1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 1 节平面向量的概念及线性运算 知 识 梳 理 1向量的有关概念 名称定义备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的 大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意 的 记作 0 单位向量长度等于 1 个单位的向量非零向量 a 的单位向量为 a |a| 平行向量方向相同或相反的非零向量 0 与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫 做共线向量 相等向量长度相等
2、且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为 0 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2.向量的线性运算 向量 运算 定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算 (1)交换律： abba. (2)结合律： (ab)
3、c a(bc) 减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 aba(b) 数乘 求实数与向量 a 的积的 运算 (1)|a|a|； (2)当0 时，a 的方 向与 a 的方向相同； 当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 (a)a； ()aaa； (ab)ab 3.共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 ba 1 一般地， 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向 量终点的向量， 即A1A2 A2A3 A3A4 An1AnA1An .特别地， 一个封闭图形首 尾连接而成的向量和为零向量 2
4、若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则 OP 1 2(OA OB ) 3.PA PBPC0P 为ABC 的重心 诊 断 自 测 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 1判断下列说法的正误 (1)零向量与任意向量平行() (2)若 ab，bc，则 ac.() (3)向量AB 与向量CD 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上() (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之也成立() (5)在ABC 中，D 是 BC 中点，
5、则AD 1 2(AC AB)( ) 答案(1)(2)(3)(4)(5) 解析(2)若 b0，则 a 与 c 不一定平行 (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则 A，B，C，D 四点不一定在一 条直线上 2给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若 a，b 都是单位向 量，则 ab；向量AB 与BA相等则所有正确命题的序号是( ) ABCD 答案A 解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模 相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量AB 与BA 互为相反向量，故错误 3(2021绍兴一中适考)在ABC 中，BD 1 2DC ，则AD
6、() A.1 4AB 3 4AC B.2 3AB 1 3AC C.1 3AB 2 3AC D.1 3AB 2 3AC 答案B 解析因为BD 1 2DC .由向量的减法运算得 2(AD AB )ACAD ，则AD 2 3AB 1 3AC . 4设向量 a，b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数_. 答案 1 2 解析向量 a，b 不平行，a2b0，又向量ab 与 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 a2b 平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立
7、，即aba2b， 则得 ， 12，解得 1 2. 5(必修 4P92A12 改编)已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且OA a，OB b，则DC _，BC _(用 a，b 表示) 答案baab 解析如图，DC AB OB OA ba，BC OC OB OA OB ab. 6设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD1 2AB，BE 2 3BC，若DE 1AB 2AC(1，2 为实数)，则1_，2_ 答案1 6 2 3 解析如图所示，DE BE BD 2 3BC 1 2BA 2 3(AC AB ) 1 2AB 1 6AB 2 3AC .又DE 1AB 2AC，且A
8、B与AC不共线，所 以11 6， 22 3 . 考点一平面向量的概念 【例 1】 下列命题中不正确的是_(填序号) 若|a|b|，则 ab； 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“AB DC ”是“四边形 ABCD 为平行四 边形”的充要条件； 若 ab，bc，则 ac. 答案 解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 正确AB DC ，|AB |DC |且AB DC ，又 A，B，C，D 是不共线的四点，
9、 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|AB | |DC |， AB DC 且AB ，DC 方向相同，因此AB DC . 正确ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等 且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac. 感悟升华(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数 图象的移动混为一谈 (4)非零向量 a 与 a |a|的关系： a |a|是与 a 同方向的单位向量 【训练 1】 下列命题中正确的是
10、_(填序号) 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 答案 解析不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也 不是向量； 不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方 向不一定相同或相反； 正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比 较大小 考点二平面向量的线性运算 【例 2】 (1)已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在 CB 的延长线上，BC3， AEAB1，C30.若AE xAByAD ，则 x_，y
