1、2021 全国中考真题分类汇编（四边形） -命题、四边形中的计算与证明（压轴题） 一、选择题 1. （2021湖南省衡阳市）湖南省衡阳市）下列命题是真命题的是（） A正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B正六边形的每一个内角为 120 C有一个角是 60的三角形是等边三角形 D对角线相等的四边形是矩形 2. （2021怀化市）怀化市）以下说法错误的是（） A多边形的内角大于任何一个外角 B任意多边形的外角和是 360 C正六边形是中心对称图形 D圆内接四边形的对角互补 3. （2021岳阳市）岳阳市） 下列命题是真命题的是（ ） A. 五边形内角和是 B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C
2、. 内错角相等 D. 三角形的重心是这个三角形的三条 角平分线的交点 4. （2021四川省达州市）四川省达州市）以下命题是假命题的是（） A的算术平方根是 2 B有两边相等的三角形是等腰三角形 C一组数据：3，1，1，1，2，4 的中位数是 1.5 D过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 5. （2021四川省广元市）四川省广元市）下列命题中，真命题是（ ） A. B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形 D. 已知抛物线，当时， 720 1 1 2 2 x x 2 45yxx15x 0y 6. （2021四川省凉山州）四川省凉山州）下列命题中，假
3、命题是（ ） A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合 C. 若，则点 B 是线段 AC 的中点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心 7. （20212021 泸州市）泸州市）下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8. （2021 遂宁市）遂宁市）下列说法正确的是（） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等 B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.
4、 在代数式，中，是分式 D. 若一组数据 2、3、x、1、5 的平均数是 3，则这组数据的中位数是 4 9. （20212021绥化市）绥化市）下列命题是假命题的是（ ） A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边 B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 10. （20212021呼和浩特市）呼和浩特市）以下四个命题：任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互 相平分A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了 5，4，
5、3，2，1 场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队两个正六边形一定位似 有 13 人参加捐款， 其中小王的捐款数比 13 人捐款的平均数多 2 元， 则小王的捐款数不可能 最少，但可能只比最少的多比其他的都少其中真命题的个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11. (2021内蒙古包头市内蒙古包头市)下列命题正确的是（） A. 在函数中，当 时，y 随 x 的增大而减小 ABBC 1 a 2x x 985 4 2b a 1 3 y 1 a x 4 2b a 1 2 y x 0 x B. 若，则 C. 垂直于半径的直线是圆的切线 D. 各边相等的圆内接四边形是正方形 1
6、2. （2021 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区）如图，在正方形中，对角线与相交于点 ，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连 接，若，则下列结论：； ；点 D 到 CF 的距离为其中正确的 结论是（ ） A. B. C. D. 13.（2021山东省泰安市山东省泰安市） 如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC5，点 P 在线段 BC 上 运动（含 B、C 两点） ，连接 AP，以点 A 为中心，将线段 AP 逆时针旋转 60到 AQ，连接 DQ，则线段 DQ 的最小值为（） A B C D3 14. （2021四川省南充市四川省南充市）如图，在矩形 ABCD 中，AB15，B
