEF CF，进而求解； （2）由（1）知，ACDBCE（SAS） ，再证明BCGACF（AAS） ，得
12、到GCF 为等腰直角三角形，则 GFCF，即可求解； （3） 证明BCECAD 和BGCAFC，得到，则 BGkAF，GC kFC，进而求解 【解答】解：（1）如图（2） ，ACD+ACE90， BCEACD， BCAC，ECDC， ACDBCE（SAS） ， BEADAF，EBCCAD， 故CDE 为等腰直角三角形， 故 DEEFCF， 则 BFBDBE+EDAF+CF； 即 BFAFCF； （2）如图（1） ，由（1）知， CAFCBE，BEAF， 过点 C 作 CGCF 交 BF 于点 G， FCE+ECG90，ECG+GCB90， ACFGCB， CAFCBE，BCAC， BCGACF
13、（AAS） ， GCFC，BGAF， 故GCF 为等腰直角三角形，则 GF， 则 BFBG+GFAF+CF， 即 BFAFCF； （3）由（2）知，BCEACD， 而 BCkAC，ECkDC， 即， BCECAD， CADCBE， 过点 C 作 CGCF 交 BF 于点 G， 由（2）知，BCGACF， BGCAFC， ， 则 BGkAF，GCkFC， 在 RtCGF 中，GF， 则 BFBG+GFkAF+FC， 即 BFkAFFC 3. （2021湖南省邵阳市）湖南省邵阳市）如图，在 RtABC 中，点 P 为斜边 BC 上一动点，将ABP 沿 直线 AP 折叠，使得点 B 的对应点为 B，
14、连接 AB，CB，BB，PB （1）如图，若 PBAC，证明：PBAB （2）如图，若 ABAC，BP3PC，求 cosBAC 的值 （3）如图，若ACB30，是否存在点 P，使得 ABCB若存在，求此时 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1） 易证 PBAB 所以BPABAP， 又由折叠可知BAPBAP， 所以 BPABAP故 PBAB； （2） 设 ABACa，AC、PB交于点 D，则ABC 为等腰直角三角形再证明CDP BDA， 可得 设 BDb， 则 CDb 则 ADa b， PDb， 由解得 b 再过点 D 作 DEAB于点 E， 则BDE 为等腰直角三角形所以 BEsin45
15、BD，AEABBE，AD故 cosBACcosEAD即可求； （3）分点 P 在 BC 外的圆弧上；点 P 在 BC 上两种情况分别求解即可 【解答】解：（1）证明：PBAC，CAB90， PBAB BPABAP， 又由折叠可知BAPBAP， BPABAP 故 PBAB （2）设 ABACa，AC、PB交于点 D， 则ABC 为等腰直角三角形， BC，PC，PB， 由折叠可知，PBAB45， 又ACB45， PBAACB， 又CDPBDA， CDPBDA 设 BDb，则 CDb ADACCDab， PDPBBDPBBDb， 由得： 解得：b 过点 D 作 DEAB于点 E，则BDE 为等腰直角
16、三角形 BEsin45BD， AEABBEABBEa 又 ADACCDaba cosBACcosEAD （3）存在点 P，使得 CBABm ACB30，CAB90 BC2m 如答图 2 所示， 由题意可知，点 B的运动轨迹为以 A 为圆心、AB 为半径的半圆 A 当 P 为 BC 中点时，PCBPAPABm， 又B60， PAB 为等边三角形 又由折叠可得四边形 ABPB为菱形 PBAB， PBAC 又APAB， 则易知 AC 为 PB的垂直平分线 故 CBPCABm，满足题意 此时， 当点 B落在 BC 上时，如答图 3 所示， 此时 CBABm， 则 PB， PCCB+PBa+， 综上所述
17、，的值为或 4. （2021江苏省连云港）江苏省连云港） 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动 （1）是边长为 3 的等边三角形，E 是边上的一点，且，小亮以为 边作等边三角形，如图 1，求的长； ABCVAC1AE BE BEFCF （2）是边长为 3等边三角形，E 是边上的一个动点，小亮以为边作等边 三角形，如图 2，在点 E 从点 C 到点 A 的运动过程中，求点 F 所经过的路径长； （3）是边长为 3 的等边三角形，M 是高上的一个动点，小亮以为边作等 边三角形，如图 3，在点 M 从点 C 到点 D 的运动过程中，求点 N 所经过的路径长； （4） 正方形的边长为 3，E 是
