1、第第 2 节节同角三角函数的基本关系式与诱导公式同角三角函数的基本关系式与诱导公式 考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sin cos tan ；2. 能利用定义推导出诱导公式 2，的正弦、余弦、正切. 知 识 梳 理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：sin cos tan_. 2.三角函数的诱导公式 公式一二三四五六 角 2k (kZ) 2 2 正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_ 余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_ 正切tan tan_tan_tan_ 口诀函数名不变，符号看象限
2、函数名改变， 符号看象限 常用结论与微点提醒 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin cos )212sin cos ；sin tan cos . 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 2的奇数倍和偶数倍，变与不 变指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)若，为锐角，则 sin2cos21.() (2)sin()sin 成立的条件是为锐角.() (3)若R，则 tan sin cos 恒成立.() (4)若 sin(k)1 3(kZ)，则 sin
3、 1 3.( ) 解析(1)对任意的角，sin2cos21. (2)中对于任意R，恒有 sin()sin . (3)中当的终边落在 y 轴上，商数关系不成立. (4)当 k 为奇数时，sin 1 3， 当 k 为偶数时，sin 1 3. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第一册 P186T15 改编)已知 tan 2，则3sin cos sin 2cos ( ) A.5 4 B.5 4 C.5 3 D.5 3 解析原式3tan 1 tan 2 321 22 5 4. 答案A 3.(老教材必修 4P29T2 改编)已知为锐角，且 sin 4 5，则 cos()( ) A.3 5 B.
4、3 5 C.4 5 D.4 5 解析因为为锐角，所以 cos 1sin23 5， 故 cos()cos 3 5. 答案A 4.(2017全国卷)已知 sin cos 4 3，则 sin 2( ) A.7 9 B.2 9 C.2 9 D.7 9 解析(sin cos )212sin cos 1sin 2， sin 21 4 3 2 7 9. 答案A 5.(2019济南质检)若 sin 5 13，且为第四象限角，则 tan ( ) A.12 5 B.12 5 C. 5 12 D. 5 12 解析sin 5 13，为第四象限角， cos 1sin212 13，因此 tan sin cos 5 12.
5、 答案D 6.(2019豫北六校精英对抗赛)若 f(x)cos 2x1，且 f(8)2，则 f(2 018) _. 解析f(8)cos(4)1cos 12， cos 1，f(2 018)cos 22 0181 cos(1 009)1cos()1cos 1 110. 答案0 考点一同角三角函数基本关系及其应用多维探究 角度 1切弦互化 【例 11】 (1)已知为第二象限角，tan 5 3，则 cos ( ) A.5 34 34 B.3 34 34 C.3 5 D.4 5 (2)若 tan(3)5，则 sin 2cos cos（）3sin（2）( ) A. 3 16 B. 3 16 C.3 4 D
6、.3 4 解析(1)因为为第二象限角，所以 tan sin cos 1cos2 cos 5 3，解得 cos 3 34 34 . (2)由 tan(3)5，得 tan 5， 所以 sin 2cos cos（）3sin（2） sin 2cos cos 3sin tan 2 13tan 52 13（5） 3 16. 答案(1)B(2)A 规律方法利用 sin2cos21 可以实现角的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角的弦切互化. 角度 2“1”的变换 【例 12】 (1)若 tan()1 2，则 sin21 cos2sin2( ) A.1 2 B.2C.1 2 D.2 (2)
7、已知 tan 2，则 sin2sin cos 2cos2等于() A.4 3 B.5 4 C.3 4 D.4 5 解析(1)tan()tan()tan 1 2， sin21 cos2sin2 2sin2cos2 cos2sin2 2tan 21 1tan2 2 1 2 2 1 1 1 2 22. (2)sin2sin cos 2cos2sin 2sin cos 2cos2 sin2cos2 tan 2tan 2 tan21 ， 又 tan 2，故原式422 41 4 5. 答案(1)D(2)D 规律方法注意公式的逆用及变形应用： 1sin2cos2， sin21cos2， cos2 1sin2
8、. 角度 3sin cos 与 sincos 的转化 【例 13】 (2020烟台检测)已知为第二象限角，sin ，cos 是关于 x 的方程 2x2( 31)xm0(mR)的两根，则 sin cos () A.1 3 2 B.1 3 2 C. 3D. 3 解析因为 sin ，cos 是方程 2x2( 31)xm0(mR)的两根，所以 sin cos 1 3 2 ，sin cos m 2 ，可得(sin cos )212sin cos 1m 2 3 2 ，解得 m 3 2 .因为为第二象限角，所以 sin 0，cos 0，因为(sin cos )212sin cos 1m1 3 2 ，所以 s
