1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 2 节排列与组合 知 识 梳 理 1排列与组合的概念 名称定义 排列从 n 个不同元素中取出 m(mn)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合合成一组 2.排列数与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的排列数 (2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的组合数 3
2、排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)Amnn(n1)(n2)(nm1) n！ （nm） ！ (2)CmnA m n Amm n（n1） （n2）（nm1） m！ n！ m！ （nm） ！(n，mN *，且 mn)特别地 C0 n1 性质 (1)0！1；Annn！ (2)CmnCn m n；Cmn1CmnCm 1 n 1对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合 数 2排列、组合问题的
3、求解方法与技巧 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)特殊元素、特殊位置优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问 题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法 处理； (7)分排问题直排处理； (8)“小集团”排列问题先整体后局部； (9)构造模型； (10)正难则反，用间接法 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列() (2)两个组合相同的充要条件是其中
4、的元素完全相同() (3)若组合式 CxnCmn，则 xm 成立() (4)kCknnCk 1 n1.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确；若 CxnCmn，则 x m 或 nm，故(3)不正确 2从 4 本不同的课外读物中，买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，则不同的送法 种数是() A12B24C64D81 答案B 解析4 本不同的课外读物选 3 本分给 3 位同学，每人一本，则不同的分配方法 为 A3424. 3(一题多解)(选修 23P28A17 改编)从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参 加某项活动，则男女生
5、都有的选法种数是() A18B24C30D36 答案C 解析法一选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C24C1318(种)，选 出的 3 人中有 1 名男同学 2 名女同学的方法有 C14C2312(种)，故 3 名学生中男女 生都有的选法有 C24C13C14C2330(种) 法二从 7 名同学中任选 3 名的方法数，再除去所选 3 名同学全是男生或全是女 生的方法数，即 C37C34C3330. 4(2017上海卷)若排列数 Am6654，则 m_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大
6、全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案3 解析Am6654,sdo4(3 个)，m3. 5如图，有两堆同样的盒子，一堆 3 个，一堆 n(n3 且 nN*)个，现需要将这 些盒子搬走， 每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子， 若共有 84 种不同的搬 法，则 n_ 答案6 解析因为 3 个盒子的这一堆可以分为连续搬走 3 个盒子、其中 2 个盒子连续被 搬 走 、 3 个 盒 子 均 分 开 被 搬 走 3 种 情 况 ， 故 有 n 1 A 2 n1 C 3 n1 （n1） （n2） （n3） 6 84，故 n6. 6用 1，2，3，4，5，6 这六个数字组成没有重复数
7、字的六位数共有_个； 其中 1，3，5 三个数字互不相邻的六位数有_个 答案720144 解析用 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字六位数共有 A66720(个)；将 1，3， 5 三个数字插入到 2，4，6 三个数字排列后所形成的 4 个空中的 3 个，故有 A33A34 144(个). 考点一排列问题 【例 1】 3 名女生和 5 名男生排成一排 (1)如果女生全排在一起，有_种不同排法； (2)如果女生都不相邻，有_种排法； (3)(一题多解)如果女生不站两端，有_种排法； (4)其中甲必须排在乙前面(可不相邻)，有_种排法； (5)(一题多解)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有_
8、种排法 答案(1)4 320(2)14 400(3)14 400(4)20 160(5)30 960 解析(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 合在一起有 6 个元素，排成一排有 A 6 6种排法，而其中每一种排法中，三个女生 间又有 A 3 3种排法，因此共有 A66A334 320(种)不同排法 (2)(插空法)先排 5 个男生，有 A 5 5种排法，这 5 个男生之间和两端有 6
9、个位置，从 中选取 3 个位置排女生，有 A 3 6种排法，因此共有 A55A3614 400(种)不同排法 (3)法一(位置优先法)因为两端不排女生，只能从 5 个男生中选 2 人，有 A 2 5种 排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A 6 6种排法，因此共有 A25A6614 400(种)不 同排法 法二(元素优先法)从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A 3 6种排法，其余位置 无限制，有 A 5 5种排法，因此共有 A36A5514 400(种)不同排法 (4)8 名学生的所有排列共 A 8 8种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中1 2， 符合要求的排法种数为 1 2A 8
10、820 160(种) (5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置 法一(特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有 A 7 7种； 甲不在最右边时，可从余下 6 个位置中任选一个，有 A 1 6种； 而乙可排在除去最右边位置后剩余的 6 个中的任一个上，有 A 1 6种； 其余 6 个人进行全排列，有 A 6 6种共有 A16A16A 6 6种 由分类加法计数原理，共有 A77A16A16A6630 960(种) 法二(特殊位置法)先排最左边，除去甲外，有 A 1 7种，余下 7 个位置全排，有 A 7 7种，但应剔除乙在最右边时的排法 A16A 6 6种，因此共有 A17A77A16A66
