1、20212021 全国中考真题分类汇编（圆）全国中考真题分类汇编（圆） -与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 一、选择题 1.（20212021山东省临沂市山东省临沂市） 如图，PA、PB分别与O相切于A、B，P70，C为O上一 点，则ACB的度数为（） A110 B120 C125 D130 【分析】 由切线的性质得出OAPOBP90，利用四边形内角和可求AOB110， 再利用圆周角定理可求ADB55，再根据圆内接四边形对角互补可求ACB 【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD， AP、BP是O切线， OAPOBP90， AOB360909070110，
2、ADBAOB55， 又圆内接四边形的对角互补， ACB180ADB18055125 故选：C 2. （20212021山东省泰安市山东省泰安市） 如图，在ABC中，AB6，以点A为圆心，3 为半径的圆与边BC 相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，CDE18，则GFE 的度数是（） A50 B48 C45 D36 【分析】连接AD,根据切线的性质得到ADBC,根据垂直的定义得到ADBADC90 ,根据直角三角形的性质得到B30,根据三角形的内角和定理得到GAD60, 根据等腰三角形的性质得到AEDADE72,根据圆周角定理即可得到结论。 【解答】解：连接AD, BC
3、与A相切于点D， ADBC, ADBADC90, AB6,AGAD3, ADAB, B30 GAD60, CDE18， ADE901872, ADAE, AEDADE72, DAE180ADEAED180727236, BACBAD+CAD60+3696, GFEGAE9648, 故选：B 3. （20212021 上海市）上海市）如图，已知长方形中，圆B的半径为 1，圆 A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ） A. 点C在圆A外，点D在圆A内 B. 点C在圆A外，点D在圆A外 C. 点C在圆A上，点D在圆A内 D. 点C在圆A内，点D在圆A外 【答案】C 【解析】 【分析】根据内切得出圆
4、A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可 【详解】 圆A与圆B内切，圆B的半径为 1 圆A的半径为 5 5 点D在圆A内 在RtABC中， 点C在圆A上 故选：C 4. （20212021山西山西） 如图，在O 中，AB 切O 于点 A，连接 OB 交O 于点 C，过点 A 作 AD/OB 交O 于点 D，连接 CD.若B 50 ，则OCD 为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 ABCD4,3ABAD ,C D 4AB 3AD 2222 435ACABBC 5. （2021四川省凉山州四川省凉山州） 如图，等边三角形 ABC 的边长为 4，的半径为，P 为 AB 边上一动
5、点，过点 P 作的切线 PQ，切点为 Q，则 PQ 的最小值为_ 【答案】3 【解析】 【分析】连接 OC 和 PC，利用切线的性质得到 CQPQ，可得当 CP 最小时，PQ 最小，此 时 CPAB，再求出 CP，利用勾股定理求出 PQ 即可 【详解】解：连接 QC 和 PC， PQ 和圆 C 相切， CQPQ，即CPQ 始终为直角三角形，CQ 为定值， 当 CP 最小时，PQ 最小， ABC 是等边三角形， 当 CPAB 时，CP 最小，此时 CPAB， AB=BC=AC=4， AP=BP=2， CP=， 圆 C 的半径 CQ=， PQ=3， 故答案为：3 Ce 3 Ce 22 ACAP2
6、3 3 22 CPCQ 6. （20212021 泸州市）泸州市）如图，O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与O相切于点 E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 过点D作DGBC于点G， 延长CO交DA的延长线于点H， 根据勾股定理求得， 即可得AD=BG=2，BC= 8，再证明HAOBCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可 求得HD= 10；在 RtABD中，根据勾股定理可得；证明DHFBCF，根据相 似三角形的性质可得，由此即可求得 【详解】过点D作DGBC于点