18、边上的一个动点，在点 E 从点 C 到点 B 的运动过 程中，小亮以 B 为顶点作正方形，其中点 F、G 都在直线上，如图 4，当点 E 到达点 B 时，点 F、G、H 与点 B 重合则点 H 所经过的路径长为_，点 G 所经过的 路径长为_ 【答案】 （1）1；（2）3；（3）；（4）； 【解析】 【 分 析 】（ 1 ） 由、是 等 边 三 角 形 ， ，可证即可； （2）连接，、是等边三角形，可证，可得 ，又点在处时，点在 A 处时，点与重合可得 点运动的路径的长； （3） 取中点， 连接， 由、是等边三角形， 可证， ABCV的ACBE BEF ABCVCDBM BMN ABCDCB
19、BFGHAE 3 3 2 3 4 3 2 4 ABCBEFBABCBEBF ABECBF ABECBF CFABCBEFABECBF BCFABC ECCFACEFC F3AC BCHHNABCBMNDBMHBN 可得又点在处时，点在处时，点与重 合可求点所经过的路径的长； （4） 连接 CG ,AC ，OB，由CGA=90，点 G 在以 AC 中点为圆心，AC 为直径的上运 动，由四边形 ABCD 为正方形，BC 为边长，设 OC=x，由勾股定理即， 可求，点 G 所经过的路径长为长=，点 H 所经过的路径长为的长 【详解】解:（1）、是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）连接， 、是等
20、边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 又点处时，点在 A 处时，点与重合 点运动的路径的长； （3）取中点，连接， NHBCMC 3 3 2 HNCDMDNH N 3 3 2 CD BC 222 COBOBC 3 2 2 x BC 3 2 4 BN 3 4 ABCBEF BABCBEBF60 ABCEBF ABECBECBFCBE ABECBF ABECBF 1CFAE CF ABCBEF BABCBEBF60 ABCEBF ABECBECBFCBE ABECBF ABECBF CFAE60 BCFBAE 60ABC BCFABC / /CFAB E在CCFACEFC F3AC BCHH
21、N ， ， ， ， ， 、是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又点在处时，点在处时，点与重合， 点所经过的路径的长； （4）连接 CG ,AC ，OB， CGA=90， 点 G 在以 AC 中点为圆心，AC 为直径的上运动， 四边形 ABCD 为正方形，BC 为边长， 1 2 BHBC 1 2 BHAB CDAB 1 2 BDAB BHBD ABCBMN BMBN60 ABCMBN DBMMBHHBNMBH DBMHBN DBMHBN HNDM90 BHNBDM NHBC MC 3 3 2 HNCDMDNH N 3 3 2 CD BC COB=90，设 OC=x， 由勾股定理即， ， 点
22、G 所经过的路径长为长=， 点 H 在以 BC 中点为圆心，BC 长为直径的弧上运动， 点 H 所经过的路径长为的长度， 点 G 运动圆周的四分之一， 点 H 也运动圆周的四分一， 点 H 所经过的路径长为的长=， 故答案为； 5. （2021河北省）河北省）在一平面内，线段 AB20，线段 BCCDDA10，将这四条线段顺 次首尾相接把 AB 固定，让 AD 绕点 A 从 AB 开始逆时针旋转角 （0）到某一位 置时，BC，CD 将会跟随出现到相应的位置 论证：如图 1，当 ADBC 时，设 AB 与 CD 交于点 O，求证：AO10； 发现：当旋转角 60时，ADC 的度数可能是多少？ 尝
23、试：取线段 CD 的中点 M，当点 M 与点 B 距离最大时，求点 M 到 AB 的距离； 拓展：如图 2，设点 D 与 B 的距离为 d，若BCD 的平分线所在直线交 AB 于点 P， 直接写出 BP 的长（用含 d 的式子表示） ； 当点 C 在 AB 下方，且 AD 与 CD 垂直时，直接写出 a 的余弦值 222 COBOBC 222 3xx 3 2 2 x BC 13 23 2 2 424 BN BN BN 133 2 424 3 4 3 2 4 【分析】论证：由AODBOC，得 AOBO，而 AB20，可得 AO10； 发现：设 AB 的中点为 O，当 AD 从初始位置 AO 绕
24、A 顺时针旋转 60时，BC 也从初始 位置 BC绕点 B 顺时针旋转 60，BC 旋转到 BO 的位置，即 C 以 O 重合，从而可得 ADC60； 尝试 ： 当点 M 与点 B 距离最大时，D、C、B 共线，过 D 作 DQAB 于 Q，过 M 作 MN AB 于 N，由已知可得 AD10，设 AQx，则 BQ20 x，100 x2400（20 x）2， 可得 AQ，DQ，再由 MNDQ，得，MN，即点 M 到 AB 的距离为； 拓展： 设直线 CP 交 DB 于 H，过 G 作 DGAB 于 G，连接 DP，设 BGm，则 AG20 m，由 AD2AG2BD2BG2，可得 m，BG，而B
