1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 2 节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 知 识 梳 理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，使得 AxByC 的值符号相 同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式 AxByC0；而 位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式 AxByC0 时， 截距 z b取 最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值；当 b0
2、 表示的平面区域在直线 xy10 的下方. (4)直线 axbyz0 在 y 轴上的截距是z b. 2.下列各点中，不在 xy10 表示的平面区域内的是() A.(0，0)B.(1，1) C.(1，3)D.(2，3) 答案C 解析把各点的坐标代入可得(1，3)不适合，故选 C. 3.(必修 5P86T3 改编)不等式组 x3y60， xy20，则题中的不等式组表示的平面区域为以(1，0)， k 2k， 1 2k ， 1，1 k 为顶点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数 z3xy 经过平面区域 内点 k 2k， 1 2k 时，z3xy 取得最小值 zmin 3k 2k 1 2k1，解得 k
3、 1 2. 考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域 【例 1】(1)(一题多解)不等式(x2y1)(xy3)0 在直角坐标平面内表示的区 域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的() (2)设不等式组 y0， xy1， ymx 所表示的区域面积为 S(mR).若 S1，则() A.m2B.2m0 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C.0m2D.m2 答案(1)C(2)A 解析(1)法一不等式(x2y1)(xy3)0 等价于 x2y10， xy30 或 x
4、2y10， xy30， 画出对应的平面区域，可知 C 正确. 法二结合图形，由于点(0，0)和(0，4)都适合原不等式，所以点(0，0)和(0，4) 必在区域内，故选 C. (2)如图，当 xy1 与 ymx 的交点为(1，2)时，阴影部分的面积为 1，此时 m 2，若 S1，则 m2，故选 A. 感悟升华二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定 域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成 实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点. 【训练 1】 若不等式组 xy20， x2y20， xy2m0 表示的平面区域为
5、三角形，且其面积等于 4 3，则 m 的值为( ) A.3B.1C.4 3 D.3 答案B 解析如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，则 m1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 由 xy20， xy2m0，解得 x1m， y1m，即 A(1m，1m). 由 x2y20， xy2m0，解得 x2 3 4 3m， y2 3 2 3m， 即 B 2 3 4 3m， 2 3 2 3m，所围成的区域为ABC，则 SABCSADCSBDC1 2(2
6、2m)(1m)1 2(22m) 2 3(1m) 1 3(1m) 24 3，解得 m3(舍去)或 m1.故选 B. 考点二线性规划相关问题 角度 1求线性目标函数的最值 【例 21】 (2020浙江卷)若实数 x，y 满足约束条件 x3y10， xy30， 则 zx2y 的取值范围是() A.(，4B.4，) C.5，)D.(，) 答案B 解析如图，l1：x3y10，l2：xy30. 不等式组 x3y10， xy30 表示的平面区域为阴影部分. 设初始直线为 l：y1 2x，直线 l 通过向上平移经过可行域内的第一个点为 l 1与 l2的交点 P(2，1)，因此 z 的最小值 zmin2214，
7、所以 z4.故选 B. 角度 2求非线性目标函数的最值 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 【例 22】 (1)已知实数 x，y 满足不等式组 x0， x2y0， xy30， 则(x1)2(y2)2的 取值范围是() A.1，5B. 5，5C.5，25D.5，26 (2)(2020湖州期末质检)实数 x，y 满足约束条件 y1， yx0， yx0， 则目标函数 z y1 x (x0)的取值范围是() A.(2，2)B.(，2)(2，) C.(，22，)D.
8、2，2 答案(1)D(2)C 解析(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示.因为(x 1)2(y2)2表示平面区域内的点到点 P(1，2)的距离的平方，直线 PO： y2x 与直线 x2y0 垂直，由图知，点 P(1，2)到直线 x2y0 的距离的 平方为所求最小值，即为 |12（2）| 5 2 5，与点 A(0，3)的距离的平方为所 求最大值，即为(01)23(2)226，所以所求取值范围为5，26，故选 D. (2)在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域为以(0，0)，(1，1)，(1， 1)为顶点的三角形区域(含边界)，目标函数 zy1 x (x0)表示平面区
9、域内的点与 点(0，1)连线的斜率.易知在第一象限内，(0，1)与点(1，1)连线的斜率取得最 小值 2；在第二象限内，(0，1)与点(1，1)连线的斜率取得最大值2，所以 z 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 y1 x (x0)的取值范围为(，22，)，故选 C. 角度 3求参数的值或范围 【例 23】 (1)已知 x，y 满足约束条件 xy50， 2xy10， ax2y10， 若 z2xy 的最大值为 8，则实数 a 的值为_. (2)当实数 x，y