7、G，延长CO交DA的延长线于点H， 8 17 9 10 17 9 8 15 9 10 15 9 6GC 2 17BD DHDF BCBF 8 17 9 BF AM，BN是它的两条切线，DE与O相切于点E， AD=DE，BC=CE，DAB=ABC=90， DGBC， 四边形ABGD为矩形， AD=BG，AB=DG=8， 在 RtDGC中，CD=10， ， AD=DE，BC=CE，CD=10， CD= DE+CE = AD+BC =10， AD+BG +GC=10， AD=BG=2，BC=CG+BG=8， DAB=ABC=90， ADBC， AHO=BCO，HAO=CBO， OA=OB， HAOB
8、CO， AH=BC=8， AD=2， HD=AH+AD=10； 在 RtABD中，AD=2，AB=8， ， ADBC， DHFBCF， ， ， 解得， 故选 A 2222 1086GCCDDG 2222 822 17BDABAD DHDF BCBF 102 17 8 BF BF 8 17 9 BF 7. （20212021浙江省嘉兴市）浙江省嘉兴市）已知平面内有O和点A，B，若O半径为 2cm，线段OA3cm， OB2cm，则直线AB与O的位置关系为（） A相离 B相交 C相切 D相交或相切 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断 【解答】解：O的半径为 2cm，线段OA3cm，OB2
9、cm， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， 点A在O外，点B在O上， 直线AB与O的位置关系为相交或相切， 故选：D 8. （2021湖北省荆门市湖北省荆门市） 如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点，若P70，则 ABO（） A30 B35 C45 D55 【分析】 连接 OA，根据切线的性质得到PBOPAO90，根据四边形的内角和等 于 360得到BOA360PBOPAOP110，根据等腰三角形的性质即 可得到结论 【解答】解：连接 OA， PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点， PBOPAO90， P70， BOA360PBOPAOP110，
10、OAOB， ABOBAO（180BOA）（180110）35， 故选：B 9. （2021福建省）福建省）如图，AB 为O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PC，PD 与O 相 切，切点分别为 C，D若 AB6，PC4，则 sinCAD 等于（） A B C D 10. （ 2021 吉 林 省 长 春 市 ） 吉 林 省 长 春 市 ） 如 图 ， AB 是的 直 径 ， BC 是的 切 线 ， 若 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 11. （2021广西贺州市）广西贺州市）如图，在中，点在上， ，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答
11、案】B OeOe 35BACACB 35455565 Rt ABCV90C5ABOAB 2OB OBOeACDBCECE 1 2 2 3 2 2 【解析】 【分析】连接 OD，EF，可得 ODBC，EFAC，从而得，进而 即可求解 【详解】解：连接 OD，EF， 与相切于点，BF 是的直径， ODAC，FEBC， ， ODBC，EFAC， ， ， OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=22=4， ， BC=，BE=， CE=-= 故选：B 12. （2021贵州省贵阳市）贵州省贵阳市）如图，O 与正五边形 ABCDE 的两边 AE，CD 相切于 A，C 两点，则AOC 的度数是（） ODOA
12、 BCBA BFBE BABC OeACDOe 90C ODOA BCBA BFBE BABC 5AB2OB 23 5BC 4 5 BE BC 10 3 8 3 10 3 8 3 2 3 A144 B130 C129 D108 【分析】 先根据五边形的内角和求ED108，由切线的性质得：OAEOCD 90，最后利用五边形的内角和相减可得结论 【解答】解：正五边形的内角（52）1805108， ED108， AE、CD 分别与O 相切于 A、C 两点， OAEOCD90， AOC5409090108108144， 故选：A 13. （2021湖南省娄底市湖南省娄底市） 如图，直角坐标系中，以 5