25、HPBGD， 有，即可得 BP； 过 B 作 BGCD 于 G， 设 ANt， 则 BN20t， DN， 由 ADNBGN， 表达出 NG， BG， Rt BCG 中 ， CG ， 根 据 DN+NG+CG 10 ， 列 方 程+ +10 ，解得 t ，即可得 cos 【解答】论证： 证明：ADBC， AB，CD， 在AOD 和BOC 中， ， AODBOC（ASA） ， AOBO， AO+BOAB20， AO10； 发现：设 AB 的中点为 O，如图： 当 AD 从初始位置 AO 绕 A 顺时针旋转 60时，BC 也从初始位置 BC绕点 B 顺时针旋转 60， 而 BOBC10， BCO 是
26、等边三角形， BC 旋转到 BO 的位置，即 C 以 O 重合， AOADCD10， ADC 是等边三角形， ADC60； 尝试：取线段 CD 的中点 M，当点 M 与点 B 距离最大时，D、C、B 共线，过 D 作 DQ AB 于 Q，过 M 作 MNAB 于 N，如图： 由已知可得 AD10，BDBC+CD20，BMCM+BC15， 设 AQx，则 BQ20 x， AD2AQ2DQ2BD2BQ2， 100 x2400（20 x）2， 解得 x， AQ， DQ， DQAB，MNAB， MNDQ， ，即， MN， 点 M 到 AB 的距离为； 拓展： 设直线 CP 交 DB 于 H，过 G 作
27、 DGAB 于 G，连接 DP，如图： BCDC10，CP 平分BCD， BHCDHC90，BHBDd， 设 BGm，则 AG20m， AD2AG2BD2BG2， 100（20m）2d2m2， m， BG， BHPBGD90，PBHDBG， BHPBGD， ， BP； 过 B 作 BGCD 于 G，如图： 设 ANt，则 BN20t，DN， DBGN90，ANDBNG， ADNBGN， ， 即， NG，BG， RtBCG 中，BC10， CG， CD10， DN+NG+CG10， 即+10， t+（20t）+2010t， 20+2010t，即 2t2， 两边平方，整理得：3t240t4t， t
28、0， 3t404， 解得 t（大于 20，舍去）或 t， AN， cos 方法二：过 C 作 CKAB 于 K，过 F 作 FHAC 于 H，如图： ADCD10，ADDC， AC2200， AC2AK2BC2BK2， 200AK2100（20AK）2， 解得 AK， CK， RtACK 中，tanKAC， RtAFH 中，tanKAC， 设 FHn，则 CHFHn，AH5n， ACAH+CH10， 5n+n10， 解得 n， AFn， RtADF 中， cos 6. （2021四川省成都市四川省成都市） 在 RtABC 中，ACB90，AB5，BC3，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转得到AB
29、C，其中点 A，C 的对应点分别为点 A，C （1）如图 1，当点 A落在 AC 的延长线上时，求 AA的长； （2）如图 2，当点 C落在 AB 的延长线上时，连接 CC，交 AB 于点 M，求 BM 的 长； （3）如图 3，连接 AA，CC，直线 CC交 AA于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出 DE 的最小值 ； 若不存在，请说 明理由 【分析】 （1）先求出 AC4，再在 RtABC 中，求出 AC4，从而可 得 AA8; （2）过 C 作 CE/AB 交 AB 于 E,过 C 作 CDAB 于 D,先证明 CEBC3,再根据
30、 SABC ACBCABCD,求出 CD， 进而可得 DE 和 BE 及 CE,由 CE/AB 得,即 可得 BM; （3） 过 A 作 AP/AC交 CD 延长线于 P,连接 AC,先证明ACPACDP， 得 AP ACAC,再证明APDACD 得 ADAD,DE 是AAC 的中位线，DEAC,要使 DE 最小，只需 AC 最小，此时 A、C、B 共线，AC 的最小值为 ABBCABBC2， 即可得 DE 最小值为AC1 【解答】解：（1）ACB90,AB5，BC3， AC4， ACB90， ABC 绕点 B 顺时针旋转得到ABC， 点 A落在 AC 的延长线上, ACB90，ABAB5，
31、RtABC 中，AC4， AAAC+AC8; （2）过 C 作 CE/AB 交 AB 于 E,过 C 作 CDAB 于 D,如图： ABC 绕点 B 顺时针旋转得到ABC， ABCABC,BCBC3， CE/AB, ABCCEB, CEBABC, CEBC3， RtABC 中，SABCACBCABCD,AC4，BC3，AB5， CD， RtCED 中，DE， 同理 BD， BEDE+BD，CEBC+BE3+， CE/AB, , ， BM; （3）DE 存在最小值 1，理由如下： 过 A 作 AP/AC交 CD 延长线于 P,连接 AC，如图： ABC 绕点 B 顺时针旋转得到ABC， BCBC
