1、第第 9 节节函数与数学模型函数与数学模型 考试要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言 和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合 现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函 数增长速度的差异， 理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实 含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会 人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义. 知 识 梳 理 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0) 在(0，)
2、 上的增减性 单调递增单调递增单调递增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表 现为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表 现为与 x 轴平行 随 n 值变化 而各有不同 2.几种常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)axb(a、b 为常数，a0) 二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 与指数函数相关的模型f(x)baxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0) 与对数函数相关的模型f(x)blogaxc(a， b， c 为常数， a0 且 a1， b0) 与幂函数相关的模型f(x)axnb(a，b，n 为常数，a0) 常
3、用结论与微点提醒 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增 长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越 来越小. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数 学结果对实际问题的合理性. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售，后因库存积压降价，若 按九折出售，则每件还能获利.() (2)函数 y2x的函数值比 yx2的函数值大.() (3)不存在 x0，使
4、 ax0 xn01)的增长速度会超过并远远大于 y xa(a0)的增长速度.() 解析(1)9 折出售的售价为 100(110%) 9 1099(元). 每件赔 1 元，(1)错. (2)中，当 x2 时，2xx24.不正确. (3)中，如 ax01 2，n 1 4，不等式成立，因此(3)错. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 1P107A1 改编)在某个物理实验中，测得变量 x 和变量 y 的几组数 据，如下表： x0.500.992.013.98 y0.990.010.982.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是() A.y2xB.yx21 C.y2x2D.ylog2x 解
5、析根据 x0.50， y0.99， 代入计算， 可以排除 A； 根据 x2.01， y0.98， 代入计算，可以排除 B，C；将各数据代入函数 ylog2x，可知满足题意. 答案D 3.(新教材必修第一册 P149 例 4 改编)当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量 大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物 体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了. 若某死亡生物体内的碳 14 用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期” 个数至少是() A.8B.9C.10D.11 解析设该死亡生物体内原有的碳 14 的含量为
6、1，则经过 n 个“半衰期”后的 含量为 1 2 n ，由 1 2 n g(x)h(x)B.g(x)f(x)h(x) C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)h(x)g(x) 解析在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当 x(4，)时，增长速度 大小排列为 g(x)f(x)h(x). 答案B 5.(多填题)(2018浙江卷)我国古代数学著作 张邱建算经 中记载百鸡问题： “今 有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问 鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为 x，y，z，则 xyz100， 5x3y1 3z100， 当 z81 时，x_，y_. 解析把
7、z81 代入方程组，化简得 xy19， 5x3y73， 解得 x8，y11. 答案811 6.(多填题)(2019北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中 有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/ 盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元， 顾客就少付 x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%. 当 x10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付_元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折， 则 x 的最大值为_. 解析顾客一次购买草
8、莓和西瓜各 1 盒，原价应为 6080140(元)，超过了 120 元可以优惠， 所以当 x10 时， 顾客需要支付 14010130(元).由题意知， 当 x 确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优 惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买 2 盒草莓，此时顾客支付 的金额为(120 x)元，所以(120 x)80%1200.7，所以 x15.即 x 的最大值 为 15. 答案13015 考点一利用函数的图象刻画实际问题 【例 1】 (2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质 量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 1
9、2 月期间月接待游客量(单位：万人) 的数据，绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是() A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较 平稳 解析由题图可知，2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误. 答案A 规律方法1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化 快慢等特点， 结合图象的变化趋势， 验证是否吻合， 从中排除不符合实际的情况， 选出符合实际情况的答案. 2.图形、表格能直观刻画两
10、变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养. 【训练 1】 高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其 底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的 体积为 v，则函数 vf(h)的大致图象是() 解析由题意知，水深 h 越大，水的体积 v 就越大. 当 h0 时，v0，故可排除 A，C； 当 h0，H时，不妨将水“流出”设想为“流入”. 每当 h 增加一个单位增量h 时，根据鱼缸形状可知，函数 v 的变化，开始其增 量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故 vf(h)的图象是先凹后凸的，故 选 B. 答案B 考点二已知函数模型求解实际问题 【例 2】 为了降低能源