13、 为半径的动圆的圆心 A 沿 x 轴移动， 当与直线只有一个公共点时，点 A 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 A 5 : 12 l yx ( 12,0)( 13,0)( 12,0)( 13,0) 【分析】 当与直线只有一个公共点时， 则此时A 与直线相切， （需考虑左右两侧相切的情况） ；设切点为，此时点同时在A 与直线上， 故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形 的性质算出长度，最终得出结论 【详解】如下图所示，连接，过点作， 此时点坐标可表示为 ， ， 在中， 又半径为 5， ， ， ， 则， ， ， 左右两侧都有相切的可能， A 5 : 12 l
14、 yx 5 : 12 l yx BB 5 : 12 l yx BB/BC OAAOBOBC OA ABB/ /BCOA B 5 12 x,x 5 12 OCxBCx Rt OBCV 2 222 513 1212 OBBCOCxxx Ae 5AB /BC OA AOBOBC OAABOB BOOCBC 5 135 1212 OA = xx 13OA= A 点坐标为， 故选：D 二填空题 1. （20212021岳阳市）岳阳市）如图，在中，的垂直平分线分别交、 于点、，为的外接圆，过点作的切线交于 点，则下列结论正确的是_ （写出所有正确结论的序号） ； ； 若， 则的长为； ； 若，则 【答案】
15、 2. （20212021江苏省南京市）江苏省南京市） 如图，是五边形外接圆的切线， 则_ 【答案】 【解析】 【分析】 由切线的性质可知切线垂直于半径，所以要求的 5 个角的和等于 5 个直角减去五边 形的内角和的一半 【详解】如图：过圆心连接五边形的各顶点， 则 ( 13,0) Rt ABCV90CABAB ACDE8BE OeBCEVEOeEFAB F AEBEAEDCBD40DBE DE 8 9 DFEF EFBF 6EF 2.24CE ,FA GB HC ID JEABCDE的 BAFCBGDCHEDIAEJ 180 ABCDE OABOBCOCDODEOEA OBAOCBODCOE
16、DOAE 故答案为： 3. （20212021陕西省）陕西省）如图，正方形ABCD的边长为 4，O的半径为 1若O在正方形ABCD 内平移（O可以与该正方形的边相切）3+1 【分析】 当O与CB、CD相切时，点A到O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE BC于E，OFCD于F， 根据切线的性质得到OEOF1， 利用正方形的性质得到点O在AC 上，然后计算出AQ的长即可 【解答】解：当O与CB、CD相切时，如图， 过O点作OEBC于E，OFCD于F， OEOF1， OC平分BCD， 四边形ABCD为正方形， 点O在AC上， ACBC5OE， 1 (52) 180270 2 BAFCBGDCHE
17、DIAEJ 5 90()OABOBCOCDODEOEA 450270 180 180 AQOA+OQ4+13， 即点A到O上的点的距离的最大值为 3+3， 故答案为 3+2 4. （20212021湖北省荆州市）湖北省荆州市）如图，AB是O的直径，AC是O的弦，ODAC于D，连接OC， 过点D作DFOC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E若AD4，DF，则BE 【分析】 根据垂径定理得到ADDC，根据三角形中位线定理求出OC，根据勾股定理求出 OD，证明AODAEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可 【解答】解：ODAC，AD4， ADDC4， DFOC，DF， OC2DF5，
18、在 RtCOD中，OD3， BE是O的切线， ABBE， ODAD， ADOABE， OADEAB， AODAEB， ，即， 解得：BE， 故答案为： 5. （20212021青海省）青海省）点P是非圆上一点，若点P到O上的点的最小距离是 4cm，最大距离 是 9cm，则的半径是 6.5cm或 2.5cm 【分析】点应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论：当点P在圆内时，直径最小 距离+最大距离；当点P在圆外时，直径最大距离最小距离 【解答】解：分为两种情况： 当点在圆内时，如图 1， 点到圆上的最小距离PB4cm，最大距离PA9cm， 直径AB4cm+9cm13cm， 半径r6.5cm； 当点
