1、三角函数与解三角形热点问题三角函数与解三角形热点问题 三年真题考情 核心热点真题印证核心素养 三角函数的图象 与性质 2019全国， 11； 2019北京， 9； 2019全 国， 12， 2019天津， 7； 2018全国， 10；2018全国，16；2018全国， 15；2017浙江，18；2017山东，16； 2017全国，14 直观想象、 逻辑推理 三角恒等变换 2019全国，10；2019浙江，18； 2018浙江， 18； 2018江苏， 16； 2018全 国，15；2018全国，4；2017全国 ，17；2017山东，9 逻辑推理、 数学运算 解三角形 2019全国，17；20
2、19全国，18； 2019北京， 15； 2019江苏， 15； 2018全 国，17；2018北京，15；2018天津， 15；2017全国，17 逻辑推理、 数学运算 热点聚焦突破 教材链接高考三角函数的图象与性质 教材探究(必修 4P147 复习参考题 A 组第 9 题、第 10 题) 题目 9已知函数 y(sin xcos x)22cos2x. (1)求它的递减区间； (2)求它的最大值和最小值. 题目 10已知函数 f(x)cos4x2sin xcos xsin4x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)当 x 0， 2 时，求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的集合. 试题
3、评析两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关 键在于运用二倍角公式及两角和公式化为 yAsin(x)k 的形式，然后利用 三角函数的性质求解. 【教材拓展】 已知函数 f(x)4tan xsin 2xcos x 3 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间 4， 4 上的单调性. 解(1)f(x)的定义域为x|x 2k，kZ， f(x)4tan xcos xcos x 3 3 4sin xcos x 3 3 4sin x 1 2cos x 3 2 sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3cos 2x 2si
4、n 2x 3 . 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)由 22k2x 3 22k(kZ)， 得 12kx 5 12 k(kZ). 设 A 4， 4 ，B x| 12kx 5 12k，kZ，易知 AB 12， 4 . 所以当 x 4， 4 时，f(x)在区间 12， 4 上单调递增，在区间 4， 12 上单 调递减. 探究提高1.将 f(x)变形为 f(x)2sin 2x 3 是求解的关键， (1)利用商数关系统一 函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数. 2.把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求 yAsin(x)B 的单调性 及奇偶性、最值、对称性等问题. 【
5、链接高考】 (2019浙江卷)设函数 f(x)sin x，xR. (1)已知0，2)，函数 f(x)是偶函数，求的值； (2)求函数 y f x 12 2 f x 4 2 的值域. 解(1)因为 f(x)sin(x)是偶函数， 所以，对任意实数 x 都有 sin(x)sin(x)， 即 sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ， 故 2sin xcos 0，所以 cos 0. 又0，2)，因此 2或 3 2 . (2)y f x 12 2 f x 4 2 sin2 x 12 sin2 x 4 1 2 1cos 2x 6 1 2 1cos 2x 2 11 2 3
6、2 cos 2x3 2sin 2x 1 3 2 cos 2x 3 . 由于 xR，知 cos 2x 3 1，1， 因此， 所求函数的值域为 1 3 2 ，1 3 2 .教你如何审题三角函数与平面向量 【例题】 (2020北京西城区调研)已知向量 m(sin x，1)，n( 3，cos x)，且 函数 f(x)mn. (1)若 x 0， 2 ，且 f(x)2 3，求 sin x 的值； (2)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 7，ABC 的面积为3 3 2 ，且 f A 6 7 3 bsin C，求ABC 的周长. 审题路线 自主解答 解(1)f(x)
7、mn(sin x，1)( 3，cos x) 3sin xcos x2sin x 6 . f(x)2 3，sin x 6 1 3. 又x 0， 2 ，x 6 6， 3 ， cos x 6 2 2 3 . sin xsin x 6 61 3 3 2 2 2 3 1 2 32 2 6 . (2)f A 6 7 3 bsin C， 2sin A 7 3 bsin C，即 6sin A 7bsin C. 由正弦定理可知 6a 7bc. 又a 7，bc6. 由已知ABC 的面积等于 1 2bcsin A 3 3 2 ，sin A 3 2 . 又A 0， 2 ，A 3. 由余弦定理，得 b2c22bccos