11、_ (2)(一题多解)(2018全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中 点，则EB ( ) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A.3 4AB 1 4AC B.1 4AB 3 4AC C.3 4AB 1 4AC D.1 4AB 3 4AC 答案(1)1 3 3 (2)A 解析(1)ABAE1，ABEC30，由余弦定理得 BE 3，BC3， BC 3BE，BE 3 3 BC ，AEABBEAB3 3 BC AB 3 3 AD ，
12、则 x 1，y 3 3 . (2)法一如图所示， EB ED DB 1 2AD 1 2CB 1 2 1 2(AB AC 1 2(AB AC)3 4AB 1 4AC ，故选 A. 法二EB ABAEAB1 2AD AB 1 2 1 2(AB AC)3 4AB 1 4AC ，故选 A. 感悟升华(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反 向量将加减法相互转化 (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找 相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果 【训练 2】 (1)在ABC 中，AB2，BC3，ABC60，AD 为 BC 边上的高， O 为 A
13、D 的中点，若AO AB BC，则( ) A1B.1 2 C.1 3 D.2 3 (2)如图， 正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个靠近 B 点的三等分点， 那么EF ( ) A.1 2AB 1 3AD B.1 4AB 1 2AD 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C.1 3AB 1 2DA D.1 2AB 2 3AD 答案(1)D(2)D 解析(1)AD AB BD AB 1 3BC ， 2AO AB 1 3BC ，
14、即AO 1 2AB 1 6BC . 故1 2 1 6 2 3. (2)在CEF 中，有EF ECCF. 因为点 E 为 DC 的中点，所以EC 1 2DC . 因为点 F 为 BC 的一个靠近 B 点的三等分点， 所以CF 2 3CB . 所以EF 1 2DC 2 3CB 1 2AB 2 3DA 1 2AB 2 3AD ，故选 D. 考点三共线向量定理及其应用 【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线 (1)若AB ab，BC2a8b，CD 3(ab)求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 (1)证明AB ab，BC2a8b，CD 3(ab) B
15、D BC CD 2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB . AB ，BD 共线，又它们有公共点 B， A，B，D 三点共线 (2)解kab 与 akb 共线，存在实数， 使 kab(akb)，即 kabakb， (k)a(k1)b. a，b 是不共线的两个非零向量， kk10，k210，k1. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 感悟升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点 共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时
16、，才能得出三点共线 (2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0 成立 【训练 3】 (1)已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则 使等式 x2OA xOB BC 0 成立的实数 x 的取值集合为( ) A0BC1D0，1 (2)已知向量AB a3b，BC5a3b，CD 3a3b，则() AA，B，C 三点共线BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线DB，C，D 三点共线 答案(1)C(2)B 解析(1)因为BC OC OB ， 所以 x2OA xOB OC OB 0， 即OC x2OA (x 1)OB ，因为 A，B，C 三点共
17、线， 所以x2(x1)1，即 x2x0，解得 x0 或 x1. 当 x0 时，x2OA xOB BC BC0，此时 B，C 两点重合，不合题意 (2)BD BC CD 2a6b2(a3b)2AB ， BD ，AB 共线，又有公共点 B， A，B，D 三点共线故选 B. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 基础巩固题组 一、选择题 1.如图，在正六边形 ABCDEF 中，BA CD EF ( ) A0B.BE C.AD D.CF 答案D 解析由题干图知BA
18、CD EF BAAFCBCBBFCF. 2设 a 是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是() Aa 与a 的方向相反Ba 与2a 的方向相同 C|a|a|D|a|a 答案B 解析对于 A，当0 时，a 与a 的方向相同，当0 时，a 与a 的方向相反； B 正确；对于 C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关 系不确定；对于 D，|a 是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小 3 已知下列各式： AB BCCA； ABMB BO OM ； OA OB BO CO ； AB ACBD CD ，其中结果为零向量的个数为() A1B2C3D4 答案B 解析由题知结果为零向量
19、的是，故选 B. 4在ABC 中，P，Q 分别是 AB，BC 的三等分点，且 AP1 3AB，BQ 1 3BC.若AB a，AC b，则PQ () A.1 3a 1 3b B1 3a 1 3b C.1 3a 1 3b D1 3a 1 3b 答案A 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析PQ PB BQ 2 3AB 1 3BC 2 3AB 1 3(AC AB)1 3AB 1 3AC 1 3a 1 3b， 故选 A. 5(2021北京大兴区期末)设 a，b
