1、第第 3 节节圆的方程圆的方程 考试要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 知 识 梳 理 1.圆的定义和圆的方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准(xa)2(yb)2r2(r0) 圆心 C(a，b) 半径为 r 一般 x2y2DxEyF0 (D2E24F0) 充要条件：D2E24F0 圆心坐标： D 2 ，E 2 半径 r1 2 D2E24F 2.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系： (1)|MC|rM 在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆外； (2)|MC|rM 在圆上，
2、即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆上； (3)|MC|rM 在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆内. 常用结论与微点提醒 1.圆心在坐标原点半径为 r 的圆的方程为 x2y2r2. 2.以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2) 0. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.() (2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆.() (3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆.() (4)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0，B0， D2
3、E24AF0.() 解析(2)当 a0 时，x2y2a2表示点(0，0)；当 a0 时，表示半径为|a|的圆. (3)当(4m)2(2)245m0，即 m1 4或 m1 时表示圆. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 2P124A1 改编)圆 x2y24x6y0 的圆心坐标和半径分别是 () A.(2，3)，3B.(2，3)， 3 C.(2，3)，13D.(2，3)， 13 解析圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径 r 13. 答案D 3.(老教材必修 2P120 例 3 改编)过点 A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线 xy 20 上的圆的方
4、程是() A.(x3)2(y1)24B.(x3)2(y1)24 C.(x1)2(y1)24D.(x1)2(y1)24 解析设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r.因为圆心 C 在直线 xy20 上，所 以 b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以 a1，b1.所以 r2.所以方程为(x1)2(y1)24. 答案C 4.(2019合肥模拟)已知 A(1， 0)， B(0， 3)两点， 则以 AB 为直径的圆的方程是() A.x2y2x3y0B.x2y2x3y0 C.x2y2x3y0D.x2y2x3y0 解析|AB| 1232 10， 圆心为 1
5、2， 3 2 ， 半径 r 10 2 ， 圆的方程为 x1 2 2 y3 2 2 10 4 ，化为一般方程为 x2y2x3y0. 答案A 5.(多选题)(2020佛山一中月考改编)若 k 2，0，4 5，1，方程 x2y2(k1)x 2kyk0 不表示圆，则 k 的取值可以是() A.2B.0C.4 5 D.1 解析方程 x2y2(k1)x2kyk0 表示圆的条件为(k1)2(2k)24k0， 即 5k26k10，解得 k1 或 k0)， 则由题意得 1EF0， 42DF0， 1EF0， 解得 D3 2， E0， F1. 所以圆 E 的一般方程为 x2y23 2x1 0， 即 x3 4 2 y
6、225 16. 法二(几何法) 因为圆 E 经过点 A(0，1)，B(2，0)，所以圆 E 的圆心在线段 AB 的垂直平分线 y 1 22(x1)上. 又圆 E 的圆心在 x 轴的正半轴上， 所以圆 E 的圆心坐标为 3 4，0. 则圆 E 的半径为|EB| 23 4 2 （00）25 4， 所以圆 E 的标准方程为 x3 4 2 y225 16. (2)由直线 xby2b10 可得该直线过定点 A(1，2)，设圆心为 B(0，1)，由 题意可知要使所求圆的半径最大， 则 rmax|AB| （10）2（21）2 2， 所以半径最大的圆的标准方程为 x2(y1)22.故选 B. 答案(1)C(2
7、)B 规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方 程有两种方法： (1)几何法， 通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时， 常用到的圆 的三个性质： 圆心在过切点且垂直切线的直线上； 圆心在任一弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 【训练 1】 (1)(2020成都诊断)若圆 C：x2 y 1 2m 2 n 的圆心为椭圆 M：x2 my21 的一个焦点， 且圆 C 经过 M 的另一个焦点， 则圆 C 的标准方程为_. (2)已知圆 C 经过 P(2，4)，Q(3，1)两点，且在 x
8、轴上截得的弦长等于 6，则 圆 C 的方程为_. 解析(1)圆 C 的圆心为 0， 1 2m ， 1 m1 1 2m，m 1 2.又圆 C 经过 M 的 另一个焦点，则圆 C 经过点(0，1)，从而 n4.故圆 C 的标准方程为 x2(y1)2 4. (2)设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 将 P，Q 两点的坐标分别代入得 2D4EF20， 3DEF10. 又令 y0，得 x2DxF0. 设 x1，x2是方程的两根， 由|x1x2|6，得 D24F36， 联立，解得 D2，E4，F8，或 D6，E8，F0.故所 求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x2y26x8y0.
