1、第第 7 节节函函数的图象数的图象 考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表 法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程 解的个数与不等式解的问题. 知 识 梳 理 1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、 单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小 值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x)的图象 关于 x 轴对称yf(x)的图象； yf(x)的图象 关于
2、 y 轴对称yf(x)的图象； yf(x)的图象 关于原点对称yf(x)的图象； yax(a0，且 a1)的图象 关于直线 yx 对称ylog ax(a0，且 a1)的图象. (3)伸缩变换 yf(x) 纵坐标不变 各点横坐标变为原来的1 a（a0）倍 yf(ax). yf(x) 横坐标不变 各点纵坐标变为原来的 A(A0)倍 yAf(x). (4)翻折变换 yf(x)的图象 x 轴下方部分翻折到上方 x 轴及上方部分不变 y|f(x)|的图象； yf(x)的图象 y 轴右侧部分翻折到左侧 原 y 轴左侧部分去掉，右侧不变 yf(|x|)的图象. 常用结论与微点提醒 1.记住几个重要结论 (1
3、)函数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线 xa 对称. (2)函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称. (3)若函数 yf(x)对定义域内任意自变量 x 满足：f(ax)f(ax)，则函数 yf(x) 的图象关于直线 xa 对称. 2.图象的左右平移仅仅是相对于 x 而言， 如果 x 的系数不是 1， 常需把系数提出来， 再进行变换. 3.图象的上下平移仅仅是相对于 y 而言的，利用“上减下加”进行. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)当 x(0，)时，函数 y|f(x)|与 yf(|x|)的图象相同.() (2)函数
4、yaf(x)与 yf(ax)(a0 且 a1)的图象相同.() (3)函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点对称.() (4)若函数 yf(x)满足 f(1x)f(1x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对 称.() 解析(1)令 f(x)x，当 x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两者图象 不同，(1)错. (2)中两函数当 a1 时，yaf(x)与 yf(ax)是由 yf(x)分别进行振幅与周期变换 得到，两图象不同，(2)错. (3)yf(x)与 yf(x)图象关于 x 轴对称，(3)错. (4)中，f(2x)f1(1x)f1(1x)f(x)，所以 yf(x)的
5、图象关于直线 x 1 对称，(4)正确. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 1P24A7 改编)下列图象是函数 y x2，x0， x1，x0的图象的是( ) 解析其图象是由 yx2图象中 x0，排除 B，C，只有 D 满足. 答案D 6.(2020海南调研)已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x) log2f(x)的定义域是_. 解析当 f(x)0 时，函数 g(x)log2f(x)有意义，由函数 f(x)的 图象知满足 f(x)0 时，x(2，8. 答案(2，8 考点一作函数的图象 【例 1】 作出下列函数的图象： (1)y 1 2 |x| ；(2)y|log2(x1
6、)|； (3)yx22|x|1. 解(1)先作出 y 1 2 x 的图象，保留 y 1 2 x 图象中 x0 的部分，再作出 y 1 2 x 的 图象中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y 1 2 |x| 的图象，如图实线部分. (2)将函数 ylog2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上 去，即可得到函数 y|log2(x1)|的图象，如图. (3)y x22x1，x0， x22x1，x0， 且函数为偶函数， 先用描点法作出0， )上的图象， 再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图. 规律方法作函数图象的一般方法 (1)直接法.当函数解析式(或变形
7、后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些 函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到， 可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式 的影响. 【训练 1】 分别作出下列函数的图象： (1)y|lg x|；(2)ysin |x|. 解(1)先作出函数 ylg x 的图象， 再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去， 即可得 函数 y|lg x|的图象，如图实线部分. (2)当 x0 时，ysin|x|与 ysin x 的图象完全相同，又 ysin|x|为偶函数，图象 关于 y 轴对称，其图象如图