19、在圆外时，如图 2， 点到圆上的最小距离PB4cm，最大距离PA9cm， 直径AB9cm4cm5cm， 半径r2.5cm； 故答案为：6.5cm或 2.5cm 6. （20212021浙江省杭州）浙江省杭州）如图，已知O的半径为 1，点P是O外一点，T为切点，连结 OT，则 PT= 【分析】根据圆的切线性质可得出OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度 【解答】解：PT是O的切线，T为切点， OTPT， 在 RtOPT中，OT1， PT， 故：PT 7. （2021浙江省温州市浙江省温州市） 如图，O 与OAB 的边 AB 相切，切点为 B将OAB 绕点 B 按顺时针方向旋转得到OAB，
20、边 AB 交线段 AO 于点 C若A25，则 OCB85度 【分析】 根据切线的性质得到OBA90，连接 OO，如图，再根据旋转的性质得 AA25，ABAOBO，BOBO，则判断OOB 为等边三角形得 到OBO60，所以ABA60，然后利用三角形外角性质计算OCB 【解答】解：O 与OAB 的边 AB 相切， OBAB， OBA90， 连接 OO，如图， OAB 绕点 B 按顺时针方向旋转得到OAB， AA25，ABAOBO， OBOO， OOB 为等边三角形， OBO60， ABA60， OCBA+ABC25+6085 故答案为 85 8. （2021浙江省温州市浙江省温州市） 图 1 是邻
21、边长为 2 和 6 的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪 拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图 2）62；记图 1 中小正方形的中心为点 A，B，C，图 2 中的对应点为点 A，B，C,以大正方形的中心 O 为圆心作圆，则当 点 A，B，则当点 A，B，C在圆内或圆上时。圆的最小面积为 (16 8) 【分析】 如图， 连接 FH,由题意可知点 A,O,C在线段 FH 上,连接 OB,BC,过点 O 作 OHBC于 H证明EGF30,解直角三角形求出 JK,OH,BH,再求出 OB2, 可得结论 【解答】解：如图，连接 FH,O,C在线段 FH 上,BC 大正方形的面积12， FGGH2, EFH
22、K2, 在 RtEFG 中，tanEGF, EGF30, JKFG, KJGEGF30, dJKGK6)62, OFOHFH, OC, BCQH,BC2, OCHFHQ45, OHHC2, HB2(6)3, OB5OH2+BH2(1)2+(8)2163, OAOCOB, 当点 A，B，圆的最小面积为(168 故答案为：62，(168 9. （2021北京市）北京市）如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 是切点若P50，则AOB 三、解答题 1. （20212021甘肃省定西市甘肃省定西市） 如图，ABC内接于O，D是O的直径AB的延长线上一点， DCBOAC过圆心O作BC的平行线交DC的延长
23、线于点E （1）求证：CD是O的切线； （2）若CD4，CE6，求O的半径及 tanOCB的值 【分析】 （1） 由等腰三角形的性质与已知条件得出,OCADCB，由圆周角定理可得 ACB90，进而得到OCD90，即可得出结论； （2）根据平行线分线段成比例定理得到,设BD2x,则OBOC3x,OD OB+BD5x,在 RtOCD中，根据勾股定理求出x1,即O的半径为 3，由平行线的性质 得到OCBEOC,在 RtOCE中，可求得 tanEOC2,即 tanOCB2 【解答】 （1）证明：OAOC, OACOCA, DCBOAC, OCADCB, AB是O的直径， ACB90, OCA+OCB9
24、0, DCB+OCB90, 即OCD90, OCDC, OC是O的半径， CD是O的切线； （2）解：OEAC， , CD4，CE6， , 设BD2x,则OBOC3x,ODOB+BD5x, OCDC, OCD是直角三角形， 在 RtOCD中，OC2+CD2OD2, (3x)2+42(5x)2, 解得，x1, OC3x3,即O的半径为 3， BCOE, OCBEOC, 在 RtOCE中，tanEOC2, tanOCBtanEOC2 2.（20212021湖南省常德市）湖南省常德市）如图，在中，以的中点O为圆心， 为直径的圆交于D，E是的中点，交的延长线于F （1）求证：是圆O的切线； （2）若，
