1、1.1集集合合 考试要求1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集 合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定 集合的子集.3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集、交集与补集的 含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.5.能使用 Venn 图表示集合间的基本关系及集 合的基本运算 1集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示 (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法 (4)常见数集的记法 集合 非负整数集 (或自然数集)
2、正整数集整数集有理数集实数集 符号NN*(或 N)ZQR 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素， 就称集合 A 为集合 B 的子集，记作 AB 或 BA. (2)真子集：如果集合 AB，但存在元素 xB，且 xA，就称集合 A 是集合 B 的真子集，记 作 AB 或 BA. (3)相等：若 AB，且 BA，则 AB. (4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3集合的基本运算 表示 运算 文字语言集合语言图形语言记法 并集 所有属于集合A或属于集 合 B 的元素组成的集合 x|xA，
3、或 xBAB 交集 所有属于集合A且属于集 合 B 的元素组成的集合 x|xA，且 xBAB 补集 全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合称 为集合A相对于全集U的 补集 x|xU，且 xAUA 微思考 1若一个集合 A 中有 n 个元素，则集合 A 有几个子集，几个真子集？ 提示子集：2n，真子集：2n1. 2从 ABA，ABA 中可以分别得到集合 A，B 有什么关系？ 提示ABAAB，ABABA. 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)任何一个集合都至少有两个子集() (2)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21() (3)若 1x2，x，则 x
4、1 或 x1.() (4)对任意集合 A，B，都有(AB)(AB)() 题组二教材改编 2(多选)若集合 AxN|2x103x，则下列结论正确的是() A2 2AB8A C4AD0A 答案AD 3已知集合 P1，a，Q1，a2，若 PQ，则 a_. 答案0 4.设全集 UR，集合 Ax|0 x2，By|1y3，则(UA)B_. 答案(，0)1，) 解析因为UAx|x2 或 x0，Bx|x1，若 AB，则实数 a 的取值范围是_ 答案(1，) 6已知集合 Mx|xa0，Nx|ax10，若 MNN，则实数 a 的值是_ 答案0 或 1 或1 解析易得 MaMNN，NM， N或 NM， a0 或 a
5、1. 题型一 集合的含义与表示 1(多选)已知集合 Ax|x3k1，kZ，则下列表示正确的是() A1AB11A C3k21AD34A 答案BCD 解析当 k0 时，x1，所以1A，所以 A 错误； 令113k1，得 k10 3 Z，所以11A，所以 B 正确； 因为 kZ，所以 k2Z，则 3k21A，所以 C 正确； 令343k1，得 k11，所以34A，所以 D 正确 2已知集合 U(x，y)|x2y21，xZ，yZ，则集合 U 中的元素的个数为() A3B4C5D6 答案C 解析当 x1 时，y0； 当 x0 时，y1,0,1； 当 x1 时，y0. 所以 U(1,0)，(0，1)，(
6、0,0)，(0,1)，(1,0)，共有 5 个元素 3若集合 Aa3,2a1，a24，且3A，则实数 a_. 答案0 或 1 解析当 a33 时，即 a0， 此时 A3，1，4， 当 2a13 时，即 a1， 此时 A4，3，3舍， 当 a243 时，即 a1，由可知 a1 舍，则 a1 时，A2,1，3， 综上，a0 或 1. 4已知 a，bR，若 a，b a，1 a 2，ab，0，则 a2 021b2 021_. 答案1 解析由已知得 a0，则b a0， 所以 b0， 于是 a21，即 a1 或 a1， 又由集合中元素的互异性知 a1 应舍去， 故 a1， 所以 a2 021b2 021(
7、1)2 02102 0211. 思维升华 解决集合含义问题的关键有三点： 一是确定构成集合的元素； 二是确定元素的限制 条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题 特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性 题型二集合间的基本关系 例 1 (1)已知集合 AxR|x23x20，BxN|0 xm1，解得 m2， 当 B时， 2m1m1， 2m13， m14， 解得1m2. 综上，实数 m 的取值范围是1，) 思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则 易造成漏解 (2)已知两个集合间的关系求参数时，关