8、 Aa27，故 b2c213， (bc)225，bc5， ABC 的周长为 abc5 7. 探究提高1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”， 即先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、 向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对 边、角进行互化. 2.这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、 余弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”. 【尝试训练】 (2020郑州质检)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，若向量 m 2cos2C 2，cos AB 2，n 5
9、8，cos AB 2，mn9 8. (1)求 tan Atan B 的值； (2)求 absin C c2a2b2的最小值. 解(1)由题意可得 mn5 4cos 2C 2cos 2AB 2 9 8， 即5 8cos(AB) 1 2cos(AB)0， 展开可得 cos Acos B9sin Asin B， 所以 tan Atan B1 9. (2)由余弦定理可得 c2a2b22abcos C， 所以 absin C c2a2b2 absin C 2abcos C 1 2tan C 1 2tan(AB) 1 2 tan Atan B 1tan Atan B 9 16(tan Atan B) 9
10、162 tan Atan B 3 8， 当且仅当 tan Atan B1 3时等号成立. 所以 absin C c2a2b2的最小值为 3 8. 满分答题示范解三角形 【例题】 (12 分)(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C. (1)求 A； (2)若2ab2c，求 sin C. 规范解答 (1)由已知得 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C， 故由正弦定理得 b2c2a2bc.用正弦定理化角为边2 由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2. 用余弦定理化边为角4 因为
11、 0A180，所以 A60. 5 (2)由(1)知 B120C， 由题设及正弦定理得2sin Asin(120C)2sin C，6 即 6 2 3 2 cos C1 2sin C2sin C， 可得 cos(C60) 2 2 ，两角和余弦公式的逆用8 因为 0C120， 所以 sin(C60) 2 2 ，同角基本关系式的应用10 故 sin Csin(C6060) sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60 6 2 4 . 两角差正弦公式的应用12 高考状元满分心得 写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分 点步骤一定要写全， 如第(1)问中只要写出
12、0A180就有分， 没写就扣 1 分， 第(2) 问中 0C120也是如此. 写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题 时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得 b2c2a2bc，由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2，第(2)问中 cos(C60) 2 2 等. 保证正确得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如 6 2 3 2 cos C1 2sin C2sin C 化简如果出现错误，本题第(2)问最多得 1 分. 【规范训练】 (2019天津卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， c.已知 bc2a，3cs
13、in B4asin C. (1)求 cos B 的值； (2)求 sin 2B 6 的值. 解(1)在ABC 中，由正弦定理 b sin B c sin C， 得 bsin Ccsin B.又由 3csin B4asin C， 得 3bsin C4asin C，即 3b4a. 因为 bc2a，所以 b4 3a，c 2 3a.由余弦定理可得 cos Ba 2c2b2 2ac a24 9a 216 9 a2 2a2 3a 1 4. (2)由(1)可得 sin B 1cos2B 15 4 ， 从而 sin 2B2sin Bcos B 15 8 ， cos 2Bcos2Bsin2B7 8， 故 sin
14、 2B 6 sin 2Bcos 6cos 2Bsin 6 15 8 3 2 7 8 1 2 3 57 16 . 热点跟踪训练 1.(2019北京卷)在ABC 中，a3，bc2，cos B1 2. (1)求 b，c 的值；(2)求 sin(BC)的值. 解(1)由余弦定理 b2a2c22accos B，得 b232c223c 1 2 . 因为 bc2，所以(c2)232c223c 1 2 ， 解得 c5，所以 b7. (2)由 cos B1 2得 sin B 3 2 . 由正弦定理得 sin Cc bsin B 5 3 14 . 在ABC 中，角 B 是钝角，所以角 C 为锐角， 所以 cos
15、C 1sin2C11 14. 所以 sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C4 3 7 . 2.(2019青岛二中二模)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 满足 asin B 3bcos A0，a4. (1)求 A 的大小； (2)(一题多解)若 D 是 BC 的中点，AD3，求ABC 的面积. 解(1)asin B 3bcos A0， 由正弦定理，得 sin Asin B 3sin Bcos A0. 因为 B(0，)，所以 sin B0， 所以 sin A 3cos A0，所以 tan A 3. 又 A(0，)，所以 A 3. (2)法一在ABC