8、. 考点二函数图象的辨识 【例 2】 (1)(2019全国卷)函数 y 2x3 2x2 x在6，6的图象大致为( ) (2)(2020深圳模拟)函数 f(x) 1x2 lg|x| 的图象大致为() 解析(1)因为 yf(x) 2x3 2x2 x，x6，6， 所以 f(x)2（x） 3 2 x2x 2x3 2 x2xf(x)， 所以 f(x)是奇函数，排除选项 C. 当 x4 时，y 243 242 4 128 16 1 16 (7，8)，排除 A，D 项，B 正确. (2)由 1x20， |x|0 且|x|1，得1x0 或 0 x1， 所以 f(x)的定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称
9、. 又 f(x)f(x)，所以函数 f(x)是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A； 当 0 x1 时，lg |x|0，f(x)0 且 x0 时，f(x)0，排除 D，只有 B 项符合. 答案(1)B(2)B 规律方法1.抓住函数的性质，定性分析： (1)从函数的定义域， 判断图象的左右位置； 从函数的值域， 判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复； (4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 2.抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 【训练 2】 (1)(2020广州调研)函数 f(x)
10、3 x3x x4 的大致图象为() (2)(一题多解)(2017全国卷)函数 y1xsin x x2 的部分图象大致为() 解析(1)易知定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.f(x) 3 x3x （x）4 3 x3x x4 f(x)，则 f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除 A，f(1)31 3 8 30，排除 D，当 x时，3 x，则 f(x)，排除 C，选项 B 符合. (2)法一易知 g(x)xsin x x2 为奇函数， 故 y1xsin x x2 的图象关于点(0， 1)对称， 排除 C；当 x(0，1)时，y0，排除 A；当 x时，y1，排除 B，选项 D 满足. 法二当
11、 x1 时，f(1)11sin 12sin 12，排除 A，C；又当 x时， y，排除 B，而 D 满足. 答案(1)B(2)D 考点三函数图象的应用多维探究 角度 1研究函数的性质 【例 31】 已知函数 f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是() A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，) B.f(x)是偶函数，递减区间是(，1) C.f(x)是奇函数，递减区间是(1，1) D.f(x)是奇函数，递增区间是(，0) 解析将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值得 f(x) x22x，x0， x22x，x0， 画出函数 f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故
12、函 数 f(x)为奇函数，且在(1，1)上是递减的. 答案C 角度 2函数图象在不等式中的应用 【例 32】 (1)(2020青岛模拟)已知函数 f(x)2|x|，若关于 x 的不等式 f(x)x2 xm 的解集中有且仅有 1 个整数，则实数 m 的取值范围为() A.3，1)B.(3，1) C.2，1)D.(2，1) (2)函数 f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象 如图所示，那么不等式f（x） cos x 0 的解集为_. 解析(1)在同一平面直角坐标系中作出函数 yf(x)，yx2xm 的图象如图所 示. 由图可知，不等式 f(x)x2xm 的解集中的整数解为 x0， 故
13、 f（0）00m， f（1）11m， 解得2m0. 当 x 2，4时，ycos x0. 结合 yf(x)，x0，4上的图象知，当 1x 2时， f（x） cos x 0.又函数 yf（x） cos x 为偶 函数， 所以在4，0上，f（x） cos x 0 的解集为 2，1， 所以f（x） cos x 0，若只存在两个整数 x，使得 f(x)0，则 a 的取值范围是_. 解析f(x)|x22x|axa0，则|x22x|axa， 分别画出 y|x22x|与 ya(x1)的图象，如图所示. 只存在两个整数 x，使得 f(x)0， 当 x1 时，|122|1，令 2a1， 解得 a1 2，此时有 2
14、 个整数使 f(x)0， 即 x0 或 x1， 结合图象可得 a 的取值范围为 0，1 2 . 答案 0，1 2 规律方法1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数， 其性质(单调性、 奇偶性、 周期性、 最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程 f(x)g(x)的根就是 函数 f(x)与 g(x)图象交点的横坐标；不等式 f(x)g(x)的解集是函数 f(x)的图象位于 g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想. 【训练 3】 (1)(多选题)(角度 1