9、 答案(1)x2(y1)24 (2)x2y22x4y80 或 x2y26x8y0 考点二与圆有关的最值问题多维探究 角度 1利用几何意义求最值 【例 21】 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21 上. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求 xy 的最大值和最小值； (3)求 x2y22x4y5的最大值和最小值. 解(1)y x可视为点(x，y)与原点连线的斜率， y x的最大值和最小值就是与该圆有公 共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为 ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2k3| k211，解得 k2 2 3
10、 3 或 k22 3 3 ，y x的最大值为2 2 3 3 ，最 小值为22 3 3 . (2)设 txy，则 yxt，t 可视为直线 yxt 在 y 轴上的截距， xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小 值，即直线与圆相切时在 y 轴上的截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2（3）t| 2 1，解得 t 21 或 t 21. xy 的最大值为 21，最小值为 21. (3) x2y22x4y5 （x1）2（y2）2，求它的最值可视为求点(x，y) 到定点(1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，3)到定点(1，2)的距离与 半径的和或差.又
11、圆心到定点(1，2)的距离为 34， x2y22x4y5的最大值为 341，最小值 341. 规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数 形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见： (1)形如 myb xa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如 maxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如 m(xa)2(yb)2的最值问题， 可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度 2利用对称性求最值 【例 22】 已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x
12、 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为() A.5 24B. 171 C.62 2D. 17 解析P 是 x 轴上任意一点， 则|PM|的最小值为|PC1|1， 同理|PN|的最小值为|PC2| 3， 则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作 C1关于 x 轴的对称点 C1(2， 3). 所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5 2，即|PM|PN|PC1|PC2| 45 24. 答案A 规律方法求解形如|PM|PN|(其中 M， N 均为动点)且与圆 C 有关的折线段的最 值问题的基本思路： (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； (2)“曲化直”，即
13、将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对 称性解决. 角度 3建立函数关系求最值 【例 23】 (2020东营模拟)设点 P(x，y)是圆：x2(y3)21 上的动点，定点 A(2，0)，B(2，0)，则PA PB的最大值为_. 解析由题意，知PA (2x，y)，PB(2x，y)，所以PAPBx2y24， 由于点 P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2(y3)21，故 x2(y3)2 1，所以PA PB(y3)21y246y12.由圆的方程 x2(y3)21，易 知 2y4，所以，当 y4 时，PA PB的值最大，最大值为 641212. 答案12 规律方法根据题中条件列
14、出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式 求最值. 【训练 2】 (1)(多填题)(角度 1)已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则 x2 y2的最大值为_，最小值为_. (2)(角度 2)已知 A(0，2)，点 P 在直线 xy20 上，点 Q 在圆 C：x2y24x 2y0 上，则|PA|PQ|的最小值是_. (3)(角度 3)已知圆 O：x2y29，若过点 C(2，1)的直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点， 则OPQ 的面积最大值为() A.2B.2 5C.9 2 D.5 解析(1)x2y2表示圆(x2)2y23 上的一点与原点距离的平方， 由平面几何知识知，在原点和
15、圆心连线与圆的两个交点处取得最大 值和最小值(如图). 又圆心到原点的距离为 （20）2（00）22， 所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3. (2)因为圆 C：x2y24x2y0，故圆 C 是以 C(2，1)为圆心，半径 r 5的圆. 设点 A(0，2)关于直线 xy20 的对称点为 A(m，n)，故 m0 2 n2 2 20， n2 m01， 解得 m4， n2， 故 A(4，2). 连接 AC 交圆 C 于 Q，由对称性可知 |PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2 5. (3)当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x2，则 P，Q
