1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 4 节二倍角公式 知 识 梳 理 二倍角公式 sin 22sin_cos_，cos 2cos2sin22cos2112sin2，tan 2 2tan 1tan2 二倍角公式变形 (1)升降幂公式：cos21cos 2 2 ；sin21cos 2 2 ； sin cos1 2sin 2. (2)配方变形公式：1cos 22cos2；1cos 22sin2；12sin cos (sin cos )2. 诊 断 自 测 1
2、判断下列说法的正误 (1)二倍角的正弦、余弦公式对任意角都成立() (2)二倍角正切公式左右两端有意义的范围不完全相同() (3)在使左右两端都有意义的条件下，二倍角正切公式才成立() (4)不存在，使 tan 22tan .() 答案(1)(2)(3)(4) 解析当0 时，tan 22tan ，(4)不正确，如0. 2(2020金华十校期末调研)已知 x 2， 2 ，sin x3 5，则 tan 2x( ) A. 7 24 B 7 24 C.24 7 D24 7 答案D 解析因为 x 2， 2 ，sin x3 5，所以 cos x 1sin 2x4 5，tan x sin x cos x 本
3、资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 3 4，则 tan 2x 2tan x 1tan2x 24 7 ，故选 D. 3若 5 2 ，7 2 ，则 1sin 1sin 的值为() A2cos 2 B2cos 2 C2sin 2 D2sin 2 答案D 解析 5 2 ，7 2 ，5 4 2 7 4 ， 1sin 1sin |sin 2cos 2|sin 2cos 2| sin 2cos 2 sin 2cos 2 2sin 2. 4已知函数 f(x)cos2 4xc
4、os2 4x，则 f 12 的值为() A.1 2 B1 2 C. 3 2 D 3 2 答案B 解析 4x 4x 2， cos 4xsin 4x， f(x)cos2 4xcos2 4x cos2 4xsin2 4x cos 22x sin 2x， 故 f 12 sin 6 1 2. 5已知 tan 4 2，则 cos 2的值是_ 答案4 5 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析因为tan 4 2， 所以cos 2sin 2 2 2sin 4 cos 4
5、 sin2 4 cos2 4 2tan 4 tan2 4 1 4 5. 6若 sin 1 3，tan 0，则 cos _，tan 2_ 答案2 2 3 4 2 7 解析由题意知，因为 sin 0，tan 0，所以 cos 0，又 sin2cos21， 故 cos 2 2 3 ， 又由 tan sin cos 2 4 ，tan 2 2tan 1tan2， 可知 tan 24 2 7 . 考点一二倍角公式的正用 【例 1】 (1)(2019全国卷)已知 0， 2 ，2sin 2cos 21，则 sin () A.1 5 B. 5 5 C. 3 3 D.2 5 5 (2)已知 sin cos 4 3
6、，则 sin 2( ) A7 9 B2 9 C.2 9 D.7 9 答案(1)B(2)A 解析(1)由 2sin 2cos 21，得 4sin cos 2cos2. 又 0， 2 ，所以 2sin cos ，又 sin2cos21，所以 sin21 5，所以 sin 5 5 . (2)sin 22sin cos （sin cos ） 21 1 7 9. 感悟升华二倍角公式与其他公式应用时注意：“化异为同”，即“化异次为同 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享
7、 次，化异角为同角” 【训练 1】 (1)(一题多解)已知为锐角，且 tan 3 4，则 sin 2( ) A.3 5 B.4 5 C.12 25 D.24 25 (2)若 cos 22cos 4 ，(0，)，则 sin 2_，tan _ 答案(1)D(2)11 解析(1)法一sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 23 4 9 161 24 25，故选 D. 法二由为锐角，且 tan 3 4，得 sin 3 5，cos 4 5，所以 sin 22sin cos 23 5 4 5 24 25，故选 D. (2)cos 22cos 4 ，(0，)，得 cos2sin
8、2 2cos 2sin ，(0， )，即(cos sin )(cos sin ) 2(cos sin )，(0，)，当 cos sin 0 时， 4；当 cos sin 0 时，式化简为 cos sin 2，(0， )，即 sin 4 1，(0，)，即 4，综上所述， 4，则 sin 2sin 21， tan tan 41. 考点二二倍角公式的逆用 【例 2】 (1)4cos 50tan 40() A. 2B. 2 3 2 C. 3D2 21 (2)cos 20cos 40cos 60cos 80_ 答案(1)C(2) 1 16 解析(1)原式4sin 40sin 40 cos 40 本资料分
9、享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 4cos 40sin 40sin 40 cos 40 2sin 80sin 40 cos 40 2sin（12040）sin 40 cos 40 3cos 40sin 40sin 40 cos 40 3cos 40 cos 40 3，故选 C. (2)原式cos 20cos 401 2cos 80 1 2sin 20cos 20cos 40cos 80 sin 20 1 4sin 40cos 40cos 80 sin 20 1
10、8sin 80cos 80 sin 20 1 16sin 160 sin 20 1 16. 感悟升华利用二倍角公式可对形如 cos cos 2cos 4cos 2n的式子进行化简 和计算 【训练 2】 (1)化简： 2cos42cos21 2 2tan 4sin2 4 _ (2)计算： 3tan 123 sin 12（4cos2122）_ 答案(1)1 2cos 2 (2)4 3 解析(1)原式 1 2（4cos 44cos21） 2sin 4 cos 4 cos2 4 （2cos21）2 4sin 4cos 4 cos22 2sin 22 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 32
