1、专练 48高考大题专练(五)圆锥曲线的综合运用 1.已知 m1，直线 l：xmym 2 2 0，椭圆 C：x 2 m2y 21，F1，F2分别为椭圆 C 的左、右焦点 (1)当直线 l 过右焦点 F2时，求直线 l 的方程 (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为 G，H.若坐标原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围 2.2021全国新高考卷在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1( 17，0)，F2( 17，0)， 点 M 满足|MF1|MF2|2.记 M 的轨迹为 C. (1)求 C 的方程； (2)设点 T 在直线 x
2、1 2上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且|TA|TB| |TP|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和 3.2020全国卷已知 A，B 分别为椭圆 E：x 2 a2y 21(a1)的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， AG GB 8.P 为直线 x6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点 4.已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交 点为 P. (1)若|AF|BF|4，求 l 的方程；
3、(2)若AP 3PB，求|AB|. 5.2020全国卷已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C 2的焦点重合， C1的中心与 C2的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两 点，且|CD|4 3|AB|. (1)求 C1的离心率； (2)设 M 是 C1与 C2的公共点若|MF|5，求 C1与 C2的标准方程 6.2020新高考卷已知函数 f(x)aex 1lnxlna (1)当 ae 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若 f(x)1，求 a 的取值范围 7.
4、2021全国乙卷已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，且 F 与圆 M：x2(y4)21 上 点的距离的最小值为 4. (1)求 p； (2)若点 P 在 M 上，PA，PB 是 C 的两条切线，A，B 是切点，求PAB 的最大值 8.2021全国甲卷抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l：x1 交 C 于 P，Q 两点，且 OPOQ.已知点 M(2,0)，且M 与 l 相切 (1)求 C，M 的方程； (2)设 A1，A2，A3是 C 上的三个点，直线 A1A2，A1A3均与M 相切判断直线 A2A3与M 的 位置关系，并说明理由 专练 48高考大题专练(五)
5、圆锥曲线的综合运用 1.解析：(1)因为直线 l：xmym 2 2 0 经过点 F2( m21，0)，所以 m21m 2 2 ，解得 m22.又因为 m1，所以 m 2， 故直线 l 的方程为 x 2y10. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 xmym 2 2 ， x2 m2y 21， 消去 x，得 2y2mym 2 4 10. 由m28 m2 4 1 m280，得 m28. y1y2m 2，y 1y2m 2 8 1 2. 由 F1(c,0)，F2(c,0)，可知 G x1 3 ，y1 3 ，H x2 3 ，y2 3 . 因为坐标原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内， 所以O
6、H OG 0，即 x1x2y1y20. 因为 x1x2y1y2 my1m 2 2 my2m 2 2 y1y2(m21) m2 8 1 2 ，所以(m21) m2 8 1 2 0.解 得 m24(符合 m21，所以实数 m 的取值范围是(1,2) 2解析：(1)因为|MF1|MF2|20，b0)，则 2a2，可得 a1，b 17a24， 所以，轨迹 C 的方程为 x2y 2 161 (x1). (2)设点 T 1 2，t，若过点 T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 C 无公共点， 不妨设直线 AB 的方程为 ytk1 x1 2 ，即 yk1xt1 2k 1， 联立 yk1xt1 2k 1
7、16x2y216 ，消去 y 并整理可得 (k 2 116)x2k1(2tk1)x t1 2k 1 2160， 设点 A (x 1，y1)，B (x 2，y2)，则 x11 2且 x 21 2. 由韦达定理可得 x1x2k 2 12k1t k2116 ，x1x2 t1 2k 1 216 k2116 ， 所 以 ，|TA|TB|(1k21)|x 11 2|x 21 2| (1k21) x1x2x1x2 2 1 4 (t 212)(1k2 1) k2116 ， 设直线 PQ 的斜率为 k2，同理可得|TP|TQ| (t 212)(1k2 2) k2216 ， 因为|TA|TB|TP|TQ|，即 (
8、t 212)(1k2 1) k2116 (t 212)(1k2 2) k2216 ，整理可得 k21k22， 即 (k 1k2 )(k 1k2)0，显然 k1k20，故 k1k20. 因此，直线 AB 与直线 PQ 的斜率之和为 0. 3解析：(1)由题设得 A(a,0)，B(a,0)，G(0,1) 则AG (a,1)，GB (a，1)由AG GB 8 得 a218，即 a3. 所以 E 的方程为x 2 9 y21. (2)设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t) 若 t0，设直线 CD 的方程为 xmyn，由题意可知3n3. 由于直线 PA 的方程为 yt 9(x3)，所以 y
9、1t 9(x 13) 直线 PB 的方程为 yt 3(x3)，所以 y 2t 3(x 23) 可得 3y1(x23)y2(x13) 由于x 2 2 9 y221，故 y22x23x23 9 ， 可得 27y1y2(x13)(x23)，即 (27m2)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20. 将 xmyn 代入x 2 9 y21 得 (m29)y22mnyn290. 所以 y1y2 2mn m29，y 1y2n 29 m29. 代入式得(27m2)(n29)2m(n3)mn(n3)2(m29)0. 解得 n3(舍去)或 n3 2. 故直线 CD 的方程为 xmy3 2， 即直线 CD 过定点