16、的坐标为(2， 5)，(2， 5)，所以 SOPQ1 222 52 5.当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y1 k(x2) k1 2 ，则圆心到直线 PQ 的距离 d|12k| 1k2，由平面几何知识得|PQ| 2 9d2，SOPQ1 2|PQ|d 1 22 9d 2d （9d2）d2 9d2d2 2 2 9 2， 当且仅当 9d2d2，即 d29 2时，S OPQ取得最大值9 2.因为 2 5 9 2，所以 S OPQ的 最大值为9 2. 答案(1)74 374 3(2)2 5(3)C 考点三与圆有关的轨迹问题 【例 3】 已知 RtABC 的斜边为 AB，且 A(1，0)，B(3
17、，0)，求： (1)(一题多解)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程. 解(1)法一设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0. 因为 ACBC，且 BC，AC 斜率均存在，所以 kACkBC1， 又 kAC y x1，k BC y x3，所以 y x1 y x31， 化简得 x2y22x30. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y0). 法二设 AB 的中点为 D， 由中点坐标公式得 D(1， 0)， 由直角三角形的性质知|CD| 1 2|AB|2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1，0)为圆心，2 为半径的圆(由
18、于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点). 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0). (2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3，0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式 得 xx03 2 ，yy00 2 ， 所以 x02x3，y02y. 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24， 即(x2)2y21. 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0). 规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
19、 (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. 【训练 3】 已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B. (1)求圆 C1的圆心坐标； (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程. 解(1)由 x2y26x50 得(x3)2y24， 所以圆 C1的圆心坐标为(3，0). (2)设 M(x，y)， 因为点 M 为线段 AB 的中点， 所以 C1MAB， 所以 kC1MkAB1，当 x3 时可得 y x3 y x1，整理得 x3 2 2 y29 4，
20、 又当直线 l 与 x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立. 设直线 l 的方程为 ykx，与 x2y26x50 联立， 消去 y 得：(1k2)x26x50. 令其判别式(6)24(1k2)50，得 k24 5，此时方程为 9 5x 26x50，解 上式得 x5 3，因此 5 3x3.所以线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 x3 2 2 y29 4 5 3x3. A 级基础巩固 一、选择题 1.若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是() A.(1，1)B.(0，1) C.(，1)(1，)D.a1 解析因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1a)
21、2(1a)24，所以1a0)，则 |3m4| 32422，解得 m2 或 m14 3 (舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即 x2y24x0，故选 C. 答案C 二、填空题 6.(多填题)已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标 是_，半径是_. 解析由已知方程表示圆，则 a2a2， 解得 a2 或 a1. 当 a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当 a1 时，原方程为 x2y24x8y50， 化为标准方程为(x2)2(y4)225， 表示以(2，4)为圆心，半径为 5 的圆. 答案(2，4)5 7.已知圆 C：(x2)2(ym4)21，当 m
22、变化时，圆 C 上的点与原点 O 的最短 距离是_. 解析圆 C：(x2)2(ym4)21 表示圆心为 C(2，m4)，半径 r1 的圆， 则|OC| 22（m4）2， 所以当 m4 时， |OC|的最小值为 2， 故当 m 变化时， 圆 C 上的点与原点的最短距离是|OC|r211. 答案1 8.在圆 x2y22x6y0 内，过点 E(0，1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD， 则四边形 ABCD 的面积为_. 解析圆的标准方程为(x1)2(y3)210， 则圆心(1， 3)， 半径 r 10， 圆心(1， 3)与 E(0， 1)距离 （10）2（31）2 5， 由题意知 ACBD，