20、为非零向量，则“|ab|a|b|”是“a 与 b 不共线”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 答案B 解析a 与 b 不共线，则“|ab|a|b|”， 当 a 与 b 反向时，满足|ab|a|b|，但不能得到 a 与 b 不共线， “|ab|a|b|”是“a 与 b 不共线”的必要不充分条件 6设 a0为单位向量，下述命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0； 若 a 与 a0平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0.假命题的个数是 () A0B1C2D3 答案D 解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0
21、的模相同，但方向不一定相同， 故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反 向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3. 7设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内 任意一点，则OA OB OC OD () A.OM B2OM C3OM D4OM 答案D 解析OA OB OC OD (OA OC )(OB OD )2OM 2OM 4OM .故选 D. 8设 a，b 不共线，AB 2apb，BCab，CD a2b，若 A，B，D 三点共 线，则实数 p 的值为() A2B1C1D2 答案B
22、 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析BC ab，CD a2b， BD BC CD 2ab. 又A，B，D 三点共线，AB ，BD 共线 设AB BD ，2apb(2ab)， 22，p，1，p1. 9(2014浙江卷)记 maxx，y x，xy， y，xy， minx，y y，xy， x，xy， 设 a，b 为平 面向量，则() Amin|ab|，|ab|min|a|，|b| Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b| Cmax|ab|2，|ab|
23、2|a|2|b|2 Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 答案D 解析由三角形法则知 min|ab|，|ab|与 min|a|，|b|的大小不确定，由平行 四边形法则知，max|ab|，|ab|所对角大于或等于 90，由余弦定理知 max|a b|2，|ab|2|a|2|b|2，故选 D. 二、填空题 10如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心 为始点和终点的向量中，与向量OA 相等的向量有_个 答案3 解析根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA 相等的向量有CB ， DO ， EF ，共 3 个 11.如图，在平行四边形 ABCD
24、中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB AD AO ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则_ 答案2 解析因为 ABCD 为平行四边形，所以AB AD AC 2AO ， 已知AB AD AO ，故2. 12向量 e1，e2不共线，AB 3(e1e2)，CBe2e1，CD 2e1e2，给出下列结 论：A，B，C 共线；A，B，D 共线；B，C，D 共线；A，C，D 共线， 其中所有正确结论的序号为_ 答案 解析由AC ABCB4e12e22CD ，
25、且AB 与CB不共线，可得 A，C，D 共线， 且 B 不在此直线上 13若点 O 是ABC 所在平面内的一点，且满足|OB OC |OB OC 2OA |，则 ABC 的形状为_ 答案直角三角形 解析OB OC 2OA (OB OA )(OC OA )AB AC，OB OC CB AB AC ，|ABAC|ABAC|. 故 A，B，C 为矩形的三个顶点，ABC 为直角三角形 14已知ABC 和点 M 满足MA MB MC 0，若存在实数 m 使得AB AC m AM 成立，则 m_ 答案3 解析由已知条件得MB MC MA ，如图，延长 AM 交 BC 于 D 点，另取 D 为 BC 中点，
26、则MB MC 2MD ，MA 2MD ，即 A，M，D共线，所以 D 和 D重合，则 D 为 BC 的中点延长 BM 交 AC 于 E 点，延长 CM 交 AB 于 F 点， 同理可证 E， F 分别为 AC， AB 的中点， 即 M 为ABC 的重心， AM 2 3AD 1 3(AB 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 AC )，即ABAC3AM ，则 m3. 能力提升题组 15已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2OP 2
27、OA BA ，则( ) A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C点 P 在线段 AB 的延长线上 D点 P 不在直线 AB 上 答案B 解析因为 2OP 2OA BA ，所以 2APBA，所以点 P 在线段 AB 的反向延长线 上，故选 B. 16设 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：OP OA AB |AB | AC |AC | ，0，)，则 P 的轨迹一定通过ABC 的() A外心B内心C重心D垂心 答案B 解析作BAC 的平分线 AD. OP OA AB |AB | AC |AC | ， AP AB |AB | AC |
28、AC | AD |AD | (0，)， AP |AD | AD ，AP AD . P 的轨迹一定通过ABC 的内心 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 17(2021北京西城区二模)已知 M 为ABC 内一点，AM 1 3AB 1 4AC ，则ABM 和ABC 的面积之比为() A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 答案A 解析设AD 1 3AB ， AE1 4AC ， 以 AD， AE 为邻边作平行四边形 ADME， 延长 EM 交 BC 于
29、F，则 EFAB，且 AE1 4AC， S ABM SABC AE AC 1 4.故选 A. 18 (2021杭州二中模拟)如图， 在ABC 中， 点 D 在线段 BC 上， 且满足 BD1 3BC， 过点 D 的直线分别交直线 AB，AC 于不同两点 M，N，若AM mAB ，ANnAC， 则2 m 1 n_，若 BDkBC，写出类似的结论为_(答案不 唯一) 答案3 1k m k n1(答案不唯一) 解析因为 M，N，D 三点共线， 所以AD AM (1)AN ， 又AM mAB ，ANnAC， 所以AD mAB (1)nAC， 又BD 1 3BC ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以AD AB BD AB 1 3BC 2 3AB 1 3AC ， 所以m2 3，(1)n 1 3，故 2 m 1 n3. 若 BDkBC， 则AD AB BD AB kBC(1k)ABkAC， 故m1k，(1)nk，所以1k m ，1k n， 故1k m k n1.
