1、强化训练强化训练 2函数与方程中的综合问题函数与方程中的综合问题 1下列函数中，不能用二分法求函数零点的有() Af(x)3x1Bf(x)x22x1 Cf(x)log4xDf(x)ex2 答案B 解析f(x)x22x1(x1)2，f(1)0， 当 x0；当 x1 时，f(x)0， 在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点， 其余选项中在函数的零点两侧函数值异号 2函数 f(x)x32x23x6 在区间(2,4)上的零点必定在区间() A(2,1)内B. 5 2，4内 C. 1，7 4 内 D. 7 4， 5 2 内 答案D 解析f(2)280， 且 f 24 2f(1)40，零点在区间 1，5
2、 2 内 又 f 15 2 2 f 7 4 0，f(m)g(n)， 则 g(n)ln n0，n1. 4 若函数f(x)x2ax4有两个零点， 一个大于2， 另一个小于1， 则a的取值范围是() A(0,3)B0,3 C(3,0)D(，0)(3，) 答案A 解析f(x)x2ax4 有两个零点，一个大于 2，另一个小于1， f20， f10， 即 222a40， 12a40， 解得 0a3. 5已知函数 f(x)exx2 的零点为 a，函数 g(x)ln x 的零点为 b，则下列不等式中成立的 是() Af(a)f(ab)f(b) Bf(ab)f(a)f(b) Cf(a)f(b)f(ab) Df(
3、b)f(ab)f(a) 答案C 解析由题意可知函数 f(x)在 R 上单调递增， f(0)e00210， 函数 f(x)的零点 a(0,1)， 又函数 g(x)的零点 b1，0abab， f(a)f(b)f(ab) 6(多选)设函数 f(x)ax 2 2e ln|ax|(a0)，若 f(x)有 4 个零点，则 a 的可能取值有() A1B2C3D4 答案BCD 解析当 a1 时，f(x)x 2 2eln|x|，函数 f(x)是偶函数， 当 x0 时，f(x)x 2 2eln x，f(x) x e 1 x x ex e ex ，f(x)在(0， e)上递减，在( e，) 上递增， f(x)min
4、f( e)0，x0 时，有一个交点，所以 f(x)共有 2 个零点，故不成立， 当 a2 时，当 x0 时，f(x)x 2 e ln 2x，f(x)2x e 1 x 2x2e ex 2 x e 2 x e 2 ex ， f(x)在 0， e 2 上递减，在 e 2，上递增， f(x)minf e 2 1 2(1ln 2e)0 有两个交点， 所以共有 4 个零点，故成立， 同理可得 a3，a4 时成立 7方程 2xx2 的解所在的区间是(k，k1)，kZ，则 k_. 答案0 解析由题意得 2xx20， 设 f(x)2xx2， 所以 f(0)1021，f(1)2121， 所以 f(0)f(1)0，
5、则方程 t2(4a)t40 有正根， 又两根的积为 4， 4a2160， 4a0， 解得 a8. 9已知函数 f(x) |x1|，x0， ln x1，x0， 若方程 f(x)m(mR)恰有三个不同的实数解 a，b， c(abc)，则(ab)c 的取值范围是_ 答案 2，2 e 解析画出 f(x)的图象 所以方程 f(x)m(mR)恰有三个不同的实数解 a，b，c(abc)， 可知 m 的取值范围为(0,1， 由题意可知 ab2,0ln c11， 所以1 ec1， 所以2(ab)c2 e. 10已知函数 f(x) 2x1，x0， fx1，x0， 若方程 f(x)xa 有两个不同的实数根，则实数
6、a 的取值范围为_ 答案(1，) 解析当 x0 时，f(x)2x1， 当1x0 时，f(x)2x 11， 当2x1 时，函数 f(x)和函数 yxa 的图象有两个不同的交点，即方程 f(x)xa 有两个不同实根 11求证：方程 3x4x5x只有一个实数解 证明要证方程 3x4x5x只有一个实数解， 即证 3 5 x 4 5 x1 只有一个实数解， 即证 f(x) 3 5 x 4 5 x1 有唯一零点 f(0) 3 5 0 4 5 0110， f(3) 3 5 3 4 5 3134 1250， f(0)f(3)0，f(x)在(0,3)上有零点 又 f(x)在 R 上是减函数， f(x)在(0,3
7、)上有唯一零点， 即 f(x)在 R 上有唯一零点，即方程 3x4x5x只有一个实数解 12设函数 f(x)log2(xm)(mR) (1)当 m2 时，解不等式 f 1 x 1； (2)若 m10，且关于 x 的方程 f(x) 1 2 x在2,6上有实数解，求实数的取值范围 解(1)由题意，知 log2 1 x20， 1 x22， 解得 x0， x0， 故 x1 2， 所以原不等式的解集为 ，1 2 . (2)log2(x10) 1 2 x， 即log2(x10) 1 2 x在2,6上有实数解， 设 g(x)log2(x10) 1 2 x， 因为 g(x)在2,6上单调递增， 所以当 x2
8、时，min1；当 x6 时，max31 8 . 所以实数的取值范围是 1，31 8 . 13四个函数 f(x)10 x，g(x) 1 10 x，h(x)lg x，(x) 1 10 logx，方程 f(x)(x)，g(x)(x)， g(x)h(x)的实数根分别为 a，b，c，则() AabcBcba CcabDbac 答案A 解析如图，画出四个函数的图象，由图可知，abc. 14函数 f(x) 1 2 |x1|2cos x(2x4)的所有零点之和为( ) A4B6C8D10 答案B 解析令 f(x)0，可得 1 2 |x1|2cos x， 令 g(x) 1 2 |x1|，h(x)2cos x，
9、则 g(x) 2x 1，2x1， 1 2 x1，11， 则方程 f(f(x)1 根的个数为() A3B5C7D9 答案C 解析令 uf(x)，先解方程 f(u)1. (1)当 u1 时，f(u)2u11，得 u11； (2)当 u1 时，f(u)|ln(u1)|1， 即 ln(u1)1，解得 u211 e，u 31e. 如图所示， 直线 u1，u11 e，u1e 与函数 uf(x)的交点个数分别为 3,2,2， 所以方程 f(f(x)1 的根的个数为 3227. 16已知函数 f(x)x2ax1 4，g(x)ln x. (1)若xR，f(x)0，求实数 a 的取值范围； (2)用 minm，n
10、表示 m，n 中的较小者设 h(x)minf(x)，g(x)(x0)，若 h(x)有三个零点， 求实数 a 的取值范围 解(1)根据题意知 x2ax1 40 对任意实数 x 恒成立， 所以a241 40，解得1a1. (2)当 x(1，)时，g(x)ln x0， 所以 h(x)minf(x)，g(x)g(x)0， 所以 h(x)在(1，)上无零点； 所以 h(x)在(0,1上有三个零点， f(1)5 4a，g(1)0， 当 f(1)g(1)时，5 4a0，得 a 5 4， 所以 h(1)g(1)0，所以 1 是 h(x)的一个零点； 当 f(1)g(1)时，a5 4， 所以 h(1)f(1)0， 由题意可知，1 是 h(x)的一个零点，且 f(x)x2ax1 4在(0,1)上有两个零点， 所以 a5 4，且 a2411 40， 0a 20， f1a5 40， 解得5 4a1. 综上所述，若 h(x)有三个零点， 则 a 的取值范围是 5 4，1.