11、3031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 cos22 2cos 2 1 2cos 2. (2)原式 3 sin 12 cos 12 3 2sin 12cos 24 2 3 1 2sin 12 3 2 cos 12 cos 12 2sin 12cos 24 2 3sin（1260） 2sin 12cos 12cos 24 2 3sin（48） sin 24cos 24 2 3sin 48 1 2sin 48 4 3. 考点三二倍角公式的变形应用 【例 3】 化简下列各式： (1) 22cos 82 1sin 8_
12、(2)（1sin cos ） cos 2sin 2 22cos (0)_ 答案(1)2sin 4(2)cos 解析(1)原式 4cos242 （sin 4cos 4）2 2|cos 4|2|sin 4cos 4|， 因为5 44 3 2，所以 cos 40，且 sin 4cos 4， 所以原式2cos 42(sin 4cos 4)2sin 4. (2)原式 2cos2 22sin 2cos 2 cos 2sin 2 4cos2 2 cos 2 cos2 2sin 2 2 |cos 2| cos 2cos |cos 2| . 因为 0，所以 0 20，所以原式cos . 感悟升华二倍角公式的常见
13、变形有 1cos 22sin2，1cos 22cos2， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 12sin cos (sin cos )2，及 cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 ，sin cos 1 2sin 2等 【训练 3】 求值：1cos 20 2sin 20 sin 10 1 tan 5tan 5. 解原式 2cos210 22sin 10cos 10sin 10 cos 5 sin 5 sin 5 cos 5 cos 10 2s
14、in 10sin 10 cos25sin25 sin 5cos 5 cos 10 2sin 10sin 10 cos 10 1 2sin 10 cos 10 2sin 102cos 10 cos 104sin 10cos 10 2sin 10 cos 102sin 20 2sin 10 cos 102sin（3010） 2sin 10 cos 102 1 2cos 10 3 2 sin 10 2sin 10 3sin 10 2sin 10 3 2 . 基础巩固题组 一、选择题 1化简 2sin 2 1cos 2 cos2 cos 2的结果为( ) Atan Btan 2C1D.1 2 答案B
15、解析原式2sin 2 2cos2 cos2 cos 2 sin 2 cos 2tan 2. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2若 tan 1 3，则 cos 2( ) A4 5 B1 5 C.1 5 D.4 5 答案D 解析tan 1 3，则 cos 2cos 2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 4 5. 3cos 9cos 2 9 cos 23 9() A1 8 B 1 16 C. 1 16 D.1 8 答案A 解
16、析cos 9cos 2 9 cos 23 9 cos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80 sin 20cos 20cos 40cos 80 sin 20 1 2sin 40cos 40cos 80 sin 20 1 4sin 80cos 80 sin 20 1 8sin 160 sin 20 1 8sin 20 sin 20 1 8. 4化简 sin2 6 sin2 6 sin2的结果是() A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D.1 3 答案C 解析原式1cos 2 3 2 1cos 2 3 2 sin2 11 2 cos 2 3 cos 2 3 sin2
17、 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 11 22cos 2cos 3 1cos 2 2 1 2. 5设 a1 2cos 2 3 2 sin 2，b 2tan 14 1tan214，c 1cos 50 2 ，则有() AacbBabcCbcaDcab 答案D 解析由题意可知，asin 28，btan 28，csin 25， cab. 6(2019全国卷)函数 f(x)2sin xsin 2x 在0，2的零点个数为() A2B3C4D5 答案B 解析令 f(x
18、)0，得 2sin xsin 2x0， 即 2sin x2sin xcos x0， 2sin x(1cos x)0，sin x0 或 cos x1. 又 x0，2， 由 sin x0 得 x0，或 2，由 cos x1 得 x0 或 2. 故函数 f(x)的零点为 0，2，共 3 个 故选 B. 二、填空题 7若 cos 3 1 3，则 sin 2 6 的值是_ 答案7 9 解析sin 2 6 sin 2 3 2 cos 2 3 2cos2 3 121 91 7 9. 8已知 0， 2 ，且 sin 4 2 10，则 tan 2_ 答案24 7 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群
19、323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析sin 4 2 10，得 sin cos 1 5， 0， 2 ， 平方得 2sin cos 24 25， 可求得 sin cos 7 5， sin 4 5， cos 3 5，tan 4 3，tan 2 2tan 1tan2 24 7 . 9已知 cos4sin42 3，且 0， 2 ，则 cos 2 3 _ 答案 2 15 6 解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 22 3，又 0， 2 ， 2(0，)， sin 2 1cos22 5