23、且|AC|2 10， |BD|2 1052 5， 所以四边形 ABCD 的面积为 S1 2|AC|BD| 1 22 102 5 10 2. 答案10 2 三、解答题 9.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1，0)和 B(3，4)，线段 AB 的垂直平分线交 圆 P 于点 C 和 D，且|CD|4 10. (1)求直线 CD 的方程； (2)求圆 P 的方程. 解(1)由题意知，直线 AB 的斜率 k1，中点坐标为(1，2). 则直线 CD 的方程为 y2(x1)，即 xy30. (2)设圆心 P(a，b)，则由点 P 在 CD 上得 ab30. 又因为直径|CD|4 10，所以|PA|2 1
24、0， 所以(a1)2b240. 由解得 a3， b6 或 a5， b2. 所以圆心 P(3，6)或 P(5，2). 所以圆 P 的方程为(x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240. 10.(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程. 解(1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0). 设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 由 yk（x1）， y24x 得 k2x2(2k24)xk20. 16k
25、2160，故 x1x22k 24 k2 . 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k 24 k2 . 由题设知4k 24 k2 8，解得 k1(舍去)，k1. 因此 l 的方程为 yx1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3， 2)， 所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)， 即 yx5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0 x05， （x01）2（y0 x01） 2 2 16. 解得 x03， y02 或 x011， y06. 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144. B 级能力提升 11.(2020广州调研)圆(x2)2y2
26、4 关于直线 y 3 3 x 对称的圆的方程是() A.(x 3)2(y1)24 B.(x 2)2(y 2)24 C.x2(y2)24 D.(x1)2(y 3)24 解析设圆(x2)2y24 的圆心(2， 0)关于直线 y 3 3 x 对称的点的坐标为(a， b)， 则有 b a2 3 3 1， b 2 3 3 a2 2 ， 解得 a1，b 3，从而所求圆的方程为(x1)2(y 3)2 4.故选 D. 答案D 12.(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆 (x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是() A.2，6B.4，8 C. 2，3
27、2D.2 2，3 2 解析设圆(x2)2y22 的圆心为 C，半径为 r，点 P 到直线 xy20 的距 离为 d，则圆心 C(2，0)，r 2，所以圆心 C 到直线 xy20 的距离为 2 2， 可得 dmax2 2r3 2，dmin2 2r 2.由已知条件可得|AB|2 2，所以 ABP 面积的最大值为1 2|AB|d max6， ABP 面积的最小值为1 2|AB| d min2.综上， ABP 面积的取值范围是2，6.故选 A. 答案A 13.已知圆 C：(x3)2(y4)21，设点 P 是圆 C 上的动点.记 d|PB|2|PA|2， 其中 A(0，1)，B(0，1)，则 d 的最大
28、值为_. 解析设 P(x0， y0)， d|PB|2|PA|2x20(y01)2x20(y01)22(x20y20)2.x20 y 2 0为圆上任一点到原点距离的平方，(x20y20)max(51)236，dmax74. 答案74 14.已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1，0)和 B(3，4)，线段 AB 的垂直平分线交 圆 P 于点 C 和 D，且|CD|4 10. (1)求直线 CD 的方程； (2)求圆 P 的方程. 解(1)由题意知，直线 AB 的斜率 k1，中点坐标为(1，2). 则直线 CD 的方程为 y2(x1)，即 xy30. (2)设圆心 P(a，b)，则由点 P 在 C
29、D 上得 ab30. 又因为直径|CD|4 10，所以|PA|2 10， 所以(a1)2b240. 由解得 a3， b6 或 a5， b2. 所以圆心 P(3，6)或 P(5，2). 所以圆 P 的方程为(x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240. C 级创新猜想 15.(多选题)已知直线 yxb 与曲线 x 1y2，下列说法正确的是() A.当 b 2时，直线 yxb 与曲线 x 1y2有且只有一个公共点 B.当 2b1 时，直线 yxb 与曲线 x 1y2有两个公共点 C.当1b 2时，直线 yxb 与曲线 x 1y2有且只有一个公共点 D.当 b 2时，直线 yxb 与曲线 x
30、 1y2有且只有一个公共点 解析x 1y2两边平方可得 x2y21(x0)，所以曲线为 圆的右半部分.画出曲线的图象和 yx 的图象，对 yx 进行 平移，由数形结合可知：b 2时有一个公共点，故 A 正 确；当 2b1 时，直线 yxb 与曲线 x 1y2有 两个公共点，故 B 正确；当1b1 时，直线与圆有且只 有一个公共点，当 b1 或 b 2时，直线 yxb 与曲线 x 1y2没有公共点.故 CD 错误.故选 AB. 答案AB 16.(多填题)已知实数 x，y 满足(x2)2(y1)21，则 zy1 x 的最大值与最小值 分别为_和_. 解析由题意，得y1 x 表示过点 A(0，1)和圆(x2)2(y1)21 上的动点(x，y) 的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值. 设切线方程为 ykx1， 即 kxy10，则|2k2| k211，解得 k 4 7 3 ，所以 zmax 4 7 3 ，zmin4 7 3 . 答案 4 7 3 4 7 3