32、,ACBACB90，ACAC, BCCBCC, 而ACP180ACBBCC90BCC, ACDACBBCC90BCC, ACPACD, AP/AC， PACD, PACP, APAC, APAC, 在APD 和ACD 中， , APDACD(AAS), ADAD,即 D 是 AA中点， 点 E 为 AC 的中点， DE 是AAC 的中位线， DEAC, 要使 DE 最小，只需 AC 最小，此时 A、C、B 共线，AC 的最小值为 ABBCABBC 2， DE 最小为AC1 7. （2021 四川省乐山市）四川省乐山市）在等腰中，点是边上一点（不与点ABCVABACDBC 、重合） ，连结 （1
33、） 如图 1， 若， 点关于直线的对称点为点， 结， 则 _； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结 在图 2 中补全图形； 探究与的数量关系，并证明； （3）如图 3，若，且，试探究、之间满足的 数量关系，并证明 【答案】 （1）30；（2）见解析；见解析；（3），见 解析 【解析】 【分析】 （1）先根据题意得出ABC 是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）按要求补全图即可 先根据已知条件证明ABC 是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明 ，得出，从而证明 【详解】解：（1）， ABC 是等边三角形 B=60 点关于直线的对称点为点 BCAD
34、 60CDABEAEDEBDE 60CADA60AEBE CDBE ABAD k BCDE ADEC BEBDAC CDBE()ACk BDBE AEBADC CDBE ACBC ADDE ACBADEBACEAD AEBADCBDBEBC()ACk BDBE ABAC60C DABE ABDE， 故答案为：； （2）补全图如图 2 所示； 与的数量关系为：； 证明：， 为正三角形， 又绕点顺时针旋转， ， ， ， ， （3）连接 ， 又， ， BDE30 30 CDBECDBE ABAC60BAC ABCV ADA60 ADAE60EAD 60BADDAC60BADBAE BAEDAC AE
35、BADC CDBE AE ABAD k BCDE ABAC ACAD BCDE ACBC ADDE ADEC ACBADE ， ， ， ， ， 又， 8. （2021四川省凉山州）四川省凉山州）如图，在四边形中，过点 D 作 于 E，若 （1）求证：； （2）连接交于点，若，求 DF长 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）过 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于点 G，连接 BD，证明四边形 BEDG 为 正方形，得到条件证明ADECDG，可得 AD=CD； （2）根据ADE=30，AD=6，得到 AE，DE，从而可得 BE，BG，设 DF=x，证明 AEFABC，
36、得到比例式，求出 x 值即可 【详解】解：（1）过 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于点 G，连接 BD， DEB=ABC=G=90，DE=BE， 四边形 BEDG 为正方形， BE=DE=DG，BDE=BDG=45， ADC=90，即ADE+CDE=CDG+CDE=90， BACEAD ABACAEAD BADDACBADBAE DACBAE AEBADCCDBE BDDCBC BDBEBC AC k BC ()ACk BDBE ABCD90ADCB DEABDEBE DADC ACDEF30 ,6ADEAD的 6 36 ADE=CDG，又 DE=DG，AED=G=90， ADECD
37、G（ASA） ， AD=CD； （2）ADE=30，AD=6， AE=CG=3，DE=BE=， 四边形 BEDG 为正方形， BG=BE=， BC=BG-CG=-3， 设 DF=x，则 EF=-x， DEBC， AEFABC， ，即， 解得：x=， 即 DF 的长为 9. （2021四川省眉山市）四川省眉山市）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，ACBC 2，边长为 2 的正方形 DEFG 的对角线交点与点 C 重合，连接 AD，BE （1）求证：ACDBCE； （2） 当点 D 在ABC 内部，且ADC90时，设 AC 与 DG 相交于点 M，求 AM 的长 ； （3）将正方形