20、 3 ， cos 2 3 1 2cos 2 3 2 sin 2 1 2 2 3 3 2 5 3 2 15 6 . 10已知 0， 4 ，且 sin cos 14 4 ，则 2cos21 cos 4 _ 答案 3 2 解析sin cos 14 4 ，即 cos sin 14 4 ， 2cos 4 14 4 ，即 cos 4 7 4 . 0， 4 ， 4 43 2，所以 f 4 f 6 . (2)因为 f(x)2sin x(12sin2x) 2sin2x2sin x1 2 sin x1 2 2 3 2， 令 tsin x，t1，1，所以 y2 t1 2 2 3 2， 因为对称轴 t1 2， 根据二
21、次函数性质知，当 t1 时，函数取得最大值 3. 12 (2021七彩阳光联盟三联)已知角的顶点与原点重合， 始边与 x 轴的非负半轴 重合，终边在直线 y2x 上 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求 cos 2的值； (2)若角满足 tan(2)1，求 tan 的值 解(1)由已知得 tan 2， 所以 cos 2cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 3 5. (2)由(1)知 tan 2 2tan 1t
22、an2 4 3， 而 tan tan2(2) tan 2tan（2） 1tan 2tan（2） 4 31 1 4 3 1 7. 能力提升题组 13(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终 边上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos 22 3，则|ab|( ) A.1 5 B. 5 5 C.2 5 5 D1 答案B 解析由题意知cos 0.因为cos 22cos212 3， 所以cos 30 6 ， sin 6 6 ， 得|tan | 5 5 .由题意知|tan | ab 12|，所以|ab| 5 5 .故选 B. 14 已知不等式 f(x)3 2sin
23、 x 4cos x 4 6cos 2x 4 6 2 m0 对于任意的5 6 x 6 恒成立，则实数 m 的取值范围是() A 3，)B(， 3) C(， 3D 3， 3 答案C 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析f(x)3 2 2 sin x 2 6 2 2cos2x 41m 6 3 2 sin x 2 1 2cos x 2 m0， m 6sin x 2 6 ，x 5 6 ， 6 ， 令 g(x) 6sin x 2 6 ，x 5 6 ， 6 ， 4
24、x 2 6 4， g(x)min 3，m(， 3 15 (一题多解)(2019江苏卷)已知 tan tan 4 2 3， 则 sin 2 4 的值是_ 答案 2 10 解析法一由 tan tan 4 tan tan 1 1tan tan （1tan ） tan 1 2 3，解得 tan 2 或 1 3. sin 2 4 2 2 (sin 2cos 2) 2 2 (2sin cos 2cos21) 2(sin cos cos2) 2 2 2sin cos cos 2 sin2cos2 2 2 2tan 1 tan21 2 2 ， 将 tan 2 和1 3分别代入得 sin 2 4 2 10. 法
25、二 tan tan 4 sin cos 4 cos sin 4 2 3， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 sin cos 4 2 3cos sin 4 . 又 sin 4sin 4 sin 4 cos cos 4 sin 2 2 ， 由解得 sin cos 4 2 5 ， cos sin 4 3 2 10 . sin 2 4 sin 4 sin cos 4 cos sin 4 2 10. 16 若 4， 2 ， sin 23 7 8 ， 则 sin _
26、； cos 2 3 _ 答案 3 4 3 211 16 解析因为 sin 23 7 8 ， 4， 2 ，所以 sin 0，cos 0，且 sin cos ， 所以(sin cos )21sin 21623 7 16 3 7 4 2 ，所以 sin cos 3 7 4 ，同理可得 sin cos 3 7 4 ，所以 sin 3 4. 因为 4， 2 ，sin 23 7 8 ，所以 cos 21 8， 所以 cos 2 3 1 2cos 2 3 2 sin 23 211 16 . 17已知函数 f(x)2cos x( 3sin xcos x)1. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 3
27、23031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求 f 6 的值； (2)若 f(x0)2 3，x 0 0， 2 ，求 sin 2x0的值 解(1)因为 f(x) 3sin 2xcos 2x2sin 2x 6 ， 所以 f 6 2sin 3 6 2sin 22. (2)由上可知 f(x0)2sin 2x0 6 2 3， 所以 sin 2x0 6 1 3. 由 x0 0， 2 ，得 2x0 6 6， 7 6 . 由 0sin 2x0 6 1 3 1 2，知 2x 0 6 5 6 ， ， 从而有 cos 2x0 6
28、 2 2 3 ， 所以 sin 2x0sin 2x0 6 6 1 3 3 2 2 2 31 2 32 2 6 . 18已知 f(x)sin x2sin 4 x 2 cos 4 x 2 . (1)若 f() 2 2 ， 2，0，求的值； (2)若 sin x0 2 4 5，x 0 2，求 f(x0)的值 解(1)由条件可得 f(x)sin xcos x 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2sin x 4 . 因为 f() 2 2 ， 2，0， 所以2sin 4 2 2 ，sin 4 1 2， 因为 4 4， 4 ， 则 4 6，解得 12. (2)因为 sin x0 2 4 5，x 0 2， 得 sin x024 25，cos x 0 7 25，所以 f(x 0)17 25.