25、求的长 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）连接OD，利用等腰三角形性质，直角三角形证明即可； （2）设 OD=x，求证，列比例求解即可 【详解】解：证明：连接OD，如图： Rt ABCV90ABCAB ABACBCDEBA FD 4BC 8FB AB 171 ODFE ODFEBFVV AB为直径， ， 点E是BC的中点， ED=EB， ， ， ， OA=OD， ， ， 是圆O的切线 （2）E是BC中点，BC=4, BE=2， ， 在和中， ， 设OD为x， 则， 解得：, 则 90ADBBDC EDBEBD 9090EBDABDDABABD， DABDBEBDE OD
26、ADABDBEBDE 90ODAODBCDEADF 90FDO ODFD FD 2222 282 17FEBEFB ODFEBF90ODFEBF FF ODFEBFVV 8 22 17 ODOFxx EBFE 171 2 x 2171ABx 3.（20212021湖南省衡阳市）湖南省衡阳市）如图，AB是O的直径，D为O上一点，E为的中点，点C 在BA的延长线上，且CDAB （1）求证：CD是O的切线； （2）若DE2，BDE30，求CD的长 【分析】(1)连结OD，利用已知条件证明ODCD即可求证CD是O的切线； (2)连结OE，根据BDE30，E为的中点即可求出BOD度数以及求证三角形EOD
27、 为等边三角形，进而求出DOC度数，再利用 tanDOC的值即可求出CD的长 【解答】解：（1）证明：连结OD，如图所示： AB是直径， BDA90， BDO+ADO90， 又OBOD，CDAB， BBDOCDA， CDA+ADO90， ODCD，且OD为O半径， CD是O的切线； （2）连结OE，如图所示： BDE30， BOE2BDE60， 又E为的中点， EOD60, EOD为等边三角形， EDEOOD2, 又BODBOE+EOD120， DOC180BOD18012060, 在 RtDOC中，DOC60,OD2， tanDOCtan60, CD2 4.（20212021怀化市）怀化市）
28、如图，在半径为 5cm的O中，AB是O的直径，CD是过O上一点C 的直线，且ADDC于点D，AC平分BAD，E是BC的中点，OE3cm （1）求证：CD是O的切线； （2）求AD的长 【分析】 （1） 连接OC，由AC平分BAD，OAOC，可得DACOCA，ADOC，根据AD DC，即可证明CD是O的切线； （2）由OE是ABC的中位线，得AC6，再证明DACCAB，得，即 ，从而可得AD 【解答】 （1）证明：连接OC，如图： AC平分BAD， DACCAO， OAOC， CAOOCA， DACOCA， ADOC， ADDC， CODC， CD是O的切线； （2）E是BC的中点，且OAOB，
29、 OE是ABC的中位线，AC2OE， OE3， AC6， AB是O的直径， ACB90ADC， 又DACCAB， DACCAB， ，即， AD 5.（20212021江苏省连云港）江苏省连云港） 如图，中，以点C为圆心，为半 径作，D为上一点，连接、，平分 （1）求证：是切线； （2）延长、相交于点E，若，求的值 Rt ABCV90ABCCB CeCeADCDABADACBAD ADCe 的 ADBC 2 EDCABC SS VV tan BAC 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用SAS证明，可得，即可得证； （2）由已知条件可得，可得出，进而得出 即可求得； 【详
30、解】 （1）平分， ， ， 是的切线 （2）由（1）可知， 又， ，且， ， ， 2 2 BACDAC90ADCABC EDCEBA :1:2DC BA :1:2CB BA tan BAC ACBAD BACDAC ABADACAC BACDAC 90ADCABC CDAD ADCe 90EDCABC EE EDCEBA 2 EDCABC SSBACDAC :1:2 EDCEBA SS :1:2DC BA DCCB :1:2CB BA 90ABC 6. （20212021 宿迁市宿迁市） 如图，在RtAOB中，AOB=90，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB 于点C，点D在边OB上，且CD=
31、BD （1）判断直线CD与圆O的位置关系，并说明理由； （2）已知AB=40，求的半径 【答案】 （1）直线CD与圆O相切，理由见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）连接 证明可得 从而可得答案； （2）由 设 则 再求解 再表示 再利用 列方程解 方程，可得答案 【详解】解：（1）直线CD与圆O相切，理由如下： 如图，连接 2 tan 2 CB BAC BA 24 tan 7 DOC，Oe 4 2. ,OC90 ,DCBOCA90 ,OCD 24 ,tan, 7 CD OCCDDOC OC 24 ,CDx7 ,OCx 25 ,7 ,ODx OAx49 ,OBODBDx 222, AOBO