11、30 960(种) 法三(间接法)8 个人全排，共 A 8 8种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有 A 7 7种，乙在最右边时，有 A 7 7种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的 情形，有 A 6 6种因此共有 A882A77A6630 960(种) 感悟升华求解排列应用问题的 6 种主要方法 直接法把符合条件的排列数直接列式计算 优先法优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的 内部排列 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483
12、122854 期待你的加入与分享 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插 在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全 排列 间接法正难则反、等价转化的方法 注意：除定序问题外，有序问题变无序问题，分配问题变分组问题，含有相同元 素的排列问题也用除法 【训练 1】 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数 (1)七人排成一排，乙在甲的左侧(不必相邻)，丙在甲的右侧(不必相邻)； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体
13、排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻 解(1)所求排列有A 7 7 A337654840(种) (2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A 3 7种方法，余下 4 人站后排，有 A 4 4种方法， 共有 A37A445 040(种) (3)法一(特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A 6 6种排列方法，共 有 5A663 600(种) 法二(特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，有 A 2 6种排法，其他有 A 5 5种排法，共有 A26A553 600(种) (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A 4 4
14、种方法，再将女生 全排列，有 A 4 4种方法，共有 A44A44576(种) (5)(插空法)先排女生，有 A 4 4种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空 位安排男生，有 A 3 5种方法，共有 A44A351 440(种) 考点二组合问题 【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有_种； (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有_种； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 Q
15、Q 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有_种； (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有_种； (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有_种 答案(1)561(2)5 984(3)2 100(4)2 555 (5)6 090 解析(1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C234561 种，某一种假货必须在 内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C 3 34种或者 C335C234C3345 984 种 某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15
16、种假货中选取 2 种有 C120C2152 100 种 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 (4)选取 2 种假货有 C120C 2 15种，选取 3 种假货有 C 3 15种，共有选取方式 C120C215C315 2 1004552 555 种 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种 (5)选取 3 种的总数为 C335， 选取 3 种假货有 C 3 15种， 因此共有选取方式 C335C315 6 5454556 090 种 至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种 感悟升华组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合
17、题型；“含”，则先将这些元素取出， 再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少” 与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求 解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 【训练 2】 (1)(2018全国卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且 至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案) (2)(2020新高考山东卷)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排
18、2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排 方法共有() A120 种B90 种C60 种D30 种 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数中取三个，所取三个数之积为偶数且 能被 3 整除，则不同的选取方法有() A55 种B61 种C64 种D70 种 (4)(2021杭州质检)安排 A，B，C，D，E，F 共 6 名志愿者照顾甲、乙、丙三位老 人，每两位志愿者照顾一位老人，考虑到志愿者与老人住址距离