10、 满足 x2y40， xy10， x1 时，1axy4 恒成立，则实数 a 的取值范 围是_. 答案(1)1(2) 1，3 2 解析(1)将目标函数变形为 y2xz，当 z 取最大值时，直线的纵截距最大， 易知直线 xy50 与 2xy10 的交点(2，3)不能使得目标函数取得最大值 8.因为直线 ax2y10 恒过定点 0，1 2 ，所以要使目标函数能取到最大值，需 1a 2 31 2 20 ，即2a0，从图中 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 可看出
11、 zmin0，不符合题意；若 a0 时，zmin00.最优解 在顶点处取得，代入区域的顶点(1，0)， 1，3 2 ，(2，1)， 1a4， 1a3 24， 12a14， 1a3 2. 感悟升华线性规划两类问题的解决方法 (1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的 目 标 函 数 有 ： 截 距 型 ： 形 如 z ax by ； 距 离 型 ： 形 如 z （xa）2（yb）2；斜率型：形如 zyb xa. (2)求参数的值或范围： 参数的位置可能在目标函数中， 也可能在约束条件中.求解 步骤为：注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；在符合题 意的
12、可行域里，寻求最优解. 【训练 2】 (1)已知实数 x，y 满足 x1， xy0， x2y60， 则 zx2y2的最大值为() A.2B.2 2C.4D.8 (2)已知实数 x，y 满足约束条件 2xy10， xy10， x2y40， 若 ztxy 的最小值为 1，则实数 t 的取值范围是() A.t2B.2t1 C.t1D.t2 或 t1 (3)若实数 x，y 满足 x2y21，则|xy1|2x3y1 的最大值是() A.5B.23 5 C.4D.17 4 答案(1)D(2)B(3)A 解析(1)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2， 2)，(1，1)， 1，5
13、2 为顶点的三角形及其内部，zx2y2表示平面区域内的点到原 点的距离的平方，由图易得平面区域内的点(2，2)到原点的距离最大，则 zmax22 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 228.故选 D. (2)画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知只有 平移直线 txy0 经过直线 2xy10 与直线 xy10 的交点 C(0，1)时， 目标函数 ztxy 的值为 1， 则目标函数 ztxy 要取得最小值 1， 直线 ztxy 必
14、过点 C(0，1).当 t0 时，则t1，即 0t1；当 t0 时，则t2，即 2t1 时，z|xy1|2x3y13x4y 在点 3 5， 4 5 处有最大值 5，当 xy1 时，z|xy1|2x3y1x2y2 在点(0，1)处有最大值 4，所以|x y1|2x3y1 的最大值是 5，故选 A. 基础巩固题组 一、选择题 1.(2020杭州质检)若实数 x，y 满足不等式组 xy0， x1， xy0， 则() A.y1B.x2 C.x2y0D.2xy10 答案D 解析在平面直角 坐标系内画出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)所示，画出直线 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
15、 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2xy10.由图易得平面区域内的点都在直线 2xy10 的右下方，即不等 式 2xy10 恒成立，故选 D. 2.(2020浙江“超级全能生”联考)在平面直角坐标系中，不等式组 yx1， xm， y0 (m 为常数)所围成的区域面积是 8，则 m 等于() A.3B.5C.5D.3 答案D 解析易知 m1，可行域为点(1，0)，(m，0)，(m，m1)围成的等腰直角 三角形区域(包含边界)，所以1 2(m1) 28，解得 m3 或 m5，m5 不符 合题意，所以
16、 m3，故选 D. 3.已知 x， y 满足约束条件 xy20， x2y20， 2xy20. 若zyax 取得最大值的最优解不唯一， 则实数 a 的值为() A.1 2或1 B.2 或1 2 C.2 或 1D.2 或1 答案D 解析如图，由 yaxz 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a0 时， 要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a2；当 a0 时，要使 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则 a1. 4.(2020丽水测试)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组 2xy20， x2y10， 3xy80 所表 示的平面区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为
17、() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A.2B.1C.1 3 D.1 2 答案C 解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域，其是以(1， 0)，(3，1)，(2，2)为顶点的三角形及其内部，由图易得平面区域内的点(3，1) 与原点连线的斜率最小，斜率的最小值为10 30 1 3，故选 C. 5.已知 x，y 满足约束条件 x1， y1， 4xy9， xy3， 若目标函数 zymx(m0)的最大值为 1， 则 m 的值是() A.20 9
18、 B.1C.2D.5 答案B 解析作出可行域，如图所示的阴影部分. 化目标函数 zymx(m0)为 ymxz， 由图可知， 当直线 ymxz 过 A 点时， 直线在 y 轴的截距最大，由 x1， xy3，解得 x1， y2，即 A(1，2)，2m1，解得 m1.故选 B. 6.若函数 y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件 xy30， x2y30， xm， 则实数 m 的最大 值为() A.1 2 B.1C.3 2 D.2 答案B 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你