32、AB ,OC 90 ,AOBOAOC 90 ,BOACOACOCA ,CDBD ,BDCB 为的半径， 是的切线 （2） 设 则 （负根舍去） 的半径为： 90 ,DCBOCA 1809090 ,OCD ,OCCD OCOe CDOe 24 ,tan, 7 CD OCCDDOC OC 24 ,CDx7 ,OCx 22 25 ,7 ,ODOCCDx OAOCx ,CDBD 24 ,BDx 49 ,OBODBDx 40,90 ,ABAOB 222, AOBOAB 22 2 74940 ,xx 2 32 , 49 x 12 4 24 2 , 77 xx Oe 4 2 774 2. 7 OCx 7.（
33、20212021山东省聊城市）山东省聊城市）如图，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，AE是直径， 交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EFBC交AD的延长线于点F，延长BC 交AF于点G （1）求证：EF是O的切线； （2）若BC2，AHCG3，求EF和CD的长 【答案】 （1）见解析；（2）， 【解析】 【分析】 （1）因为AE是直径，所以只需证明EFAE即可； （2）因EFBG，可利用，将要求的EF的长与已知量建立等量关系；因 四边形ABCD是圆内接四边形，可证得，由此建立CD与已知量之间的等 量关系 【详解】 （1）证明：ABAC， 又AE是O的直径， AB=AC， A
34、EBC AHC=90 EFBC， AEF=AHC=90 EFAE EF是O的切线 AC 40 9 EF 3 10 5 CD AHGAEF: CDGABG ABAC e BECE BAECAE e （2）如图所示，连接OC，设O的半径为r 在RtCOH中， ， 又OH=AH-OA=3-r， 解得， EFBC， 四边形ABCD内接于， e AEBC， 11 2=1 22 CHBHBC 3CG ， 1 34HGHCCG 2222 345AGAHHG 222 OHCHOC 222 (3)1rr 5 3 r 510 22 33 AEr AHGAEF: AHHG AEEF 34 10 3 EF ， 40
35、9 EF Oe 180BADC +=180ADCCDG ， 8.（20212021湖北省随州市）湖北省随州市）如图，是以为直径的上一点，过点的切线交 的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点 （1）求证：； （2）若的直径为 9， 求线段的长； 求线段的长 （1）见解析；（2）； 【分析】 （1）连接，由是的切线，可得，可证，可得 由，可得即可； CDGB =DGCBGA， CDGABG CDCG ABAG 2222 1310ACCHAH， 10ABAC 3 510 CD 3 10 5 CD DAB Oe DDE ABEBBCDEADCF ABBC OeAB 1 sin 3 A BF BE
36、 1BF 9 7 BE ODDEOeDEOD/OD BC ODACOAODODAA （2）连接，由的直径为 9，可求可证 ，由， 由（1）可知，可证，由性质可得，解方程得 【详解】 （1）证明：连接， 是的切线， ， 又， ， 又在中， ， ， ； （2）连接， 的直径为 9， ， 在中， ， 又，且， ， 在中， ， BDOeAB 1 sin 3 BD A AB 3BD ABDF 1 sin 3 BF BDF BD 1BF /OD BFEBFEOD 1 99 22 BE BE 9 7 BE OD DEOe DEOD BCDE /OD BC ODAC OADOAOD ODAA CA ABBC
37、BD OeAB 9AB RtABD 1 sin 3 BD A AB 1 3 3 BDAB 90OBDAFDBODB OBDODB ABDF Rt BDFV 1 sin 3 BF BDF BD 由（1）可知， DOE=FBE，ODE=BFE， ， ，即， 解得 经检验符合题意 9.（20212021湖北省宜昌市）湖北省宜昌市）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BODO） ，OE AB，垂足为E，以OE为半径的O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交 于点G （1）求证：BC是O的切线； （2）若G是OF的中点，OG2，DG1 求的长； 求AD的长 【分析】 （1）过点O