9、in cos 1 3 2 2 3 2 42 3 4 （1 3）2 4 1 3 2 .故选 B. 答案B 规律方法应用公式时注意方程思想的应用： 对于 sin cos ， sin cos ， sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二. 【训练 1】 (1)(角度 1)已知是第四象限角，sin 12 13，则 tan 等于( ) A. 5 13 B. 5 13 C.12 5 D.12 5 (2)(角度 2)若 3sin cos 0，则 1 cos22sin cos 的值为( ) A.10 3 B.5 3 C.2 3 D.2 (3)(角度 3)已知 s
10、in cos 4 3， 0， 4 ，则 sin cos 的值为_. 解析(1)因为是第四象限角，sin 12 13， 所以 cos 1sin2 5 13， 故 tan sin cos 12 5 . (2)3sin cos 0cos0tan1 3， 1 cos22sin cos cos2sin2 cos22sin cos 1tan2 12tan 1 1 3 2 12 3 10 3 . (3)sin cos 4 3，sin cos 7 18. 又(sin cos )212sin cos 2 9， 0， 4 ， sin cos 2 3 . 答案(1)C(2)A(3) 2 3 考点二诱导公式的应用 【
11、例2】(1)在平面直角坐标系xOy中， 角的终边经过点P(3， 4)， 则sin 2 017 2 () A.4 5 B.3 5 C.3 5 D.4 5 (2)已知 f() cos 2sin 3 2 cos（）tan（），则 f 25 3的值为_. 解析(1)由题意知 sin 4 5，cos 3 5， sin 2 017 2sin 2 cos 3 5. (2)因为 f() cos 2sin 3 2 cos（）tan（） sin （cos ） （cos ） sin cos cos ， 所以 f 25 3cos 25 3cos 3 1 2. 答案(1)B(2)1 2 规律方法(1)诱导公式的两个应用
12、 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. 化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含 2整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2的整数倍的三角函数式中可直接将 2的整数倍去掉后再进行运算.如 cos(5)cos()cos . 【训练 2】 (多选题)若角 A，B，C 是ABC 的三个内角，则下列等式中一定成 立的是() A.cos(AB)cos CB.sin(AB)sin C C.cosAC 2 sin B 2 D.sinBC 2 cos A 2 解析因为 ABC，所以 ABC，AC 2 B 2 ，BC 2 A 2 ，所以 cos(AB)cos(C)cos C，s
13、in(AB)sin(C)sin C，cosAC 2 cos 2 B 2 sin B 2，sin BC 2 sin 2 A 2 cos A 2. 答案CD 考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【例 3】 (1)(2020潍坊调研)已知 3sin 33 14 5cos 5 14，则 tan 5 14() A.5 3 B.3 5 C.3 5 D.5 3 (2)已知为锐角，且 2tan()3cos 250，tan()6sin()1 0，则 sin () A.3 5 5 B.3 7 7 C.3 10 10 D.1 3 解析(1)由 3sin 33 14 5cos 5 14， 得 sin 5
14、 145 3cos 5 14， 所以 tan 5 14 sin 5 14 cos 5 14 5 3cos 5 14 cos 5 14 5 3. (2)由已知得 3sin 2tan 50， tan 6sin 10. 消去 sin ，得 tan 3， sin 3cos ，代入 sin2cos21， 化简得 sin2 9 10，则 sin 3 10 10 (为锐角). 答案(1)A(2)C 规律方法1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条 件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 【训练 3】 (1)已知角的终边在第三象限，tan 22
15、 2，则 sin2sin(3 )cos(2) 2cos2等于() A. 2 6 B. 2 6 C.2 3 D.2 3 (2)已知 sin 2 5 5 ，则 tan() sin 5 2 cos 5 2 _. 解析(1)由 tan 222可得 tan 2 2tan 1tan22 2， 即2tan2tan 20， 解得 tan 2或 tan 2 2 . 又角的终边在第三象限，故 tan 2， 故 sin2sin(3)cos(2) 2cos2 sin2sin cos 2cos2 sin 2sin cos 2cos2 sin2cos2 tan 2tan 2 tan21 （ 2） 2 2 2 （ 2）21
16、 2 3. (2)sin 0，为第一或第二象限角， tan() sin 5 2 cos 5 2 tan cos sin sin cos cos sin 1 sin cos . 当是第一象限角时，cos 1sin2 5 5 ， 原式 1 sin cos 5 2； 当是第二象限角时，cos 1sin2 5 5 ， 原式 1 sin cos 5 2. 综合知，原式5 2或 5 2. 答案(1)D(2)5 2或 5 2 A 级基础巩固 一、选择题 1.(2019闽粤赣三省十校联考)若 2，sin 3 3 ，则 tan () A. 2B. 3 2 C. 2 2 D. 2 解析因为 2，sin 3 3 ，