19、问题，志愿者 A 安排照顾老人甲，志愿者 B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有_种 答案(1)16(2)C(3)A(4)18 解析(1)可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 C12C24 12(种)；第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 C22C144(种)根据分类加 法计数原理知，至少有 1 位女生入选的不同的选法有 16 种 (2)先从 6 名同学中选 1 名安排到甲场馆，有 C 1 6种选法，再从剩余的 5 名同学中 选 2 名安排到乙场馆，有 C 2 5种选法，最后将剩下的 3 名同学安排到丙场馆，有 C 3 3种选法，由分步乘法计数原理知，共有 C16
20、C25C3360(种)不同的安排方法故 选 C. (3)对三个数中有没有 6 进行分类：含有 6 时，只需从剩下的 8 个数中任意选两 个即可，即 C2828 种；不含 6 时，则需要 3 与 9.当 3 与 9 同时存在时，需要从 剩余的 3 个偶数中选一个，即 C133 种；当 3 与 9 有一个存在时，偶数可以选 1 个或 2 个，即 C12(C13C13C23)24 种综上所述，不同的选取方法有 55 种，故选 A. (4)当志愿者 B 照顾甲老人时，剩余四人分成两组分别照顾乙、丙两位老人，共有 C246(种)安排方法；当志愿者 B 照顾丙老人时，剩余四人分成 1，1，2 的三组， 其
21、中两人的一组照顾乙老人，此时共有 C14C1312(种)安排方法综上所述不同 的安排方法共有 61218(种) 考点三排列、组合的综合应用 【例 3】 (1)(2021诸暨期末)将六名大学生分配到三所学校，每所学校至少一名， 其中甲、乙两人须在同一学校则不同分配方案有_种 (2)4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内 恰有 1 个盒不放球，共有_种放法； 恰有 1 个盒内有 2 个球，共有_种放法； 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 恰有 2
22、 个盒不放球，共有_种放法 答案(1)150(2)14414484 解析(1)把六名大学生分配到三所学校，每所学校至少一名，有(1，1，4)，(1， 2，3)，(2，2，2)三种不同的分组方式当分组方式为(1，1，4)时，有 C24A 3 3种不 同的分配方案；当分组方式为(1，2，3)时，有(C34C14C23)A 3 3种不同的分配方案； 当分组方式为(2，2，2)时，有C 2 4A33 A22 种不同的分配方案综上所述，不同的分配方 案共有 C24A33(C34C14C23)A33C 2 4A33 A22 150 种 (2)为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去一个
23、，问题转化 为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2，1，1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有 C14C24C13A22144(种) “恰有 1 个盒内有 2 个球”，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1 个 球， 也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒， 因此， “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰 有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有 144 种放法 确定 2 个空盒有 C 2 4种方法 4 个球放进 2 个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第
24、一类有序不均匀分组有 C34C11A22 种方法；第二类有序均匀分组有C 2 4C22 A22 A 2 2种方法故共有 C24 C34C11A22C 2 4C22 A22 A22 84(种) 感悟升华(1)对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分 组，再对取出的元素或分好的组进行排列 (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型： 不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，先按乘法计 数原理计算，再除以元素个数相同的组数的全排列(3)对于相同元素的“分配” 问题，常用的方法是采用“隔板法” 【训练 3】 (1)(2020全国卷)4 名同学
25、到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名 同学只去 1 个小区， 每个小区至少安排 1 名同学， 则不同的安排方法共有_ 种 (2)(2021柯桥区调研)若有 6 个球，其中相同的黑球 3 个，红、白、蓝色的球各 1 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 个，从中取 4 个球排成一排，则不同的排法有_种(用数字作答) (3)(一题多解)(2021宁波模拟)庚子年结束，辛丑年伊始，小康、小梁、小谭、小 杨、小刘、小林六人分成四组，其中两个组各 2 人，另两个组
26、各 1 人，分别奔赴 四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有_种(用数字作答) 答案(1)36(2)72(3)1 080 解析(1)将 4 名同学分成人数为 2，1，1 的 3 组有 C246 种分法，再将 3 组同学 分到 3 个小区共有 A336 种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有 6636 种 (2)当取出的小球中有 1 个黑球时， 有 A4424 种不同的排法； 当取出的小球中有 2 个黑球时，有C 2 3A44 A22 36 种不同的排法；当取出的小球中有 3 个黑球时，有C 1 3A44 A33 12 种不同的排法综上所述，不同的排法共有 24361272 种 (
27、3)法一由题意，将 6 人按要求先分组，共有C 2 6C24C12 A22A22 45 种方法，再将此 4 组分 配给四所学校，有 A 4 4种方法，由分步乘法计数原理，不同的分配方案共 45A441 080 种 法二先取 2 所学校为 2 人组演的学校，有 C 2 4种方法，再让学校选取演讲人，有 C26C24C 1 2种方法，故共 C24C26C24C121 080 种 基础巩固题组 一、选择题 1用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为() A24B48C60D72 答案D 解析由题意，可知个位可以从 1，3，5 中任选一个，有 A 1 3种方法，其他数位