38、作OMBC于点M，证明OMOE即可； （2）先求出HOE120，再求出OH4，代入弧长公式即可； 1 1 3 BFBD /OD BF EBFEOD BEBF OEOD 1 99 22 BE BE 9 7 BE 过A作ANBD，由DOGDAN，对应边成比例求出AD的长 【解答】解：（1）证明：如图 1，过点O作OMBC于点M， BD是菱形ABCD的对角线， ABDCBD， OMBC，OEAB， OEOM， BC是O的切线 （2）如图 2， G是OF的中点，OFOH， OGOH， ABCD，OEAB， OFCD， OGH90， sinGHO， GHO30， GOH60， HOE120， OG2，
39、OH4， 由弧长公式得到的长： 如图 3，过A作ANBD于点N， DG1，OG2，OEOH4， OD，OB2，DN， DOGDAN， ， ， AD 10.（20212021山东省菏泽市）山东省菏泽市）如图，在O中，AB是直径，弦CDAB，垂足为H，E为上 一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD 于点P，若FEFP （1）求证：FE是O的切线； （2）若O的半径为 8，sinF，求BG的长 【分析】 （1） 由等腰三角形的性质可得AAEO， FPEFEP， 由余角的性质可求 FEP+AEO90，可得结论； （2） 由余角的性质可求FEOG，由锐角三角
40、函数可设EG3x，OG5x，在 RtOEG 中，利用勾股定理可求x2，即可求解 【解答】解：（1）如图，连接OE， OAOE， AAEO， CDAB， AHP90， FEFP， FPEFEP， A+APHA+FPE90， FEP+AEO90FEO， OEEF， FE是O的切线； （2）FHGOEG90， G+EOG90G+F， FEOG， sinFsinEOG， 设EG3x，OG5x， OE4x， OE8， x2， OG10， BG1082 11. （20212021四川省成都市四川省成都市） 如图，AB为O的直径，C为O上一点，连接AC，BC，D为AB 延长线上一点，连接CD，且BCDA （
41、1）求证：CD是O的切线； （2）若O的半径为，ABC的面积为 2，求CD的长； （3）在（2）的条件下，E为O上一点，连接CE交线段OA于点F，若，求BF 的长 【分析】 （1）连接OC,由AB为O的直径，可得A+ABC90，再证明ABC BCO,结合已知BCDA，可得ACB90，从而证明CD是O的切线； （2）过C作CMAB于M,过B作BNCD于N,由ABC的面积为 2,可得CM2，由 BCMA得， 可解得BM1， 根据BCMBCN， 可得CNCM2， 再由 DBNDCM,得即，解DN22，故CD DN+CN2; （3） 过C作CMAB于M,过E作EHAB于H,连接OE,由CMAB，EHA
42、B， 可得 ,而，故HE1，MF2HF,RtOEH中，OH2，可得AHOAOH2， 设HFx,则MF2x,则(1)+2x+x+(2)2,可解得HF1,MF2,从而BF BM+MF(1)+2+1 【解答】 （1）证明：连接OC,如图： AB为O的直径， ACB90，A+ABC90， OBOC, ABCBCO, 又BCDA， BCD+BCO90，即ACB90， OCCD, CD是O的切线； （2）过C作CMAB于M,过B作BNCD于N,如图： O的半径为， AB2， ABC的面积为 2, ABCM2，即2CM2， CM2， RtBCM中，BCM90CBA, RtABC中，A90CBA, BCMA,
43、 tanBCMtanA,即, , 解得BM1，(BM+1 已舍去） ， BCDA,BCMA, BCDBCM, 而BMCBNC90，BCBC, BCMBCN(AAS), CNCM2，BNBM1， DNBDMC90,DD, DBNDCM, , 即， 解得DN22， CDDN+CN2; （3）过C作CMAB于M,过E作EHAB于H,连接OE,如图： CMAB，EHAB， , ， ， 由（2）知CM2，BM1， HE1，MF2HF, RtOEH中，OH2， AHOAOH2， 设HFx,则MF2x, 由AB2可得：BM+MF+HF+AH2， (1)+2x+x+(2)2, 解得：x1, HF1,MF2,
44、BFBM+MF(1)+2+1 12.（20212021 四川省乐山市）四川省乐山市）如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线 上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且 CABDAB DBDACECDCDED （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 【 分 析 】（ 1 ） 连 接、， 根 据 已 知 条 件 证 明， 即可得解； （2）由（1）可得，得到，令，根据正切的定 义列式求解即可； 【详解】解：（1）证明：连结、 ， ， ， ， ， ， ，即是的切线 （2）由（1）知，又， ， ，即 CDOe tan2DCE1BD Oe 3 2 OC