38、DEFG 绕点 C 旋转一周，当点 A、D、E 三点在同一直线上时，请直接写 22 ADAE3 3 3 3 3 3 3 3 EFAE BCAB = 3 33 3 333 33 x 6 36 6 36 出 AD 的长 【分析】 （1） 由等腰直角三角形的性质和正方形两条对角线互相垂直平分且相等的性质， 可证明ACDBCE； （2）过点 M 作 MHAD 于点 H，当ADC90时，则ADM45，由正方形的边 长和 AC 的长，可计算出 AD 的长，利用AMH 和DMH 边之间的特殊关系列方程，可 求出 AM 的长； （3）A、D、E 三点在同一直线上又分两种情况，即点 D 在 A、E 两点之间或在
39、射线 AE 上，需要先证明点 B、E、F 也在同一条直线上，然后在ABE 中用勾股定理列方程即可 求出 AD 的长 【解答】解：（1）如图 1，四边形 DEFG 是正方形， DCE90，CDCE； ACB90， ACDBCE90BCD， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS） （2）如图 1，过点 M 作 MHAD 于点 H，则AHMDHM90 DCG90，CDCG， CDGCGD45， ADC90， MDH904545， MHDHtan45DH； CDDGsin452，AC2， AD， tanCAD， AH3MH3DH， 3DH+DH3； MHDH， sinCAD， AMMH
40、（3）如图 3，A、D、E 三点在同一直线上，且点 D 在点 A 和点 E 之间 CDCECF，DCEECF90， CDECEDCEFCFE45； 由ACDBCE，得BECADC135， BEC+CEF180， 点 B、E、F 在同一条直线上， AEB90， AE2+BE2AB2，且 DE2，ADBE， （AD+2）2+AD2（2）2+（2）2， 解得 AD1 或 AD1（不符合题意，舍去） ； 如图 4，A、D、E 三点在同一直线上，且点 D 在 AE 的延长线上 BCFACE90ACF，BCAC，CFCE， BCFACE（SAS） ， BFCAEC， CFECED45， BFC+CFEAE
41、C+CED180， 点 B、F、E 在同一条直线上； ACBC，ACDBCE90+ACE，CDCE， ACDBCE（SAS） ， ADBE； AE2+BE2AB2， （AD2）2+AD2（2）2+（2）2， 解得 AD+1 或 AD1（不符合题意，舍去） 综上所述，AD 的长为1 或+1 10. （2021浙江省湖州市）已知在ACD 中，P 是 CD 的中点，B 是 AD 延长线上的一点， 连结 BC，AP （1）如图 1，若ACB90，CAD60，BDAC，AP，求 BC 的长； （2）过点 D 作 DEAC，交 AP 延长线于点 E，如图 2 所示，若CAD60，BDAC， 求证：BC2A
42、P； （3） 如图 3，若CAD45，是否存在实数 m，当 BDmAC 时，BC2AP？若存在， 请直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）；（2）略；（3） 【解析】 （1）解：， ， ， 是等边三角形， 是的中点， ， 在中， （2）证明：连结， 3 2 32 90 ,60ACBCAD2 cos60 AC ABAC BDAC ADAC ADCV 60ACD CD APCD Rt APCV3AP 2 sin60 AP AC tan602 3BCAC BEDEAC ， ， ， ， ， ， 又， ，是等边三角形， ， ， 又， ， ， （3）存在这样的 11. 【（2021浙江
43、省宁波市）浙江省宁波市）证明体验】 （1） 如图 1，为的角平分线，点 E 在上，求 证：平分 【思考探究】 CAPDEP ,CPDPCPADPE CPADPE AASVV 1 , 2 APEPAE DEAC BDAC BDDE DEAC 60BDECAD BDEV,60BDBEEBD BDAC ACBE 60 ,CABEBAABBA CABEBA SASVVAEBC2BCAP ,2m m ADABCV60ADCABAEAC DEADB （2）如图 2，在（1）的条件下，F 为上一点，连结交于点 G若， ，求的长 【拓展延伸】 （3） 如图 3， 在四边形中， 对角线平分， 点 E 在 上，若