11、损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造 可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能 源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x) k 3x5(0 x10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值. 解(1)当 x0 时，C8，k40， C(x) 40 3x5(0 x10)， f(x)6x2040 3x5 6x 800 3x5(0 x1
12、0). (2)由(1)得 f(x)2(3x5) 800 3x510. 令 3x5t，t5，35， 则 y2t800 t 1022t800 t 1070(当且仅当 2t800 t ，即 t20 时等号成 立)， 此时 x5，因此 f(x)的最小值为 70. 隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元. 规律方法1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 【训练 2】 (2019全国卷)2019
13、年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史 上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆 需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发 射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2点的轨道运行.L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月 距离为 R，L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足 方程： M1 （Rr）2 M2 r2 (Rr)M1 R3 . 设r R.由于的值很小，因此在近似计算中 33345 （1）2 33，则 r 的近似值为 () A. M2
14、 M1R B. M2 2M1R C. 3 3M2 M1 RD. 3 M2 3M1R 解析由r R，得 rR， 代入 M1 （Rr）2 M2 r2 (Rr)M1 R3 ， 整理得3 3345 （1）2 M2 M1. 又3 3345 （1）2 33，即 33M2 M1，所以 3 M2 3M1， 故 rR 3 M2 3M1R. 答案D 考点三构建函数模型的实际问题多维探究 角度 1构建二次函数、分段函数模型 【例 31】 (2020济南一中月考)响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号 召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调研，生产某小 型电子产品需投入年固定成本 2 万元，每生
15、产 x 万件，需另投入流动成本 W(x) 万元，在年产量不足 8 万件时，W(x)1 3x 22x.在年产量不小于 8 万件时，W(x) 7x100 x 37.每件产品售价 6 元.通过市场分析， 小王生产的商品能当年全部售 完. (1)写出年利润 P(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销 售收入固定成本流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是 多少？ 解(1)因为每件商品售价为 6 元，则 x 万件商品销售收入为 6x 万元.依题意得 当 0 x8 时， P(x)6x 1 3x 22x 21 3x 24x2， 当 x8
16、时， P(x)6x 7x100 x 37 235 x100 x. 故 P(x) 1 3x 24x2，0 x8， 35x100 x ，x8. (2)当 0 x8 时，P(x)1 3(x6) 210. 此时，当 x6 时，P(x)取最大值，最大值为 10 万元. 当x8时，P(x)35 x100 x352x100 x 15 当且仅当 x100 x ，即 x10 时，取等号 . 此时，当 x10 时，P(x)取得最大值，最大值为 15 万元. 因为 1015，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最 大，最大利润为 15 万元. 角度 2构建指数(对数)型函数模型 【例 32】
17、 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的 百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森 林面积至少要保留原面积的1 4，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 2 2 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0 x1)， 则 a(1x)101 2a，即(1x) 101 2， 解得 x1 1 2 1 10. 故每年砍伐面积的百分比为 1 1 2 1 10. (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 2 ， 则 a(1x)m 2 2 a，把 x1 1 2 1 10代入， 整
18、理得 1 2 m 10 1 2 1 2，即m 10 1 2，解得 m5. 故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年. 规律方法1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几 个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求 解.但应关注以下两点：(1)分段要简洁合理，不重不漏；(2)分段函数的最值是各 段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值. 2.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数 据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数 的互化. 【训练 3】 (1)(角度 1)某汽车销售公司在 A，B 两地
19、销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(单位：万元)为 y14.1x0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元) 为 y22x，其中 x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的 汽车，则能获得的最大利润是() A.10.5 万元B.11 万元 C.43 万元D.43.025 万元 (2)(角度 2)已知一容器中有 A，B 两种菌，且在任何时刻 A，B 两种菌的个数乘积 均为定值 1010，为了简单起见，科学家用 PAlg nA来记录 A 菌个数的资料，其 中 nA为 A 菌的个数.现有以下几种说法： PA1； 若今天的 PA值比昨天的 PA值增加 1，则今天的 A
20、 菌个数比昨天的 A 菌个数多 10； 假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万，则此时 5PA5.5(注：lg 20.3). 则正确的说法为_(写出所有正确说法的序号). (3)(角度 2)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2019 年全 年投入研发资金 130 万元， 在此基础上， 每年投入的研发资金比上一年增长 12%， 则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是(参考数据： lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)() A.2020 年B.2021 年 C.2022 年D.2023 年 解析(1)设在 A 地销售该品牌的汽车 x
21、 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16x) 辆，所以可得利润 y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x32 0.1(x10.5)20.110.5232. 因为 x0，16且 xN，所以当 x10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元. (2)当 nA1 时，PA0，故错误. 若 PA1，则 nA10；若 PA2，则 nA100，故错误. 设 B 菌的个数为 nB5104， nA 1010 5104210 5，则 PAlg(nA)5lg 2. 又 lg 20.3，因此 5PA200. 两边取对数，得 nlg1.12lg 2lg 1.3， 所以 nlg 2lg 1.3 lg 1.