45、BC90EOAC 90ECDOCA DCBDAC 2 DCDA DBAOr OCBC OCOADCDE OCAOAC EDCE EDAD 90ADE 90EOAC 90ECDOCA 90DCBBCO DCCOCDOe DCBCAO CDBADC DCBDAC DCDB DADC 2 DCDA DB 令， 即，即 ，即， ， 解得或（舍） ， 的半径为 13. （20212021四川省凉山州）四川省凉山州）如图，在中，AE 平分交BC于点 E，点D在AB上，是的外接圆，交AC于点F （1）求证：BC是的切线； （2）若的半径为 5，求 【答案】 （1）见解析；（2）20 【解析】 【分析】 （1
46、）连接OE，由OA=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线得 到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC与OE 平行，再根据两直线平行同位角相等及C为直角，得到OE与BC垂直，可得出BC为圆O 的切线； （2）过E作EG垂直于OD，利用AAS得出ACEAGE，得到AC=AG=8，从而可得OG，利 用勾股定理求出EG，再利用三角形面积公式可得结果 【详解】解：（1）证明：连接OE， AOr 2 (21) 1DCr 21DCr21DEr tan2DCEtan2 AD E DE 21 2 21 r r 3 2 r 1 2 r Oe 3 2 CRt A
47、BV90CBAC DEAE OeRtADE Oe Oe8AC ADE SV OA=OE， 1=3， AE平分BAC， 1=2， 2=3， OEAC， OEB=C=90， 则BC为圆O的切线； （2）过E作EGAB于点G， 在ACE和AGE中， ， ACEAGE（AAS） ， AC=AG=8， 圆O的半径为 5， AD=OA+OD=10， OG=3， EG=4， ADE的面积=20 14.（20212021 泸州市泸州市）如图，ABC是O的内接三角形，过点C作O的切线交BA的延长线 于点F，AE是O的直径，连接EC 21 CAGE AEAE 22 OEOG 11 104 22 ADEG V （1
48、）求证：； （2）若，于点，求的值 【答案】 （1）证明见详解；（2）18 【解析】 【分析】 （1）连接，根据是O的切线，AE是O的直径，可得， 利用，得到，根据圆周角定理可得，则可证得 ； （2）由（1）可知，易得，则有,则可得 ，并可求得，连接，易证，则有 ，可得 【详解】解：（1）连接 是O的切线，AE是O的直径， ， 又 ACFB ABBCADBCD4FC 2FA AD AEg OCFCACFECO= OEOCOECECO= OECB= ACFB ACFB AFCCFBV: V 2 8 FC FB FA = 6ABBC 3 FA BC CA FC = g BEACDAEBV: V A
49、DAC ABAE 18AD AEAB AC=gg OC FC 90OCFACE= = o 90ACFACOECOACO+ = + = o ACFECO= OEOC 根据圆周角定理可得： ， ； （2）由（1）可知， , ， 又中， ， 如图示，连接 ， OECECO= OECB= BECO= ACFB ACFB AFCCFB AFCCFBV: V FCFA FBFC = 2 FC FB FA = 4FC 2FA 22 4 8 2 FC FB FA = 826ABFBAF=-=-= 6ABBC AFCCFBV: V CAFA BCFC = 26 3 4 FA BC CA FC = g BE AC
50、DAEB 90ADCABE= = o ACDAEBV: V ADAC ABAE 6318AD AEAB AC=gg 15. (2021(2021四川省自贡市四川省自贡市) )如图，点D在以AB为直径的O上，过D作O的切线交AB延长 线于点C，于点E，交O于点F，连接AD，FD （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求EF的长 【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）EF 【解析】 【分析】 （1）连接OD，BD，由圆的切线的性质结合圆周角定理可求得EDA=ABD，再利用 等角的余角相等，可证明结论； （2）如图，连接BD、BF，利用平行线的性质以及圆周角定理证得C=ADF，根据（1）的