8、键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转 化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题 跟踪训练 1 (1)(八省联考)已知 M，N 均为 R 的子集，且RMN，则 M(RN)等于() ABMCNDR 答案B 解析画 Venn 图即可，注意最后求并集 (2)已知集合 Ax|x24x50，Bx|m5x2m1，若 AB，则实数 m 的取值范 围是_ 答案2,4 解析Ax|(x1)(x5)0 x|1x5， AB， m51， 2m15 或 m51， 2m15， 解得 2m4. 题型三 集合的基本运算 命题点 1集合的运算 例 2 (1)(2020新高考全国)设集合 Ax|1x
9、3，Bx|2x4，则 AB 等于() Ax|2x3Bx|2x3 Cx|1x4Dx|1x4 答案C 解析ABx|1x3x|2x4 x|1x4 (2)设集合 Ax|x23x20，则满足 AB0,1,2的集合 B 可以是_(只要写出 一个即可) 答案0或0,1或0,2或0,1,2 解析Ax|x23x201,2， AB0,1,2，0B，集合 B 可以是0或0,1或0,2或0,1,2 命题点 2利用集合的运算求参数的值(范围) 例 3 (1)已知集合 Ax|x23x0，B1，a，且 AB 有 4 个子集，则实数 a 的取值范围 是() A(0,3)B(0,1)(1,3) C(0,1)D(，1)(3，)
10、答案B 解析因为 AB 有 4 个子集，所以 AB 中有 2 个不同的元素，所以 aA，所以 a23a0， 解得 0a3.又 a1，所以实数 a 的取值范围是(0,1)(1,3)，故选 B. (2)(2020全国)设集合 Ax|x240，Bx|2xa0，且 ABx|2x1，则 a 等于() A4B2C2D4 答案B 解析Ax|2x2，B x|x a 2. 由 ABx|2x1，知a 21， 所以 a2. 高考改编题已知集合 Ax|x240，Bx|2xa0，若 ABB，则实数 a 的取值 范围是() Aa4Da4 答案D 解析集合 Ax|2x2，B x|x a 2， 由 ABB 可得 AB，作出数
11、轴如图 可知a 22，即 a4. 思维升华 (1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用 Venn 图表示； 如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况 (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算 跟踪训练 2 (1)已知全集 UR，集合 Ax|2x4，Bx|(x1)(x3)4x|x2，UAx|x2，Bx|1x3 (UA)Bx|1x2 (2)设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 AB，则 a 的取值范围是() A12 Ca1Da1 答案D 解析在数轴上画出集合 A，B(如图)， 观察可知 a1. 题型四 集合的新定义问题 例
12、4 (1)已知集合 AxN|x22x30， B1,3，定义集合 A，B 之间的运算“*”：A*B x|xx1x2，x1A，x2B，则 A*B 中的所有元素数字之和为() A15B16C20D21 答案D 解析由 x22x30， 得(x1)(x3)0， 得 A0,1,2,3 因为 A*Bx|xx1x2， x1A， x2B，所以 A*B 中的元素有：011,033,112,134,213(舍去)，235,3 14(舍去)，336，所以 A*B1,2,3,4,5,6，所以 A*B 中的所有元素数字之和为 21. (2)若集合 A1，A2满足 A1A2A，则称(A1，A2)为集合 A 的一种分拆，并规
13、定：当且仅当 A1 A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合 A 的同一种分拆若集合 A 有三个元素，则集合 A 的不同 分拆种数是_ 答案27 解析不妨令 A1,2,3，A1A2A， 当 A1时，A21,2,3， 当 A11时，A2可为2,3，1,2,3共 2 种， 同理 A12，3时，A2各有两种， 当 A11,2时，A2可为3，1,3，2,3，1,2,3共 4 种， 同理 A11,3，2,3时，A2各有 4 种， 当 A11,2,3时，A2可为 A1的子集，共 8 种， 故共有 12343827 种不同的分拆 素养提升解决集合新定义问题的关键是 (1)准确转化：解决新定义问题时，一定
14、要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合 题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆 (2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合 集合的相关性质求解 (3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养 跟踪训练 3 (2021长沙模拟)定义一种新的集合运算：ABx|xA 且 xB若集合 A x|x24x30，Bx|2x4，则按运算，BA 等于() Ax|3x4Bx|3x4 Cx|3x4Dx|2x4 答案B 解析由题意知，Ax|1x3，在数轴上表示出 A，B 的区间，可得 BAx|3x4 课时精练课时精练 1已知