28、上的数可以从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列，有 A 4 4种方法，所以奇数的 个数为 A13A443432172，故选 D. 2 某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目， 且在同一个城市投资的项 目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有() A16 种B36 种C42 种D60 种 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案D 解析若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个，每个城市一项，共 A 3 4种 方法；若 3 个不同的
29、项目投资到 4 个城市中的 2 个，一个城市一项、一个城市两 项共 C23A 2 4种方法由分类加法计数原理知共 A34C23A2460(种)方法 3 (2021北京门头沟区一模)某学校需要从 3 名男生和 2 名女生中选出 4 人， 到甲、 乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派 2 人，且至少有 1 名是女生；乙 社区和丙社区各需要选派 1 人，则不同的选派方法的种数是() A18B24C36D42 答案D 解析由题设可分两类：一是甲地只含有一名女生，先考虑甲地有 C12C 1 3种情形， 后考虑乙、丙两地，有 A 2 3种情形，共有 C12C13A2336 种情形；二是甲地只含有两
30、名女生，则甲地有 C 2 2种情形，乙、丙两地，有 A 2 3种情形，共有 C22A236 种情形； 由分类计数原理可得 36642 种情形 4(2021杭州学军中学模拟)甲、乙、丙、丁四个人到 A，B，C 三个景点旅游， 每个人只去一个景点， 每个景点至少有一个人去， 则甲不到 A 景点的方案有() A18 种B12 种C36 种D24 种 答案D 解析分两类求解：甲单独一人时，则甲只能去 B，C 两个景点中的一个，其 余三人分为两组，然后分别去剩余的两个景点，则有 C12C23A2212 种；甲与另 外一人为一组，去 B，C 两个景点中的一个，其余两人分别各去一个景点，则有 C13C12A
31、2212 种由分类加法计数原理可得总的方案数为 24 种，故选 D. 5(一题多解)(2021浙江教育绿色评价联盟适考)安排 3 人完成 5 项不同的工作， 每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式种数为() A60B150C180D240 答案B 解析法一3 人完成 5 项工作， 每人至少完成 1 项且每项由 1 人完成， 应分成 2 类：(1)1 人完成 3 项，另 2 人分别完成 1 项，有 C13C35A2260 种安排方式；(2)1 人 完成 1 项，另 2 人分别完成 2 项，有 C13C15C24C2290 种安排方式，由分类加法计数 原理，知共有 150
32、种不同的安排方式，故选 B. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 法二将 5 项工作先分成 3 组再分配给 3 人，则有C 3 5C12C25C23 A22 A33150 种不同 的安排方式，故选 B. 6已知甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有 空座，则坐法种数为() A10B16C20D24 答案C 解析一排共有 8 个座位，现有两人就坐，故有 6 个空座要求每人左右均有 空座，在 6 个空座的中间 5 个空中插入 2
33、个座位让两人就坐，即有 A2520 种 坐法 7(一题多解)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类 节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是() A72B120C144D168 答案B 解析法一先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节 目和相声节目的顺序有三种：“小品 1，小品 2，相声”，“小品 1，相声，小品 2”和“相声，小品 1，小品 2”对于第一种情况，形式为“，小品 1，歌舞 1， 小品 2，相声，”，有 A22C13A2336(种)安排方法；同理，第三种情况也有 36 种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成 4 个空，其形式为“
34、，小品 1， ，相声，小品 2，”有 A22A3448 种安排方法，故共有 363648 120 种安排方法 法二先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有 A33A34 144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有 A33A22A2224(种)，于是符合题 意的排法共有 14424120(种) 8 将甲、 乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通， 每个路口至少一人， 且甲、 乙在同一路口的分配方案共有() A18 种B24 种C36 种D72 种 答案C 解析一个路口有 3 人的分配方法有 C13C22A33(种)；两个路口各有 2 人的分配方法 本资料分享自新人教版高
35、中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 有 C23C22A33(种) 由分类加法计数原理， 甲、 乙在同一路口的分配方案为 C13C22A33C23C22A3336(种) 二、填空题 9若 7 位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐 降低，共有_种排法(用数字作答) 答案20 解析先排最中间位置有一种排法，再排左边 3 个位置，由于顺序一定，共有 C 3 6种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为 C3620(种) 10若 3 男 3 女共
36、 6 名学生排成一列，同性者相邻的排法种数有_；任两 个女生不相邻的排法种数有_(均用数字作答) 答案72144 解析分别把 3 男 3 女各看作一个复合元素，把这两个复合元素全排，3 男 3 女 内部也要全排，故有 A33A33A2272 种；把 3 名女学生插入到 3 名男学生排列后所 形成的 4 个空中的 3 个，故有 A33A34144 种 11若安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、 乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_种(用数字作答) 答案2 400 解析由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假