22、12 0.300.11 0.05 19 5 ， 又 nN*，所以 n4， 所以从 2023 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元. 答案(1)C(2)(3)D A 级基础巩固 一、选择题 1.一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧 时间 t(小时)的函数关系用图象表示为() 解析由题意得关系式为 h205t(0t4).图象应为 B 项. 答案B 2.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通 物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与M N最接近的是( ) (参考数据：lg 30.48)
23、A.1033B.1053C.1073D.1093 解析由题意，lg M Nlg 3361 1080lg 3 361lg 1080 361lg 380lg 1093. 所以M N10 93，故与M N最接近的是 10 93. 答案D 3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 L 汽油行驶的里程， 如图描述了甲、 乙、 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列斜述中正确的是() A.消耗 1 L 汽油，乙车最多可行驶 5 km B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 小时，消耗 10 L 汽油 D.某城市机动车最高限速 80 km/h，
24、相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析对于 A，消耗 1 L 汽油，乙车行驶的最大距离大于 5 km，故 A 错；对于 B，以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时， 甲车消耗汽油最少， 故 B 错； 对于 C， 甲车以 80 km/h 行驶 1 小时， 里程为 80 km， 燃油效率为 10 km/L，消耗 8 L 汽油，故 C 错；对于 D，因为在速度低于 80 km/h 时，丙车的燃油效率高于乙车，故 D 正确. 答案D 4.(2020长沙模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一 起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱 1 000
25、 元，存入银行，年利率 为 2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达 4.01%.如果将这 1 000 元选择合适方式存满 5 年，可以多获利息() (参考数据：1.022 541.093，1.022 551.118，1.040 151.217) A.176 元B.99 元C.77 元D.88 元 解析将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝， 选择复利的计算方法， 则存满 5 年后的本息和为 1 000(14.01%)51 217(元)，故共得利息 1 2171 000217(元).将 1 000 元存入银行，则存满 5 年后的本息和为 1 000(1 2.25%)
26、51 118(元)，即获利息 1 1181 000118(元).故可以多获利息 217118 99(元). 答案B 5.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大 小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为 I 的声波，其音量的大小可由如下公式 计算：10lg I I0(其中 I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则 70 dB 的声音的 声波强度 I1是 60 dB 的声音的声波强度 I2的() A.7 6倍 B.10 7 6倍 C.10 倍D.ln 7 6倍 解析由10lg I I0得 II 010 10，所以 I 1I0107，I2I0106，所以I1 I210
27、，所以 70 dB 的声音的声波强度 I1是 60 dB 的声音的声波强度 I2的 10 倍. 答案C 二、填空题 6.某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总 存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 _. 解 析一 年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 为 y 6 600 x 4x 3 600 x 4x2 3 600 x 4x240，当且仅当3 600 x 4x，即 x30 时，y 有最小值 240. 答案30 7.“好酒也怕巷子深”， 许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某 品牌商品
28、广告销售的收入 R 与广告费 A 之间满足关系 Ra A(a 为常数)，广告 效应为 Da AA.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应 为_.(用常数 a 表示) 解析令 t A(t0)，则 At2， Datt2 t1 2a 2 1 4a 2， 当 t1 2a，即 A 1 4a 2时，D 取得最大值. 答案 1 4a 2 8.一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， t min后剩余的细沙量为yae bt(cm3)， 经过8 min后发现容器内还有一半的沙子， 则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析当 t8 时，yae 8b
29、1 2a，所以 e 8b1 2. 容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即 yae bt1 8a， e bt1 8(e 8b)3e24b， 则 t24. 所以再经过 16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案16 三、解答题 9.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 vablog3 Q 10(其 中 a，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量 为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s. (1)求出 a，b 的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行
30、的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个 单位？ 解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位， 故有 ablog330 100，即 ab0. 当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s， 故有 ablog390 101，即 a2b1. 解方程组 ab0， a2b1，得 a1， b1. (2)由(1)知，v1log3 Q 10. 所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v2， 即1log3 Q 102，解得 Q270. 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s 时，其耗氧量至少要 270 个单位. 10.某医药机构测定，
31、某种药品服用后每毫升血液中的含 药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲 线. (1)写出服用药品后 y 与 t 之间的函数关系式； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.50 微克时治疗有效，求服用药 品后的有效时间. 解(1)由题中图象，设 y kt，0t1， 1 2 ta ，t1. 当 t1 时，由 y4，得 k4； 当 1 2 1a 4，得 a3.所以 y 4t，0t1， 1 2 t3 ，t1. (2)由 y0.50，得 0t1， 4t0.50 或 t1， 1 2 t3 0.50， 解得1 8t4，因此服用药品后的有效时间为 41 8 31 8 (小时).