15、集合 U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5，B2,3,6,7，则 B(UA)等于() A1,6B1,7C6,7D1,6,7 答案C 解析U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5， UA1,6,7 又 B2,3,6,7，B(UA)6,7 2设集合 Mx|x2x，Nx|lg x0，则 MN 等于() A0,1B(0,1 C0,1)D(，1 答案A 解析M0,1，Nx|0 x1， MNx|0 x1 3设集合 A(x，y)|xy2，B(x，y)|yx2，则 AB 等于() A(1,1)B(2,4) C(1,1)，(2,4)D 答案C 解析首先注意到集合 A 与集合 B 均为点集， 联立
16、 xy2， yx2， 解得 x1， y1 或 x2， y4. 从而集合 AB(1,1)，(2,4) 4设集合 Mx|x4n1，nZ，Nx|x2n1，nZ，则() AMNBNMCMNDNM 答案A 解析Nx|x2n1，nZ， 当 n2k，kZ 时，Nx|x4k1，kZM， 当 n2k1，kZ 时，Nx|x4k3，kZ， 所以 MN. 5已知集合 A xZ| 3 2xZ，则集合 A 中的元素个数为() A2B3C4D5 答案C 解析因为 3 2xZ，且 xZ，所以 2x 的取值有3，1,1,3，所以 x 的值分别为 5,3,1， 1，故集合 A 中的元素个数为 4. 6 (多选)已知集合 A1,2
17、,3,4， By|y2x3， xA， 则集合 AB 的真子集可以为() AB1C3D1,3 答案ABC 解析由题意，得 B1,1,3,5， AB1,3 故集合 AB 的真子集可以为，1，3 7(多选)已知集合 Ax|x23x20，Bx|22x8，则下列判断正确的是() AABB B(RB)AR CABx|12 答案CD 解析因为 x23x20，所以 1x2， 所以 Ax|1x2； 因为 22x8，所以 1x3，所以 Bx|1x3 所以 ABx|1x3，ABx|13，(RB)(RA)x|x1 或 x2 8(多选)已知集合 A1,2，Bx|mx1，mR，若 BA，则实数 m 可能的取值为() A0
18、B1C.1 2 D2 答案ABC 解析当 m0 时，BA 成立； 当 m0 时，则 Bx|mx1，mR 1 m ， BA，1 m1 或 1 m2， 解得 m1 或 m1 2. 综上所述，实数 m 可能的取值为 0,1，1 2. 9已知集合 A1,3， m，B1，m，若 BA，则 m_. 答案0 或 3 解析因为 BA，所以 m3 或 m m.即 m3 或 m0 或 m1，根据集合中元素的互异 性可知 m1，所以 m0 或 3. 10 已知集合 Ax|5x1， Bx|(xm)(x2)0， 若 AB(1， n)， 则 mn_. 答案0 解析AB(1，n)， m1，n1， mn0. 11已知集合 A
19、x|2x3，Bx|mxm9，若 AB，则实数 m 的取值范围是 _ 答案m|11m3 解析若 AB，则有 m92 或 m3， 解得 m11 或 m3， 所以当 AB时， 实数 m 的取值范围为m|11m1 时，A(，1a，)，Ba1，)，当 a11 时，ABR， 故 1a2；当 a1 时，AR，Bx|x0，ABR，满足题意；当 a1 时，A(， a1，)，Ba1，)，又a1a，ABR，故 a1 满足题意，综上知 a(，2 15已知集合 Ax|x23x20，Bx|x2ax3a50，若 ABB，则实数 a 的取 值范围是() AB2 C(2,10)D2,10) 答案D 解析由题意，可得 Ax|x2
20、3x201,2， 因为 ABB，所以 BA. (1)当 B时，方程 x2ax3a50 无解，则a24(3a5)0，解得 2a10，此时满 足题意 (2)当 B时，若 BA，则 B1或2或1,2 当 B1时，1a3a50，得 a2，此时 Bx|x22x101，满足题意； 当 B2时，42a3a50，得 a1，此时 Bx|x2x201,2，不满足题 意，即 a1； 当 B1,2时，根据根与系数的关系可得 12a， 123a5， 此时无解 综上得，实数 a 的取值范围为2,10) 16(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪直到 1872 年，德国数学家戴德金从 连续性的要求出发，用有理
21、数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建 立在严格的科学基础上， 才结束了无理数被认为“无理”的时代， 也结束了持续 2000 多年的 数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N，且满足 MNQ，MN，M 中的每一个元素小于 N 中的每一个元素，则称(M， N)为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是() AMx|x0是一个戴德金分割 BM 没有最大元素，N 有一个最小元素 CM 有一个最大元素，N 有一个最小元素 DM 没有最大元素，N 也没有最小元素 答案BD 解析对选项 A，因为 Mx|x0，MNx|x0Q，故 A 错误； 对选项 B，设 MxQ|x0，NxQ|x0，满足戴德金分割，则 M 中没有最大元素， N 有一个最小元素 0，故 B 正确； 对选项 C，若 M 有一个最大元素，N 有一个最小元素，则不能同时满足 MNQ，MN ，故 C 错误； 对选项 D，设 MxQ|x 2，NxQ|x 2，满足戴德金分割，此时 M 没有最大元 素，N 也没有最小元素，故 D 正确