15、)已知函数 f(x) 2 x1，则下列结论错误的是( ) A.函数 f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B.函数 f(x)在(，1)上是增函数 C.函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称 D.函数 f(x)的图象上至少存在两点 A，B，使得直线 ABx 轴 (2)(角度 2)已知函数 yf(x)的图象是如图所示的折线 ACB，且 函数 g(x)log2(x1)，则不等式 f(x)g(x)的解集是() A.x|1x0 B.x|1x1 C.x|1x1 D.x|1x2 (3)(角度 3)已知函数 f(x)kx1，g(x)ex1(1x1)，若 f(x)与 g(x)的图象上 分别存在点 M，N，使
16、得点 M，N 关于直线 y1 对称，则实数 k 的取值范围是 () A. 1 e，B. e，1 e C.e，)D.(，e 1 e， 解析(1)由题知，函数 f(x) 2 x1的图象是由函数 y 2 x的图象向右平移 1 个单位 长度得到的，可得函数 f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，A 正确；函数 f(x)在( ，1)上是减函数，B 错误；易知函数 f(x) 2 x1的图象不关于直线 x1 对称，C 错误；由函数 f(x)的单调性及函数 f(x)的图象，可知函数 f(x)的图象上不存在两点 A，B，使得直线 ABx 轴，D 错误. (2)令 g(x)ylog2(x1)， 作出函数 g(x
17、)的图象如图， 由 xy2， ylog2（x1），得 x1， y1. 结合图象知不等式 f(x)log2(x1)的解集为x|1x1. (3)由题意知，存在 x1，1使得 kx1ex12，即 exkx，所以函数 y ex与 ykx 的图象在1， 1上恒有交点，在同一平面直角坐标系中作两函数 图象如图所示.当 x1 时， k1 e； 当x1时， ke， 即 ke.综上， k e，1 e . 答案(1)BCD(2)C(3)B 直观想象函数图象的活用 直观想象是发现和提出问题， 分析和解决问题的重要手段， 在数学研究的探索中， 通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比 比
18、皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例. 类型 1利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数， 其性质(单调性、 奇偶性、 周期性、 最值(值域)、零点)常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 【例 1】 已知 f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当 |f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则 h(x)() A.有最小值1，最大值 1B.有最大值 1，无最小值 C.有最小值1，无最大值D.有最大值1，无最小值 解析画出 y|f(x)|2x1|与 yg(x)1x2的图象，
19、它们 交于 A，B 两点.由“规定”，在 A，B 两侧，|f(x)|g(x)，故 h(x)|f(x)|；在 A，B 之间，|f(x)|g(x)，故 h(x)g(x). 综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此 h(x)有最 小值1，无最大值. 答案C 【例 2】 (2020太原调研)已知函数 g(x) 1 2 |x1| ，h(x)cos x，当 x(2，4) 时，函数 g(x)与 h(x)的交点横坐标分别记为 xi(i1，2，n)，则错误错误!i() A.5B.6C.7D.8 解析易知 g(x) 1 2 |x1| 的图象关于 x1 对称，h(x)cos x 的图象关于 x1 对称.作出
20、两个函数的图象，如图所示. 根据图象知，两函数有 7 个交点，其中一个点的横坐标为 x1，另外 6 个交点关 于直线 x1 对称，因此错误错误!i3217. 答案C 思维升华求解图象交点横、纵坐标之和的问题，常利用图象的对称性求解，即 找出两图象的公共对称轴或对称中心， 从而得出各交点的公共对称轴或对称中心， 由此得出定值求解. 类型 2利用函数的图象求解方程或不等式 若研究的方程(不等式)不能用代数法求解， 但其与基本初等函数有关， 常将方程(不 等式)问题转化为两函数图象的交点或图象的上下位置关系， 然后由图象的几何直 观数形结合求解. 【例 3】 (1)函数 f(x)2sin xsin
21、x 2 x2的零点个数为_. (2)已知函数 f(x) |x|2，x0，需满足 a2，所以2a2. 答案(1)2(2)A A 级基础巩固 一、选择题 1.(2020深圳调研)已知函数 f(x)(xa)(xb)(其中 ab)的图象如图所示，则函数 g(x)axb 的图象是() 解析由函数 f(x)的图象知 a1，1b0. 因此选项 C 满足要求. 答案C 2.(2020德州模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足 g(x)f(|x1|)，则函数 y g(x)的图象关于() A.直线 x1 对称B.直线 x1 对称 C.原点对称D.y 轴对称 解析因为 yf(|x|)的图象关于 y