7、C20，把边 AB 沿对角线 BD 平移，点 A，B分别对应点 A，B 给出下列结论： 顺次连接点 A，B，C，D 的图形是平行四边形； 点 C 到它关于直线 AA的对称点的距离为 48； 0a 11aa ABCDACBD OEBCDEFDEOFCDG CF4CE 6OF 2GF 2ODOG 1 tan 2 CDE90ODFOCF 8 5 5 ACBC 的最大值为 15； AC+BC 的最小值为 9 其中正确结论的个数是（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 15. （2021四川省眉山市四川省眉山市） 如图， 在矩形 ABCD 中， 对角线 AC， BD 相交于点 O， AB6， DA
8、C60，点 F 在线段 AO 上从点 A 至点 O 运动，连接 DF，以 DF 为边作等边三角形 DFE，点 E 和点 A 分别位于 DF 两侧，下列结论 ： BDEEFC； EDEC； ADFECF；点 E 运动的路程是 2，其中正确结论的序号为（） A B C D 二填空题 1. （2021江苏省无锡市）江苏省无锡市）下列命题中，正确命题的个数为 所有的正方形都相似 所有的菱形都相似 边长相等的两个菱形都相似 对角线相等的两个矩形都相似 2.（2021四川省广元市四川省广元市） 如图，在正方形中，点 O 是对角线的中点，点 P 在线 段上， 连接并延长交于点 E， 过点 P 作交于点 F，
9、 连接、， 交于 G，现有以下结论：； ； 为定值 ； 以上结论正确的有_ （填入正确的序号即可） ABCDBD ODAPCDPFAPBCAFEF AFBDAPPFDEBFEF 2PBPDBFAEF SV APGPEFG SS V四边形 3. （2021 遂宁市）遂宁市）如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连结 BE，以 BE 为对 角线作正方形 BGEF，边 EF 与正方形 ABCD 的对角线 BD 相交于点 H，连结 AF，有以下五 个结论：； 若，则，你认为其中正确是_（填写序号） 4. （2021天津市）天津市）如图，正方形的边长为 4，对角线相交于点 O，点 E，
10、 F 分别在的延长线上，且，G 为的中点，连接，交于 点 H，连接，则的长为_ 5. （20212021湖南省张家界市）湖南省张家界市） 如图,在正方形外取一点,连接,过点作 的垂线交于点,若,.下列结论:； ；点到直线的距离为；，其中正确结论的序号 为 . ABFDBE ABFDBEVVAFBD 2 2BGBH BDg :1:3CE DE :17:16BH DH ABCD,AC BD ,BC CD2,1CEDF EFOECD GHGH ABCDEDEAECED DEAEP1 DPDE6PCCEDAPD CEAE CDE3225 ABCD 正方形 S DA BC E F 6. （2021福建省
11、）福建省）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD5，点 E， F 分别是边 AB， BC 上 的动点，点 E 不与 A，B 重合，且 EFAB，G 是五边形 AEFCD 内满足 GEGF 且EGF 90的点现给出以下结论： GEB 与GFB 一定互补； 点 G 到边 AB，BC 的距离一定相等； 点 G 到边 AD，DC 的距离可能相等； 点 G 到边 AB 的距离的最大值为 2 其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 7. （2021广西贺州市广西贺州市） 如图 在边长为 6 的正方形中， 点，分别在， 上，且，垂足为，是对角线的中点，连接 、则的长为_ 8.8.（2021湖北省黄石市
12、）湖北省黄石市） 如图，在正方形中，点、分别在边、上， 且，交于点，交于点 （1）若正方形的边长为 2，则的周长是_ （2） 下列结论：；若是的中点，则；连 接，则为等腰直角三角形其中正确结论的序号是_（把你认为所有正确 的都填上） ABCDEFBCCD 3BCBEBECFAEBFGOBD OGOG ABCDEFBCCD 45EAFAEBDMAFBDN CEF 222 BMDNMNFCDtan2AEF MFAMFV 三、解答题 1. （2021辽宁省本溪市）辽宁省本溪市）在中，平分，交对角线 于点 G，交射线于点 E，将线段绕点 E 顺时针旋转得线段 （1）如图 1，当时，连接，请直接写出线段
13、和线段的数量关系； （2） 如图 2，当时，过点 B 作于点，连接，请写出线段， 之间的数量关系，并说明理由； （3）当时，连接，若，请直接写出与面积的比 值 2. （2021 宿迁市）宿迁市）已知正方形 ABCD 与正方形 AEFG，正方形 AEFG 绕点 A 旋转一周 (1)如图，连接 BG、CF，求的值； (2)当正方形 AEFG 旋转至图位置时，连接 CF、BE，分别去 CF、BE 的中点 M、N，连接 MN、试探究：MN 与 BE 的关系，并说明理由； ABCD=BADDEADCAC ABEB 1 2 EP =120APAPAC =90BFEPAFAFAB AD =120AP 1 =
14、 2 BEABAPEVCDGV CF BG (3)连接 BE、BF，分别取 BE、BF 的中点 N、Q，连接 QN，AE=6，请直接写出线段 QN 扫 过的面积 3. （2021山东省临沂市山东省临沂市）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边上一点，将ABE 沿直 线 AE 折叠，点 B 落在 F 处，连接 BF 并延长，与DAF 的平分线相交于点 H，与 AE，CD 分别相交于点 G，M，连接 HC （1）求证：AGGH； （2）若 AB3，BE1，求点 D 到直线 BH 的距离； （3）当点 E 在 BC 边上（端点除外）运动时，BHC 的大小是否变化？为什么？ 4. （2021