10、 3 2，0. 若 t0，则直线 CD 的方程为 y0，过点 3 2，0. 综上，直线 CD 过定点 3 2，0. 4解析：设直线 l：y3 2xt，A(x 1，y1)，B(x2，y2) (1)由题设得 F 3 4，0，故|AF|BF|x1x23 2，由题设可得 x 1x25 2. 由 y3 2xt， y23x 可得 9x212(t1)x4t20，则 x1x212t1 9 . 从而12t1 9 5 2，得 t 7 8. 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8. (2)由AP 3 PB可得 y 13y2. 由 y3 2xt， y23x 可得 y22y2t0. 所以 y1y22.从而3y2y22，
11、故 y21，y13. 代入 C 的方程得 x13，x21 3. 故|AB|4 13 3 . 5解析：(1)由已知可设 C2的方程为 y24cx，其中 c a2b2. 不妨设 A，C 在第一象限，由题设得 A，B 的纵坐标分别为b 2 a ，b 2 a ；C，D 的纵坐标分别 为 2c，2c，故|AB|2b 2 a ，|CD|4c. 由|CD|4 3|AB|得 4c 8b2 3a ，即 3c a22 c a 2.解得c a2(舍去)或 c a 1 2. 所以 C1的离心率为1 2. (2)由(1)知 a2c，b 3c， 故 C1： x2 4c2 y2 3c21. 设 M(x0，y0)，则 x20
12、 4c2 y20 3c21，y 2 04cx0， 故 x20 4c2 4x0 3c 1. 由于 C2的准线为 xc，所以|MF|x0c，而|MF|5，故 x05c，代入得5c 2 4c2 45c 3c 1，即 c22c30，解得 c1(舍去)或 c3. 所以 C1的标准方程为x 2 36 y2 271，C 2的标准方程为 y212x. 6解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex 11 x. (1)当 ae 时，f(x)exlnx1，f(1)e1，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y(e1)(e1)(x1)，即 y(e1)x2. 直线 y(e1)x2 在 x 轴，y 轴上
13、的截距分别为 2 e1，2. 因此所求三角形的面积为 2 e1. (2)当 0a1 时，f(1)alna1. 当 a1 时，f(x)ex 1lnx，f(x)ex11 x.当 x(0,1)时，f(x)0.所以当 x1 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(1)1，从而 f(x)1. 当 a1 时，f(x)aex 1lnxlnaex1lnx1. 综上，a 的取值范围是1，) 7解析：(1)由题意知 M(0，4)，F 0，p 2 ，圆 M 的半径 r1，所以|MF|r4，即p 2 414，解得 p2.(技巧点拨：F 与圆 M 上点的距离的最小值为|MF|r，最大值为|MF|r) (2)由(1)知，抛
14、物线方程为 x24y， 由题意可知直线 AB 的斜率存在，设 A x1，x 2 1 4 ，B x2，x 2 2 4 ，直线 AB 的方程为 ykxb， 联立得 ykxb x24y ，消去 y 得 x24kx4b0， 则16k216b0 ()，x1x24k，x1x24b， 所以|AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x224x1x24 1k2 k2b. 因为 x24y，即 yx 2 4 ，所以 yx 2，则抛物线在点 A 处的切线斜率为 x1 2 ，在点 A 处的切 线方程为 yx 2 1 4 x1 2 (xx1)，即 yx1 2 xx 2 1 4 ，(技巧点拔：因为抛物线方程为 x24y，即
15、 yx 2 4 ， 所以想到利用导数的几何意义求切线方程) 同理得抛物线在点 B 处的切线方程为 yx2 2 xx 2 2 4 ， 联立得 yx1 2 xx 2 1 4 yx2 2 xx 2 2 4 ，则 xx1x2 2 2k yx1x2 4 b ， 即 P(2k，b)因为点 P 在圆 M 上，所以 4k2(4b)21， 且12k1，5b3，即1 2k 1 2，3b5，满足()(易错警示：由点 P 在圆 M 上，只得到了 4k2(4b)21，而忽视 k，b 的取值范围，导致得到错误答案) 设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 d|2k 22b| 1k2 ， 所以 SPAB1 2|AB|d4
16、 k 2b3. 由得，k214b 2 4 b 28b15 4 ， 令 tk2b，则 tb 212b15 4 ，且 3b5. 因为 tb 212b15 4 在3,5上单调递增，所以当 b5 时，t 取得最大值，tmax5，此时 k0，所以PAB 面积的最大值为 20 5. 8解析：(1)由题意，直线 x1 与 C 交于 P，Q 两点，且 OPOQ，设 C 的焦点为 F，P 在第一象限， 则根据抛物线的对称性，POFQOF45， 所以 P(1,1)，Q(1，1) 设 C 的方程为 y22px(p0)，则 12p，得 p1 2， 所以 C 的方程为 y2x. 因为圆心 M(2,0)到 l 的距离即M
17、 的半径，且距离为 1， 所以M 的方程为(x2)2y21. (2)设 A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)， 当 A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为 3 时，满足条件，此时直 线 A2A3与M 相切 当 x1x2x3时，直线 A1A2：x(y1y2)yy1y20， 则 |2y1y2| y1y2211，即(y 2 11)y222y1y23y210， 同理可得(y211)y232y1y33y210， 所以 y2，y3是方程(y211)y22y1y3y210 的两个根， 则 y2y32y1 y211，y 2y33y 2 1 y211. 直线 A2A3的方程为 x(y2y3)yy2y30， 设点 M 到直线 A2A3的距离为 d(d0)，则 d2 2y2y32 1y2y32 23y 2 1 y211 2 1 2y1 y211 2 1，即 d1， 所以直线 A2A3与M 相切 综上可得，直线 A2A3与M 相切