37、期的后 5 天 值班，有 A2520 种排法，其余 5 人再进行排列，有 A55120 种排法，根据分 步乘法计数原理知共有 201202 400 种安排方法 12(2017浙江卷)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队 员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_种不同的 选法(用数字作答) 答案660 解析不考虑限制条件，共有 A28C 2 6种不同的选法， 而没有女生的选法有 A26C 2 4种， 故至少有 1 名女生的选法有 A28C26A26C24840180660(种) 13(2018浙江卷)从 1，3，5，7，9 中任取
38、 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案1 260 解析若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C25C23A44；若取的 4 个数字包括 0，则可以组成的四位数的个数为 C25C13C13A33.综上，一共可以组成的 没有重复数字的四位数的个数为 C25C23A44C25C13C13A337205401 260. 14(一题多解)(
39、2020浙江新高考仿真卷四)将颜色分别为红色、黄色、蓝色的 3 个球，放入编号为 1，2，7 的七个盒子中，每一个盒子至多放 2 个球，则不 同的放法有_ 答案336 解析法一3 个球放入编号为 1，2，7 的七个盒子中，每盒至多放 2 个球， 应采用排除法每个球放入盒子的放法各有 7 种，共 73种，排除 3 个球放在同一 盒中的 7 种放法，则共有 737336 种放法 法二(1)若一个盒子中放 2 个球，则有 C23A27126 种放法；(2)若每个盒子只放 1 个球，则有 A37210 种放法，由分类加法计数原理，知共有 126210336 种放 法 能力提升题组 15(2021浙江五
40、校联考)新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由 3 名医生 和 6 名护士组成，他们全部要分配到三家医院，每家医院分到医生 1 名和护士 1 至 3 名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有() A252 种B540 种C792 种D684 种 答案D 解析由题意知，护士的分配方案为(3，2，1)与(2，2，2)先对护士分类：(1) 若护士的分配方案为(3，2，1)，则当甲、乙在 2 人组时，有 C 3 4种分配方法，当 甲、乙在 3 人组时，有 C24C 1 2种分配方法；(2)若护士的分配方案为(2，2，2)，则 分配方法有C 2 4C22 A22 种再按分类计数原理
41、分别将 3 组护士与 3 名医生分配到医院， 有 A33A 3 3种方法，所以共有 C34C24C12C 2 4C22 A22A33A33684(种)，故选 D. 16三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是() A72B144C240D288 答案D 解析第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素 A，这对 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 夫妻有 2 种排法，故有 C13A226 种排法；第二步，再选一对夫妻，这对夫妻有 2
42、 种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在 一起看作另一个复合元素 B，有 C12A22C128 种排法；第三步，将复合元素 A，B 和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有 A336 种排法，由分步乘法计 数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有 686288 种，故选 D. 17(2020浙江十校联盟适考)安排 4 名男生和 4 名女生参与完成 3 项工作，每人 参与一项，每项工作至少由 1 名男生和 1 名女生完成，则不同的安排方式共有 _(用数字作答)种 答案1 296 解析将 8 名学生分为 3 组，每组至少两人，则各组人数为 2，2
43、，4 或 2，3，3. 当各组人数为 2，2，4 时，有C 1 4C14C13C13 A22 A33432 种安排方法；当各组人数为 2， 3，3 时，有 C14C14C 3 62 A22 A33864 种安排方法综上所述，不同的安排方法 共有 4328641 296 种 18用数字 0，1，2 组成有重复数字的四位数，且数字 0，1，2 都至少出现一次， 数字 0 不能放在首位，则这样的四位数个数为_(用数字作答) 答案24 解析当数字 0 出现两次时，先从 1，2 中选出一个放在首位，再将剩余的 3 个数 字全排列，有2A 3 3 A22 6 个不同的四位数；当 1 或 2 出现两次时，先
44、将 0 放在后三位 中的一个位置上， 再将剩余的 3 个数字全排列， 有23A 3 3 A22 18 个不同的四位数 综 上所述，不同的四位数共有 24 个 19.如图，用四种不同的颜色给三棱柱 ABCABC的六个顶点涂色，要求每个点 涂一种颜色若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共 有_种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 _种 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案576264 解析A34A34576；若 B，
45、A，A，C 用四种颜色，则有 A4424；若 B，A，A， C 用三种颜色，则有 A3422A3422192；若 B，A，A，C 用两种颜色， 则有 A242248，共计 264 种 20将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大 学就读，每所大学至少保送一人 (1)有_种不同的保送方法； (2)若甲不能被保送到北大，有_种不同的保送方法 答案(1)150(2)100 解析(1)5 名学生可分成 2，2，1 和 3，1，1 两种形式，当 5 名学生分成 2，2， 1 时，共有 1 2C 2 5C23A3390 种方法；当 5 名学生分成 3，1，1 时，共有 C35A3360 种 方法根据分类加法计数原理知共有 9060150 种保送方法 (2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有 2，2，1 或 3， 1，1，所以有C 2 5C23C11 A22 C 3 5C12C11 A22 25(种)分组方法因为甲不能被保送到北大，所 以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有 4 种方 法，所以不同的保送方案共有 254100(种)