22、轴对称， yf(|x|)的图象向右平移 1 个单位可得 y f(|x1|)的图象，所以函数 yg(x)的图象关于直线 x1 对称. 答案B 3.(2018浙江卷)函数 y2|x|sin 2x 的图象可能是() 解析设 f(x)2|x|sin 2x，其定义域为 R，又 f(x)2| x|sin(2x)f(x)，所以 y f(x)是奇函数，故排除选项 A，B.令 f(x)0，得 sin 2x0，2xk(kZ)，即 xk 2 (kZ)，排除 C，只有 D 正确. 答案D 4.(2020兰州模拟)若函数 yf(x)的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图象所 对应的函数解析式可以是() A.yf
23、 2x1 2B.yf(2x1) C.yf 1 2x 1 2D.yf 1 2x1 解析函数 f(x)的图象先整体往右平移 1 个单位，得到 yf(x1)的图象，再将所 有点的横坐标压缩为原来的1 2，得到 yf(2x1)的图象. 答案B 5.若函数 f(x) axb，x1， ln（xa），x1的图象如图所示，则 f(3)等 于() A.1 2 B.5 4 C.1D.2 解析由图象知 ln（a1）0， ba3， 得 a2， b5. f(x) 2x5，x1， ln（x2），x1.故 f(3)561. 答案C 6.已知函数 f(2x1)是奇函数，则使函数 yf(2x)的图象成中心对称的点为() A.(
24、1，0)B.(1，0) C. 1 2，0D. 1 2，0 解析f(2x1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而 f(2x)的图象是由 f(2x1)的图象向右平移1 2个单位得到的，故关于点 1 2，0成中心对称. 答案C 7.(2020衡水中学调研)函数 y(2x1)ex的图象大致是() 解析当 x时，y(2x1)ex0，则 C、D 错误. 因为 y(2x1)ex，所以当 x1 2时，y0 时，设解析式为 ya(x2)21(a0). 图象过点(4，0)，0a(42)21，得 a1 4， y1 4(x2) 21. 答案f(x) x1，1x0， 1 4（x2） 21，x0 11.(2020福
25、州质检)设函数 yf(x)的图象与 y 1 3 xa 的图象关于直线 yx 对称， 且 f(3)f 1 3 4，则实数 a_. 解析设(x，y)是 yf(x)图象上任意一点，则(y，x)在函数 y 1 3 xa 的图象上. x 1 3 ya ，则 ylog1 3xa. 因此 f(x)log1 3xa. 由 f(3)f 1 3 4，得112a4，a2. 答案2 12.已知函数 f(x)在 R 上单调且其部分图象如图所示，若不等式 2f(xt)4 的解集为(1，2)，则实数 t 的值为_. 解析由图象可知不等式2f(xt)4， 即 f(3)f(xt)f(0). 又 yf(x)在 R 上单调递减，
26、0 xt0，且 f(5)52 e5 1，所以排除 C，D，选 A. 答案A 14.若直角坐标系内 A，B 两点满足：(1)点 A，B 都在 f(x)的图象上；(2)点 A，B 关 于原点对称，则称点对(A，B)是函数 f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A) 可看作一个“和谐点对”.已知函数 f(x) x22x（x0）， 2 ex （x0）， 则 f(x)的“和谐点 对”有() A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析作出函数 yx22x(x0)的图象关于原点对称的图象(如 图中的虚线部分)，看它与函数 y2 ex(x0)的图象的交点个数即 可，观察图象可得交点个数为 2，即
27、f(x)的“和谐点对”有 2 个. 答案B 15.(多填题)已知函数 f(x)|log3x|，实数 m，n 满足 0mn，且 f(m)f(n)，若 f(x) 在m2，n上的最大值为 2，则 m_，n_. 解析如图， 作出函数 f(x)|log3x|的图象， 观察可知 0m11， 若实数 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc 的取值范围是_. 解析函数 f(x) sin x，0 x1， log2 020 x，x1 的图象如图所示，不妨令 abc， 由正弦曲线的对称性可知 ab1，而 1c2 020， 所以 2abc2 021. 答案(2，2 021) C 级创新猜想 1
28、7.(多选题)对于函数 f(x)lg(|x2|1)，下列说法正确的是() A.f(x2)是偶函数 B.f(x2)是奇函数 C.f(x)在区间(，2)上是减函数，在区间(2，)上是增函数 D.f(x)没有最小值 解析f(x2)lg(|x|1)为偶函数， A 正确， B 错误.作出 f(x)的图 象如图所示，可知 f(x)在(，2)上是减函数，在(2，)上是 增函数；由图象可知函数存在最小值 0，C 正确，D 错误. 答案AC 18.(创新题)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足 f(x)f(x)，且在(0，)上 单调递减，g(1x)g(1x)，且在(1，)上单调递减，设函数 F(x)1 2f(x) g(x)|f(x)g(x)|，则对任意 xR，均有() A.F(1x)F(1x)B.F(1x)F(1x) C.F(1x2)F(1x2)D.F(1x2)F(1x2) 解析因为 F(x) f（x）（f（x）g（x）， g（x）（f（x）g（x）， 根据题意，F(x)的示意图可表 示为如图中的实线部分，所以有 F(1x2)F(1x2). 答案C