32、 B 级能力提升 11.将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰 减曲线 yaent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的 水只有a 4 L，则 m 的值为() A.5B.8C.9D.10 解析5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， 函数 yf(t)aent满足 f(5)ae5n1 2a， 可得 n1 5ln 1 2，f(t)a 1 2 t 5， 因此，当 k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时， f(k)a 1 2 k 51 4a，即 1 2 k 51 4， k10，由题可知 mk55. 答案A 12.某位股民购进
33、某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这支股票 的盈亏情况(不考虑其他费用)为() A.略有盈利B.略有亏损 C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况 解析设该股民购这支股票的价格为 a 元，则经历 n 次涨停后的价格为 a(1 10%)na1.1n元， 经历 n 次跌停后的价格为 a1.1n(110%)na1.1n0.9n a(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损. 答案B 13.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t(单
34、位：min)后的温度是 T，则 TTa(T0Ta) 1 2 t h，其中 T a 称为环境温度，h 称为半衰期.现有一杯用 85 热水冲的速溶咖啡，放在 21 的 房间中，如果咖啡降到 37 需要 16 min，那么这杯咖啡要从 37 降到 29 ， 还需要_ min. 解析由题意知 Ta21 . 令 T085 ，T37 ， 得 3721(8521) 1 2 16 h ，解得 h8. 令 T037 ，T29 ， 则 2921(3721) 1 2 t 8，解得 t8. 答案8 14.(2020佛山一中月考)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供 了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙
35、两座城市共投资 240 万元.根据行 业规定，每个城市至少要投资 80 万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P 与 投入 a(单位：万元)满足 P4 2a6，乙城市收益 Q 与投入 a(单位：万元)满足 Q 1 4a2，80a120， 32，120a160， 设甲城市的投入为 x(单位：万元)，两个城市的总收益 为 f(x)(单位：万元). (1)当投资甲城市 128 万元时，求此时公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解(1)当 x128，即甲城市投资 128 万元时，乙城市投资 112 万元， 所以 f(128)4 212861 4112288
36、(万元). 因此，此时公司的总收益为 88 万元. (2)由题意知，甲城市投资 x 万元，则乙城市投资(240 x)万元， 依题意得 x80， 240 x80，解得 80 x160， 当 80 x120，即 120240 x160 时， f(x)4 2x6324 2x260， 故 f(x)的最大值为 88. 因此，当甲城市投资 128 万元，乙城市投资 112 万元时，总收益最大，且最大收 益为 88 万元. C 级创新猜想 15.(多选题)(2020济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方 向运动， 它们的路程 fi(x)(i1， 2， 3， 4)关于时间 x(x0)的函数关
37、系式分别为 f1(x) 2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，则下列结论正确的是( ) A.当 x1 时，甲走在最前面 B.当 x1 时，乙走在最前面 C.当 0 x1 时，丁走在最后面 D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 解析甲、乙、丙、丁的路程 fi(x)(i1，2，3，4)关于时间 x(x0)的函数关系式 分别为 f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，它们对应的函数模型 分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型. 当 x2 时，f1(2)3，f2(2)4，所以 A 不正确； 当 x5 时
38、，f1(5)31，f2(5)25，所以 B 不正确； 根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当 x1 时， 甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当 0 x1 时，丁走在最后面，所以 C 正确； 指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定 是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以 D 正确. 答案CD 16.(多选题)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线， 为了解自己记忆一组 单词的情况， 她记录了随后一个月的有关数据， 绘制图象， 拟合了记忆保持量 f(x) 与时间 x(天)之间的函数关系 f(x) 7 20 x1，0
39、 x1， 1 5 9 20 x 1 2，1x30. 则下列说法正确的是() A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B.第一天小菲的单词记忆保持量下降的最多 C.9 天后，小菲的单词记忆保持量低于 40% D.26 天后，小菲的单词记忆保持量不足 20% 解析由函数解析式可知 f(x)随着 x 的增加而减少，故 A 正确；由图象可得 B 正 确；当 1x30 时，f(x)1 5 9 20 x 1 2，则 f(9) 1 5 9 209 1 20.35，即 9 天后，小 菲的单词记忆保持量低于 40%，故 C 正确；f(26)1 5 9 2026 1 2 1 5，故 D 错误. 答案ABC