16、中，a2b2c22bccos BACb2c2bc， 即 b2c216bc. 在ABD 中，cos ADBAD 2BD2AB2 2ADBD 94c 2 232 13c 2 12 . 在ACD 中，cos ADCAD 2CD2AC2 2ADCD 94b 2 232 13b 2 12 . 又因为ADBADC， 所以 cos ADBcos ADC0， 即13c 2 12 13b 2 12 0，所以 b2c226， 则 16bc26，所以 bc10. 所以 SABC1 2bcsin BAC 1 210 3 2 5 3 2 . 法二由(1)得 cos BAC1 2，则 b2c2a2 2bc 1 2， 所以
17、 b2c2bc16. 因为AD 1 2(AB AC)， 则 AD 21 4(AB 22ABACAC2)1 4(c 2bcb2)9， 即 b2c2bc36. ，得 2bc20，所以 bc10. 所以 SABC1 2bcsin BAC 1 210 3 2 5 3 2 . 法三因为AB AC(AD DB )(AD DC ) (AD DB )(AD DB )AD 2DB2945， 所以AB AC|AB|AC|cos BAC1 2bc5，即 bc10， 所以 SABC1 2bcsin BAC 1 210 3 2 5 3 2 . 3.已知函数 f(x)ab，其中 a(2cos x， 3sin 2x)，b(
18、cos x，1)，xR. (1)求函数 yf(x)的单调递减区间； (2)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)1，a 7，且 向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值. 解(1)f(x)2cos2x 3sin 2x1cos 2x 3sin 2x12cos 2x 3 ， 令 2k2x 32k(kZ)， 解得 k 6xk 3(kZ)， 函数 yf(x)的单调递减区间 为 k 6，k 3 (kZ). (2)f(A)12cos 2A 3 1， cos 2A 3 1，又 32A 3 7 3 ， 2A 3，即 A 3. a 7，由余弦
19、定理得 a2b2c22bccos A(bc)23bc7. 向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线， 2sin B3sin C，由正弦定理得 2b3c， 由得 b3，c2. 4.已知函数 f(x)cos x(cos x 3sin x). (1)求 f(x)的最小值； (2)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 f(C)1，SABC3 3 4 ， c 7，求ABC 的周长. 解(1)f(x)cos x(cos x 3sin x)cos2x 3sin xcos x1cos 2x 2 3 2 sin 2x1 2 sin 2x 6 . 当 sin 2x 6 1 时
20、，f(x)取得最小值1 2. (2)f(C)1 2sin 2C 6 1，sin 2C 6 1 2， C(0，)，2C 6 6， 13 6，2C 6 5 6 ，C 3. SABC1 2absin C 3 3 4 ，ab3. 又(ab)22abcos 372ab， (ab)216，即 ab4，abc4 7， 故ABC 的周长为 4 7. 5.(2020福州质检)在 RtABC 中，ACB90，点 D，E 分别在边 AB，BC 上， CD5，CE3，且EDC 的面积为 3 6. (1)求边 DE 的长； (2)若 AD3，求 sin A 的值. 解(1)如图，在ECD 中， SEDC1 2CECDs
21、in DCE 1 235sin DCE3 6， 所以 sin DCE2 6 5 ， 因为 0DCE90， 所以 cos DCE1 2 6 5 2 1 5. 所以 DE2CE2CD22CDCEcos DCE 9252351 528， 所以 DE2 7. (2)因为ACB90， 所以 sin ACDsin(90DCE)cos DCE1 5， 在ADC 中，由正弦定理得 AD sin ACD CD sin A， 即3 1 5 5 sin A，所以 sin A 1 3. 6.(2020重庆诊断)已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，且满足(a bc)(sin Bsin Csin A
22、)bsin C. (1)求角 A 的大小； (2)设 a 3，S 为ABC 的面积，求 S 3cos Bcos C 的最大值. 解(1)(abc)(sin Bsin Csin A)bsin C， 根据正弦定理，知(abc)(bca)bc，即 b2c2a2bc. 由余弦定理，得 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2. 又 A(0，)，所以 A2 3. (2)根据 a 3，A2 3及正弦定理 得 b sin B c sin C a sin A 3 3 2 2， b2sin B，c2sin C. S1 2bcsin A 1 22sin B2sin C 3 2 3sin Bsin C. S 3cos Bcos C 3sin Bsin C 3cos Bcos C 3cos(BC). 故当 BC 6时，S 3cos Bcos C 取得最大值 3.