19、的加入与分享 解析在同一直角坐标系中作出函数 y2x的图象及 xy30， x2y30， xm. 所表示的平 面区域，如图阴影部分所示. 由图可知，当 m1 时， 函数 y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件， 故 m 的最大值为 1. 7.已知 O 是坐标原点，点 M 的坐标为(2，1)，若点 N(x，y)为平面区域 xy2， x1 2， yx 上的一个动点，则OM ON 的最大值是() A.1B.2C.3D.4 答案C 解析依题意得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中 A 1 2， 1 2 ， B 1 2， 3 2 ，C(1，1). 设 zOM ON 2xy，当目标函数 z2x
20、y 过点 C(1，1)时，z2xy 取得最大 值 3. 8.(2020名校仿真训练四)若点 M(x，y)满足 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 x2y22x2y10， 1x2， 0y2， 则 xy 的取值集合是() A.1，4B.1，2 2 C.2 2，4D.1，3 答案B 解析点 M(x， y)满足 x2y22x2y10， 1x2， 0y2 的可行域为图中曲线， 令 zxy， 变形 yxz.平移直线 yx，当直线经过点 B 1 2 2 ，1 2 2 时
21、截距最大， 此时 z 最大，最大值为 2 2，直线经过 D(1，0)时，z 取得最小值，最小值为 1， xy 的取值集合是1，2 2，故选 B. 二、填空题 9.若点(2，t)在直线 2x3y60 的上方，则 t 的取值范围是_. 答案 2 3， 解析因为直线 2x3y60 的上方区域可以用不等式 2x3y60 表示， 所以 由点(2，t)在直线 2x3y60 的上方得43t62 3. 10.已知实数 x，y 满足 2xy0， xy0， 0 xa， 设 bx2y，若 b 的最小值为2，则 b 的最 大值为_. 答案10 解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线 l0：x2y0，
22、yx 2 b 2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 当 l0平移至 A 点处时 b 有最小值，bmina， 又 bmin2， a2，当 l0平移至 B(a，2a)时，b 有最大值 bmaxa2(2a)5a10. 11.(2020浙江名师预测卷四)实数 x，y 满足不等式组 xy3， x1， y3， 动点(x，y)对应的 区域面积是_，z2xy1 x1 的最小值是_. 答案 1 2 3 2 解析画出不等式组表示的平面区域易计算得区域面积等于1 2；z 2
23、xy1 x1 2 y3 x1，其中 y3 x1表示点(1，3)与区域内的任意点(x，y)连线的斜率，当 x1， y2 时，斜率取得最小值1 2，则 z min3 2. 12.若实数 x，y 满足约束条件 xy10， xy10， y10， 则 z|x2y|最大值为_. 答案4 解析由题意可得，该约束条件满足的平面区域如图所示，是以(0，1)，(2，1)， (2，1)为端点的三角形及其内部区域.|x2y| 5|x2y| 5 表示该平面区域内的 点到直线 x2y0 距离的 5倍.由线性规划的特点可知，该目标函数在点(2，1) 处取得最大值，其最大值为|x2y| 5|22| 5 4. 本资料分享自新人
24、教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 能力提升题组 13.已知实数 x，y 满足 xy0， x2y60， x3y0， 则 xy 的最大值是() A.9 2 B.108 25 C.4D.72 25 答案A 解析画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示， 设直线 x2y 60 与曲线 yz x相切于第一象限(z0)，切点为(x 0，y0).由 yz x，得 y z x2， 所以 y0 z x0， z x20 1 2， x02y060， 解得 x03， y03 2，
25、 z9 2， 所以 xy 的最大值为9 2，故选 A. 14.已知实数 x，y 满足条件 2x3y60， x4y80， 3xy90， 则 zxy xy的最大值为_，z 取 得最大值的最优解为_. 答案1(3，0) 解析不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分， 当 x0， y2， 此时 z02 021， 当 x0 时， 令 u y x0， )，则 z 1y x 1y x 1u 1u 2（1u） 1u 2 1u1 2 11 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享
26、 1，即 z 的最大值为 1，此时 uy x0，故最优解为(3，0). 15.若实数 x，y 满足不等式组 x2y20， x2y20， 2xy10， 则 2|x1|y 的最大值是() A.14 3 B.19 3 C.4D.1 答案B 解析设 z2|x1|y 2xy2，x1， 2xy2，x1， 在平面 直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图中阴影 部分所示，是以 A(2，0)，B(0，1)，C 4 3， 5 3 为顶点 的三角形区域(含边界)，z2xy2(x1)在点 A(2，0)处取得最大值 2；z 2xy2(x1)在点C 4 3， 5 3 处取得最大值19 3 ， 故z2|x1|y的最大值
27、是19 3 . 16.(2021义乌联考)已知点 P(x，y)满足(xcos )2(ysin )21，则满足条件的 P 所形成的平面区域的面积为_，z|x1|y|的最大值为_. 答案412 2 解析由题意知动点 P 的轨迹是以(cos ，sin )为圆心，1 为半径的圆，其中圆 心(cos ，sin )在单位圆上，如图 1，动点 P 所形成的平面区域是以 O 为圆心，2 为半径的圆，所以其面积 S4.如图 2，易知点 P 在左半圆 x2y24(x0)上时， z|x1|y|最大，由圆的对称性，不妨设点 P(x，y)，x0，y0，所以 z1x y，当直线与圆相切时，z 最大，此时|z1| 2 2，解得 z12 2，所以 zmax1 2 2.