17、所以 cos 6 3 ，所以 tan sin cos 2 2 . 答案C 2.已知 sin() 3cos(2)，| 2，则等于( ) A. 6 B. 3 C. 6 D. 3 解析sin() 3cos(2)， sin 3cos ， tan 3，| 2， 3. 答案D 3. 12sin（2）cos（2）() A.sin 2cos 2B.sin 2cos 2 C.(sin 2cos 2)D.cos 2sin 2 解析12sin（2）cos（2） 12sin 2cos 2 （sin 2cos 2）2|sin 2cos 2|sin 2cos 2. 答案A 4.(2020成都诊断)已知 cos()2 5，
18、则 sin 2 2 () A. 7 25 B. 7 25 C.17 25 D.17 25 解析由 cos()cos 2 5，得 cos 2 5， sin 2 2 cos 22cos2117 25. 答案D 5.若sin（）cos（2） sin cos（） 1 2，则 tan ( ) A.1B.1C.3D.3 解析因为sin（）cos（2） sin cos（） sin cos sin cos 1 2， 所以 2(sin cos )sin cos ， 所以 sin 3cos ，所以 tan 3. 答案D 6.当为第二象限角，且 sin 2 2 1 3时， 1sin cos 2sin 2 的值是()
19、 A.1B.1C.1D.0 解析sin 2 2 1 3，cos 2 1 3， 2在第一象限，且 cos 2sin 2， 1sin cos 2sin 2 cos 2sin 2 cos 2sin 2 1. 答案B 7.已知 sin 3 12 13，则 cos 6() A. 5 13 B.12 13 C. 5 13 D.12 13 解析因为 sin 3 12 13，所以 cos 6sin 2 6 sin 3 12 13. 答案B 8.已知 sin xcos x 31 2 ，x(0，)，则 tan x 等于() A. 3 3 B. 3 3 C. 3D. 3 解析由题意可知 sin xcos x 31
20、2 ，x(0，)，则(sin xcos x)242 3 4 ， 因为 sin2xcos2x1， 所以 2sin xcos x 3 2 ，即 2sin xcos x sin2xcos2x 2tan x tan2x1 3 2 ，得 tan x 3 3 或 tan x 3.当 tan x 3 3 时，sin xcos x0，所以 A 为锐角， 由 tan Asin A cos A 2 3 以及 sin2Acos2A1， 可求得 sin A 22 11 . 答案 22 11 10.已知为第四象限角，sin 3cos 1，则 tan _. 解析由(sin 3cos )21sin2cos2，得 6sin
21、cos 8cos2，又因为 为第四象限角，所以 cos 0，所以 6sin 8cos ，所以 tan 4 3. 答案4 3 11.化简：sin（）cos（）sin 5 2 tan（）cos3（2） _. 解析原式（sin ）（cos ）sin 2 tan cos3 sin cos cos sin cos cos 3 sin cos2 sin cos21. 答案1 12.已知 tan 3，则 cos 3 2 2 _. 解析tan 3，cos 3 2 2 sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 6 91 3 5. 答案 3 5 B 级能力提升 13.(2020 长 沙
22、 一 中 月 考 ) 若 sin 是 方 程 5x2 7x 6 0 的 根 ， 则 sin 3 2sin 3 2 tan2（2） cos 2cos 2sin（） () A.3 5 B.5 3 C.4 5 D.5 4 解析方程 5x27x60 的两根分别为 x12 和 x23 5，sin 3 5. 则 sin 3 2sin 3 2 tan2（2） cos 2cos 2sin（） sin 2（cos ）tan2 sin （sin ）（sin ） cos2 sin2 cos2 sin3 1 sin 5 3，故选 B. 答案B 14.若 tan cos ，则 1 sin cos 4的值为( ) A.
23、2B.2C.2 2D.4 解析tan cos sin cos cos sin cos2，故 1 sin cos 4sin 2cos2 sin sin2sin cos 2 sin 1cos2sin sin sin 1sin 2. 答案2 15.已知是三角形的一个内角，且 sin ，cos 是关于 x 的方程 4x2px20 的 两根，则等于_. 解析由题意知 sin cos 1 2， 联立 sin2cos21， sin cos 1 2， 得 sin 2 2 ， cos 2 2 或 sin 2 2 ， cos 2 2 ， 又为三角形的一个内角，sin 0，则 cos 2 2 ， 3 4 . 答案
24、3 4 16.(多填题)已知 sin 2cos 7 2 12 25，且 0 4，则 sin _， cos _. 解析sin 2 cos 7 2 cos (sin )sin cos 12 25. 0 4，0sin cos . 又sin2cos21， sin 3 5，cos 4 5. 答案 3 5 4 5 C 级创新猜想 17.(多选题)已知 tan 24cos(2)，| 2，则( ) A.sin 1 4 B.cos 15 4 C.cos 27 8 D.tan 2 15 7 解析因为 tan 24cos(2)，所以cos sin 4cos ，又| 2，所以 sin 1 4， cos 15 4 ，t
25、an 1 15，所以 cos 22cos 217 8，tan 2 2tan 1tan2 15 7 . 答案BD 18.(多填题)在平面直角坐标系 xOy 中，角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非 负半轴重合，终边交单位圆 O 于点 P(a，b)，且 ab7 5，则 ab_， cos 2 2 _. 解析由题知 sin b，cos a.ab7 5，sin cos 7 5.两边平方可得 sin2cos22sin cos 49 25，12sin cos 49 25，2sin cos 24 25. sin cos ab12 25，cos 2 2 sin 22sin cos 24 25. 答案 12 25 24 25