44、，求的长 【答案】 （1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据 SAS 证明，进而即可得到结论； （2）先证明，得，进而即可求解； （3）在上取一点 F，使得，连结，可得，从而得 ，可得，最后证明 ，即可求解 【详解】解：（1）平分， ， ， ， ， ， ，即平分； （2）， ， ， ， ， AB FCADFBFC 2DG 3CD BD ABCDAC,2BADBCADCA AC EDCABC 5,2 5,2BCCDADAEAC 9 2 16 3 EADCAD EBDGCDVV BDDE CDDG ABAFADCFAFCADCVV DCEBCFVV, CDCE CEDBFC B
45、CCF 4CE EADDACVV ADBAC EADCAD ,AEAC ADAD EADCAD SASVV 60ADEADC 18060EDBADEADC BDEADEDEADB FBFC EBDGCD 60BDEGDC EBDGCDVV BDDE CDDG EADCAD ， ； （3）如图，在上取一点 F，使得，连结 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 3DEDC 2DG 9 2 BD ABAFADCF ACBAD FACDAC ACAC AFCADC SASVV ,CFCDACFACDAFCADC 2ACFBCFACBACD DCEBCF EDCFBC DCEBCFVV ,
46、CDCE CEDBFC BCCF 5,2 5BCCFCD 4CE 180180AEDCEDBFCAFCADC EADDAC EADDACVV 1 2 EAAD ADAC 4ACAE 12. （2021浙江省绍兴市）浙江省绍兴市）如图，在ABC 中，A40，E 分别在边 AB，AC 上，连 结 CD，BE （1）若ABC80，求BDC，ABE 的度数； （2）写出BEC 与BDC 之间的关系，并说明理由 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到BDCBCD(18080)50,根据 三角形的内角定理得到ACB180405060,推出BCE 是等边三角形， 得到EBC60,于是得到结论; (2)设B
47、EC,BDC,由于 A+ABE40+ABE,根据等腰三角形的性质得 到CBEBEC,求得ABCABE+CBEA+2ABE40+ABE,推出 CBEBEC,于是得到结论。 【解答】解：（1）ABC80，BDBC, BDCBCD(18080)50, A+ABC+ACB180,A40, ACB180405060, CEBC, BCE 是等边三角形， EBC60, ABEABCEBC20; (2)BEC 与BDC 之间的关系：BEC+BDC110, 理由：设BEC,BDC, 在ABE 中，A+ABE40+ABE, CEBC, 416 33 ACCE CBEBEC, ABCABE+CBEA+4ABE40
48、+ABE, CEBC, CBEBEC, ABCABE+CBEA+2ABE40+2ABE, 在BDC 中，BDBC, BDC+BCD+DBC6+40+2ABE180, 70ABE, +40+ABE+70ABE110, BEC+BDC110 13. （2021 重庆市重庆市 A）在中，是边上一动点， 连接， 将 绕点逆时针旋转至的位置，使得 （1）如图 ，当时，连接，交于点若平分， ，求的长； （2）如图，连接，取的中点，连接猜想与存在的数量关系， 并证明你的猜想； （3）如图，在（2）的条件下，连接，若，当， 时，请直接写出的值 【答案】 （1）；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】
49、（1）连接，过点作，垂足为，证明，得： ，再在等腰直角中，找到，再去证明为等腰三角 ABCVABACDBCADAD AAE180DAEBAC 190BACBEACFBEABC 2BD AF 2BEBEGAGAGCD 3DGCE120BACBDCD 150AEC BDDG CE 2 1 2 AGCD 6 2 BDDG CE CEFFHBCHABFHBFVV AFHFFHCV 2 2 FHCFFCE 形，即可以间接求出的长； （2）作辅助线，延长至点，使，连接，在中，根据三角形 的中位线，得出，再根据条件证明：，于是猜想得以证明； （3）如图（见解析） ，先根据旋转的性质判断出是等边三角形，再根据
50、 证出四点共圆，然后根据等腰三角形的三线合一、角的 和差可得是等腰直角三角形，设，从而可得 ，根据三角形全等的判定定理与性质可得， 从而可得，根据矩形的判定与性质可得四边形是 矩形，最后根据等量代换可得，解直角三角形求 出即可得出答案 【详解】解：（1）连接，过点作，垂足为 平分， ， ， ， ， ， ， AF BAMAMABEMBEFV 1 2 AGMEAD C AEM ADEV 180ABCAEC, ,A B C E CDE2CEDEa 2 ,2 2ADa CDa120BDPBAP 90AGDGDPAPD AGDP DGAP BDDGACAPCP CECECE 6CPa CEFFHBCH