15、陕西省）陕西省）问题提出 （1）如图 1，在ABCD 中，A45，AD6，E 是 AD 的中点，且 DF5，求四边 形 ABFE 的面积 （结果保留根号） 问题解决 （2） 某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境如图 2 所示，现规划在河畔的一处滩 地上规划一个五边形河畔公园 ABCDE按设计要求，使点 O、P、M、N 分别在边 BC、 CD、AE、AB 上，且满足 BO2AN2CP，ABC90，AB800m，CD 600m，AE900m为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合设计要 求的面积最小的四边形人工湖 OPMN？若存在，求四边形 OPMN 面积的最小值及这时点 N 到点
16、 A 的距离，请说明理由 5. （2021湖北省宜昌市）湖北省宜昌市）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 上一点，BEBC，EF CD，垂足为 F将四边形 CBEF 绕点 C 顺时针旋转 （090） ，得到四边形 CBEF ，BE所在的直线分别交直线 BC 于点 G，交直线 AD 于点 P，交 CD 于点 KEF 所在的直线分别交直线 BC 于点 H，交直线 AD 于点 Q，连接 BF交 CD 于点 O （1）如图 1，求证：四边形 BEFC 是正方形； （2）如图 2，当点 Q 和点 D 重合时 求证：GCDC； 若 OK1，CO2，求线段 GP 的长； （3）如图 3，若 BMFB
17、交 GP 于点 M，tanG，求的值 6. （2021广东省广东省）如题图，在四边形中， 点、分别在线段、上，且， （1）求证：； （2）求证：以为直径的圆与相切； （3）若，求的面积 7. （2021四川省广元市四川省广元市） 如图 1，在中，点 D 是 边上一点（含端点 A、B） ，过点 B 作垂直于射线，垂足为 E，点 F 在射线上， 且，连接、 24ABCDABCDABCD90ABC EFBCADEFCDABAFCDDE CFFB ADBC 2EF 120DFEADE ABCV90ACBACBCAB BECDCD EFBEAFBF （1）求证：； （2）如图 2，连接，点 P、M、N
18、分别为线段、的中点，连接、 、求的度数及的值； （3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值 8. （2021浙江省嘉兴市）浙江省嘉兴市）小王在学习浙教版九上课本第 72 页例 2 后，进一步开展探究活 动：将一个矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 （090） ，得到矩形 ABCD，连 结 BD 探究 1如图 1，当 90时，点 C恰好在 DB 延长线上若 AB1，求 BC 的长 探究 2如图 2，连结 AC，过点 D作 DMAC交 BD 于点 M线段 DM 与 DM 相等吗？请说明理由 探究 3在探究 2 的条件下，射线 DB 分别交 AD，AC于点 P，N（如图 3） ，发现线 段
19、DN，MN，PN 存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明 9. （2021浙江省绍兴市浙江省绍兴市）如图，矩形 ABCD 中，AB4，点 F 是对角线 BD 上一动点， ADB30连结 EF ABFCBEVV AEACAEEFPM MNPNPMN MN PM 2BC PMNV （1）若 EFBD，求 DF 的长； （2）若 PEBD，求 DF 的长； （3）直线 PE 交 BD 于点 Q，若DEQ 是锐角三角形，求 DF 长的取值范围 10. （2021浙江省温州市）浙江省温州市）如图，在ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的两点（点 E 在点 F 左侧） （1）求证：四边形 A
20、ECF 是平行四边形； （2）当 AB5，tanABE，CBEEAF 时 11. （2021湖北省荆门市湖北省荆门市）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的动点，AEF90， 且 EFAE，FHBH （1）求证：BECH； （2）若 AB3，BEx，用 x 表示 DF 的长 12. （2021海南省）海南省）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，且点 E 不与点 B、 C 重合，点 F 是 BA 的延长线上一点，且 AFCE （1）求证：DCEDAF； （2）如图 2，连接 EF，交 AD 于点 K，过点 D 作 DHEF，垂足为 H，延长 DH 交 BF
21、于点 G，连接 HB，HC 求证：HDHB； 若 DKHC，求 HE 的长 13. （2021广西广西玉林市玉林市）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知 OA OC，OBOD，过点 O 作 EFBD，分别交 AB、DC 于点 E，F，连接 DE，BF （1）求证：四边形 DEBF 是菱形： （2）设 ADEF，AD+AB12，BD4，求 AF 的长 14. （2021广西贺州市）广西贺州市）如图，在四边形中， ，交于点，过点作，垂足为，且 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积 15. （2021江苏省无锡市）江苏省无锡市）已知四边形 ABCD 是边长
22、为 1 的正方形，点 E 是射线 BC 上的 动点， 以 AE 为直角边在直线 BC 的上方作等腰直角三角形 AEF， AEF90， 设 BE ABCD/ /ADBC90C 1 2 ADBABDBDC DEBCEEEFBDF EFEC ABED 4ADBEDV m （1）如图，若点 E 在线段 BC 上运动，EF 交 CD 于点 P，AF 交 CD 于点 Q，连结 CF， 当 m时，求线段 CF 的长； 在PQE 中，设边 QE 上的高为 h，请用含 m 的代数式表示 h，并求 h 的最大值； （2）设过 BC 的中点且垂直于 BC 的直线被等腰直角三角形 AEF 截得的线段长为 y，请 直接
23、写出 y 与 m 的关系式 16. （20212021齐齐哈尔市）齐齐哈尔市）综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手 动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体 会活动带给我们的乐趣 折一折：将正方形纸片 ABCD 折叠，使边 AB、AD 都落在对角线 AC 上，展开得折痕 AE、 AF，连接 EF，如图 1 （1）_ ，写出图中两个等腰三角形：_（不需要添加字母） ； 转一转：将图 1 中的绕点 A 旋转，使它的两边分别交边 BC、CD 于点 P、Q，连接 PQ，如图 2 （2）线段 BP、PQ、DQ 之
24、间的数量关系为_； EAF EAF （3）连接正方形对角线 BD，若图 2 中的的边 AP、AQ 分别交对角线 BD 于点 M、 点 N如图 3，则_； 剪一剪：将图 3 中的正方形纸片沿对角线 BD 剪开，如图 4 （4）求证： 17. （2021深圳）深圳）在正方形中，等腰直角，连接，H 为中点，连接、，发现和为定值. （1）_；_. 小明为了证明，连接交于 O，连接，证明了和的关系，请你 按他的思路证明. （2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图 2， PAQ CQ BM 222 BMDNMN ABCDAEF90AFECE CEBHBFHF BF BH HBF BF BH
25、 HBF ACBDOH OH AF BA BO BDEA k ADFA （） 求_（用 k 的代数式表示） _（用 k、的代数式表示） 【考点】几何探究型问题 【解析】 （1）；45 证明：如图所示： 由正方形性质得：，O 为的中点 又H 为的中点，则， 是等腰直角三角形 ，又 又 ，又 ， BDAEAF 090 FD HD FH HD 2 2 AB BO AC CE/OH AE 1 2 OHAE AEF 2AEAF 2 AFAB OHBO /OH AE COHCAE CAEDAF COHDAF 90BOCBAD BOHBAF 2 AFAB OHBO BOHBAF 2 BF BH HBOFBA
26、 （2） 理由如下： 如图，连接，与交于 O 点，连接 由（1）的第问同理可证： 方法 1： 由得： ，则 在中， 不妨令，如图作 则：， 则 由勾股定理解得： . 方法 2： 45HBFHBODBFFBADBFDBA 2 k 2 4 cos4kk k ACBDOH DOHDAF 2FDAD HDDOk DOHDAF HDOFDA HDFBDA HDFHDF 2FD HDk 2DFtDHktHMDF sinsinHMDHktcosDMkt (2cos )MFDFDMkt 222 HFMHMF 2 4 cos4HFt kk 2 4 cos4FHkk DHk 由方法得： 在中， 不妨令，作，垂足为
27、 N 在中， 则 在中由勾股定理解得： ， 18. （2021浙江省衢州卷浙江省衢州卷） 【推理】 如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一动点，将正方形沿着 BE 折叠，点 C 落在点 F 处，连结 BE，CF，延长 CF 交 AD 于点 G （1）求证： 【运用】 （2） 如图 2，在【推理】 条件下，延长 BF 交 AD 于点 H若，求线段 DE 的长 【拓展】 （3）将正方形改成矩形，同样沿着 BE 折叠，连结 CF，延长 CF，BF 交直线 AD 于 G，两 HDFHDF 2FD HDk 2DFtDHktFNDH RtDNFsin2 sinFNDFt2 cosDNt (2cos)HNDNDHk t RtHNF 2 4 cos4HFt kk 2 4 cos4FHkk DHk BCECDG 4 5 HD HF 9CE 点，若，求的值（用含 k 的代数式表示） 19. （20212021绥化市）绥化市）如图所示，四边形为正方形，在中， 的延长线与的延长线交于点，点在同一条 直线上 AB k BC 4 5 HD HF DE EC ABCDVECH 90 ,ECHCECH HECD FDBH、 、
